Частичные последовательности и частичные пределы.




Лекция 2

Тема:Теория числовых последовательностей

План

1. Числовая последовательность;

2. Предел числовой последовательности;

3. Монотонные последовательности

4.Частичные последовательности и частичные пределы;

5.Нижний и верхний пределы;

6. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение 1. Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность , обозначаемая (). Числа , называются членами последовательности: - первым членом последовательности, - вторым, - -м или общим членом последовательности. Последовательность может быть задана с помощью формулы , выражающей – й член последовательности через его номер . Такую формулу называют формулой общего члена последовательности.

Примеры. , .

Определение 2. Число называется пределом последовательности (), если для любого положительного числа можно подобрать такой номер члена последовательности, зависящей от , что для всех членов последовательности с номерами будет выполнено неравенство .

Если ) имеет своим пределом число , то говорят, что ) сходится (или стремится) к и обозначают это так:

. Если последовательность () не имеет предела, то говорят, что она расходится. Используя свойства модуля, неравенство можно записать так: или .

Интервал (; ) называется – окрестностью числа .

Если изобразить числа и значения последовательности точками на числовой оси, то получится наглядное геометрическое истолкование предела последовательности. Какой бы малый отрезок (длины 2 ) с центром в точке ни взять, все точки , начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек).

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Определение 3. Последовательность называется бесконечно малой, если , т.е. для любого найдется номер такой, что при всех будет . Иначе, в любом интервале (; ) находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов.

Для того чтобы последовательность имела своим пределом постоянное число , необходимо и достаточно, чтобы разность меду ними была бесконечно малой.

Примеры бесконечно малых. 1) . 2) .

 

Определение 4. Последовательность называется возрастающей, если ,

т.е. если из следует .

Определение 5. Последовательность называется неубывающей, если ,

т.е. если из следует .

Определение 6. Последовательность называется убывающей, если ,

т.е. если из следует .

Определение 7. Последовательность называется невозрастающей, если ,

т.е. если из следует .

Число e. Последовательность является возрастающей и ограниченной. Следовательно, она сходится. Её предел обозначают буквой e, т.е.

. (1)

Доказательство. Отметим, что при k ³1 справедливо неравенство k! = k (k -1)…2×1³ 2k-1. По формуле бинома Ньютона получаем

Замечание. Предел последовательности (1) называют числом e или неперовым числом.

Частичные последовательности и частичные пределы.

Определение 1 Последовательность , которая составлена из членов последовательности и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности , называется подпоследовательностью этой последовательности.

Определение 2. Если частичная последовательность сходится, то её предел называется частичным пределом исходной последовательности

Теорема 1. Если последовательность имеет определённый предел a, то тот же предел имеет и частичная последовательность .

Определение 3. Число называется предельной точкой числовой последовательности , если любая её окрестность содержит бесконечное число членов последовательности.

Частичный предел последовательности является одновременно и её предельной точкой.

Определение 4. Наибольший (наименьший) частичный предел числовой последовательности называется её верхним (нижним) пределом и обозначается символом

.

Теорема 2. Любая числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: