Общие теоретические положения

Определение ОПТИЧЕСКОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОБЪЕКТИВА

Цель работы: освоить методику испытания объективов, определить оптическую передаточную функцию (ОПФ), что позволит производить автоматический контроль качества сборки и юстировки объектива.

Задание: Экспериментально измерить функцию рассеяния испы­туемого объектива, а затем по данным измерений рассчитать функ­цию передачи модуляции (ФПМ) и функцию передачи фазы (ФПФ) этого объектива.

Общие теоретические положения

В последнее время в качестве основного критерия оценки ка­чества оптических систем, предназначенных для передачи информации, используется ОПФ. Она характеризует способность оптической систе­мы воспроизводить различные пространственные частоты.

Любую оптическую систему можно отнести к более общему классу систем, осуществляющих преобразование ряда входных функций, или воздействий, в ряд выходных функций, или реакций /откликов/. Дейст­вие таких систем описывается обобщенными характеристиками, методика определения которых справедлива для любой из этих систем.

Оптическая система может быть отнесена к классу линейных ин­вариантных систем. Система считается линейной, если ее реакция на одновременное воздействие нескольких сигналов равна сумме реак­ций, вызываемых каждым сигналом в отдельности. Следовательно, реак­цию линейной системы на произвольный входной сигнал можно пред­ставить через сумму реакций на элементарные сигналы, на которые мо­жет быть разложен входной сигнал. Эти элементарные сигналы могут быть описаны элементарными функциями. Линейная система называется инвариантной, если ее реакция не зависит от начала отсчета.

Оптические системы, осуществлявшие пространственно-энергети­ческое преобразование входного сигнала, характеризуются пространст­венной инвариантностью /или изопланарностью/, когда импульсный отклик системы зависит только от расстояний X-X₁ и Y-Y₁ не зависит от положения начала координат. Учитывая, что оптические системы редко бывают изопланарны по всему полю, инвариантность оп­тических систем обычно строго не выполняется. Это значит, что дви­жение изображения точечного источника при его перемещении в прост­ранстве неточно повторяет масштаб этого перемещения, и, кроме то­го, это изображение меняет свою форму,

Рассмотрим реакцию оптической системы на светящуюся точку /дельта функцию/, имеющую координаты X₁,Y₁. Для идеальной оп­тической системы /отсутствуют аберрации и дифракционное рассеяние/ освещенность в изображении этой точки с координатами X₁,Y₁ имела бы бесконечную величину. Аберрации и дифракция вызывают раз­мытые изображения точки в пределах кружка рассеяния. Распределение освещенности в изображении любой светящейся точки бесконечно уда­ленного предмета с координатами Х, У описывается функцией рас­сеяния А(Х,Y,X₁,Y₁). Приняв световой поток, формирующий пятно рассеяния, за единицу, можно записать так:

Представим объект в виде совокупности излучающих точек и опре­делим распределение освещенности в изображении этого объекта.

При освещенности в точке (X₁,Y₁) равной E(X₁,Y₁ ), световой поток, падающий на элементарную площадку dx₁, dy₁, с центром в этой точке, составит E(X₁,Y₁)dx₁dy_1. Тогда в точке (X, Y) поток создаст освещенность:

Суммарная освещенность в точке (X,Y) обусловлена совокупным действием близлежащих кружков рассеяния и будет равна

(1.1)

Выражение (1.1) характеризует основное свойство линейных сис­тем - их реакция полностью характеризуется суммой откликов на одно­временные входные воздействия. Выражение (1.1) известно как интег­рал суперпозиции.

Если предположить, что каждая точка объекта обладает постоян­ной яркостью в направлении входного зрачка оптической системы, то распределение освещенности E(X₁,Y₁) в точках с координатами (X₁,Y₁) плоскости изображения будет связано с распределением яр­кости соответствующих точек объекта соотношением

где t- коэффициент пропускания оптической системы; b- ли­нейное увеличение оптической системы; U¹ - задний апертурный угол.

Если кружок рассеяния в изображении светящейся точки одинаков по всему полю зрения объектива, т.е. качество изображения по полю постоянно, освещенность в точке (X,Y) зависит только от расстояния, на котором она находится от точки (X₁,Y₁). Такая опти­ческая система удовлетворяет условию пространственной инвариантнос­ти, или изопланарности, и функцию рассеяния для нее записывают в виде

Изопланарная оптическая система обладает лишь сферической аберрацией и дифракционным размытием изображения.

Если в оптической системе присутствуют аберрации кома и астиг­матизм, то условие изопланарности нарушается, однако поле зрения всегда можно разбить на зоны, в пределах которых это условие с необходимой точностью выполняется. Для этого случая, полагая для простоты , получаем:

(1.2)

Выражение (1.2) представляет собой свертку двух функций А и L, поэтому его можно выразить через преобразование Фурье. Тогда уравнение процесса образования изображения, представляющее собой спектр свертки, будет иметь вид

(1.3)

где - преобразования Фурье функций соответственно распределения освещенности в изображении Е рассеяния оптической системы А и распределе­ния яркости L в предмете; - пространственные частоты, равные обратному значению периода синусоидального измене­ния освещенности в пространстве изображения по двум взаимно пер­пендикулярным направлениям; - пространственные час­тоты, равные обратному значению периода синусоидального изменения яркости в плоскости предмета по тем же направлениям.

Пространственные частоты в плоскостях предмета и изображения связаны зависимостью .

Уравнение (1.3) выражает процесс образования изображения в пространственно-частотном представлении. Из него следует, что преобразование Фурье функции распределения освещенности в изобра­жении связано с преобразованием Фурье, функции распределения яркос­ти объекта коэффициентом , который назван ОПФ.

Так как выражение есть преобразование Фурье функции рассеяния, то можно записать

(1.4)

При контроле качества оптических систем часто удобно исполь­зовать одномерные ОПФ, характеризующие образование изображения одномерного объекта, например светящейся линии. При этом ОПФ пред­ставляет собой результат интегрирования функции рассея­ния точки по одному направлению, например Х. Тогда

(1.5)

Проанализируем выражение (1.5). Для двумерного объекта рас­суждения будут аналогичны. На основании формулы Эйлера

где , представим ОПФ состоящей из двух частей - ве­щественной и мнимой

(1.6)

где представляют собой косинус и синус преобра­зования Фурье функции A(X). Выражая функцию (1.6) через модуль

(1.7)

и аргумент

(1.8)

получаем

(1.9)

Модуль ОПФ T(N) показывает зависимость изменения амплитуды функции от пространственной частоты, а изменение амплитуды в плос­кости изображения пропорционально коэффициенту передачи контраста, Коэффициентом передачи контраста T(N) называют отношение конт­раста изображения к контрасту предмета T(N)=Кц/Kn. Контраст для синусоидального предмета и его изображения

(1.10)

где - максимальная и минимальная интенсивности света (яркость для плоскости предмета L_max, L_min, освещенность в плоскости изображения E_max, E_min).

Модуль ОПФ называют частотно-контрастной характеристикой /ЧКХ/, так как она показывает зависимость коэффициента передачи контраста от пространственной частоты, или пространственно-частотной харак­теристикой /ПЧХ/, поскольку она рассматривается в двумерном прост­ранстве, а также модуляционной передаточной функцией /МПФ/ или функцией передачи модуляции /ФПМ/ по аналогий с передачей электри­ческих сигналов. Так как формула контраста (1.10) для синусоидального объекта аналогична формуле модуляции для электрических сигна­лов, коэффициент передачи контраста называют коэффициентом переда­чи модуляции /КПМ/. Тогда <В1М определяется как зависимость коэффи­циента передачи модуляции от пространственной частоты.

Аргумент ОПФ φ(N) показывает зависимость фазы от пространст­венной частоты. Эту зависимость называют частотно-фазовой характе­ристикой /ЧФХ/ или функцией передачи фазы /ФПФ/. Наличие ФПФ опре­деляется несимметричностью функции рассеяния оптической системы, что связано с несимметричными остаточными аберрациями /комой/ этой системы. Если функция рассеяния симметрична, то, как следует из (1.5), ФПФ при этом отсутствует и ОПФ определяется только ФПМ.

Оптические системы высокого качества имеют незначительные фазовые изменения, поэтому, как правило, исследования проводят только по ФПМ, которая дает наиболее полную информацию об оптической системе.

По ФПМ, измеренным для различных точек поля, спектральных об­ластей, плоскостей изображения, определяют остаточные аберрации оптической системы: кривизну поля, хроматизм, астигматизм, сфери­ческую аберрацию. Для производственного контроля качества изобра­жения оптических систем по ФПМ используют числовые критерии. Так, например, одним из числовых критериев оценки качества изображения по ФПМ является разрешающая способность, так как она представляет предельную пространственную частоту при минимальном коэффициенте передачи контраста. Этот критерий был предложен Рэлеем как обрат­ная величина наименьшего расстояния между двумя различными точка­ми илилиниями. Наименьшее разрешаемое расстояние ρ₀ для без­аберрационной оптической системы равно радиусу центрального кружка дифракционной картины изображения бесконечно удаленной светящейся точки или расстоянию между максимумами функций рассеяния двух светящихся точек, когда максимум одной функции рассеяния совпадает с первым минимумом другой.

Это расстояние

Где λ - длина волны света; f^’ и D - соответственно фокусное расстоя­ние и диаметр входного зрачка объектива. Разрешающая способность для одного направления функции рассеяния