Лабораторная работа № 10
Измерение коэффициента вязкости воздуха капиллярным вискозиметром
Цель работы: определение коэффициента вязкости воздуха при помощи капиллярного вискозиметра
Краткая теория
Вязкостью или внутренним трением называется явление возникновения силы трения между слоями текущей жидкости или газа, параллельными направлению течения. Трение это возникает благодаря переносу импульса молекул от слоя к слою в направлении, перпендикулярном направлению течения.
При течении жидкости слой ее, прилегающий к твердому телу, например, к стенке трубы, как бы “прилипает” к ней, так что его скорость равна нулю. Составляющая суммарного импульса в направлении движения жидкости молекул, принадлежащих этому слою равна нулю. Из-за хаотичности движения некоторые молекулы из первого слоя попадают во второй слой, перенося в него свой нулевой импульс и, тем самым, тормозя его. Молекулы этого слоя имеют суммарную составляющую импульса в направлении движения уже отличную от нуля. Аналогичным образом второй слой замедление движения третьего и т.д. В результате наибольшей скоростью обладают те слои жидкости, которые наиболее удалены от твердого тела (стенки). Скорости всех остальных слоев уменьшаются по мере приближения к твердому телу.
Изменение импульса от слоя к слою возможно только при наличии силы, которая называется силой внутреннего трения. Модуль этой силы определяется формулой, предложенной Ньютоном:
В этом выражении производная ¶ VX /¶ Y есть, так называемый, градиент скорости в направлении, перпендикулярном движению жидкости, то есть величина, равная изменению скорости в направлении Y, когда жидкость течет в направлении X. S – площадь слоя, к которой приложена сила. Множитель h называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости (иногда говорят просто – вязкость).
Величина вязкости определяется только характером межмолекулярных взаимодействий и поэтому ее измерение важно для определения параметров потенциала взаимодействия молекул. Кроме того, измерение вязкости важно и прикладном плане для расчетов течения газов и жидкостей в каналах, сил сопротивления, действующих на тела при их движении в различных средах и т.п.
Сила внутреннего трения возникает как при движении жидкости относительно покоящегося твердого тела, так и при движении твердого тела относительно покоящейся жидкости. Первая ситуация и используется при измерении вязкости капиллярным вискозиметром.
Рассмотрим стационарное течение вязкой жидкости или газа в трубе круглого сечения радиуса R. Скорость газа различна в разных точках сечения и определяется расстоянием r от оси трубы. Она равна нулю на стенке трубы (в силу "прилипания"), и максимальна на оси трубы. Таким образом, при течении газа в трубе в нем существует радиальный градиент скорости dv/dr¹ 0.
 |
Определим профиль скорости в сечении капилляра. Для этого мысленно выделим внутри трубы цилиндрический объем газа длины l и радиуса r (рис.1).
Поскольку сечения трубы постоянно и течение стационарно, то скорость всех частиц жидкости или газа не зависят от времени, то есть имеют ускорение, равное нулю. Следовательно, по второму закону Ньютона сумма внешних сил, действующих на любой объем жидкости или газа, должна быть равна нулю. На торцы выделенного объема, имеющие площадь Sт= p r2 , действуют силы давления, сумма которых равна FД =Sт×(p1-р2)= p r2(p1-р2). Эта сила действует в направлении движения газа. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра площадью Sб = 2prl действует сила трения (1), равная FТ= h½ dv/dr ½ Sб= h½ dv/dr ½ 2prl. Скорость убывает с расстоянием от оси трубы. Следовательно, dv/dr отрицательна и ½ dv/dr ½= -dv/dr. Условие стационарности имеет вид.
 |
Здесь C - константа интегрирования, определяемая из условия "прилипания", которое можно записать в виде v(r=R)=0. Отсюда для константы С получаем
 |
Подстановка значения для С в предыдущую выражение приводит к формуле
 |
Отсюда скорость на оси трубы равна v0=v(0)=(p1-p2)R2/4 h l. Теперь формуле (2) можно придать следующий вид
Из этой формулы следует, что скорость течения газа или жидкости в круглой трубе изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону (рис.2).
Вычислим расход Q, то есть объем жидкости или газа, протекающий через поперечный объем трубы за единицу времени. Для этого разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины dr (рис.3). Через кольцо радиуса r и ширины dr пройдет за секунду объем газа dQ, равный произведению площади кольца 2 p rdr на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы. Принимая во внимание
 |
формулу (3), получаем
Чтобы получить расход Q, нужно проинтегрировать выражение (4) по r в пределах от нуля до R:
 |
Подставив в это выражение значение (3) для v0, получим для расхода формулу
 |
Полученная формула называется формулой Пуазейля. Это соотношение используется для определения вязкости газа. Пропуская газ через капилляр известного радиуса и длины, и измеряя перепад давления и расход, можно, используя (6), определить коэффициент вязкости газа.
Методика эксперимента
Установка для измерения вязкости воздуха при помощи капиллярного вискозиметра схематично представлена на рис 4.
Баллон 1,заполненный водой, соединен с капилляром 2 и U -образным манометром 3. Манометр заполнен спиртом плотностью r=(0,79±0,01)103 кг/м3. При открытом кране 5 из баллона выливается вода. При этом над водой создается разрежение и на концах капилляра возникает разность давлений, под действием которой через капилляр протекает воздух. Возникшая разность давлений измеряется U -образным манометром. Объем воздуха, протекшего через капилляр равен, очевидно, объему вытекшей жидкости, который измеряется при помощи мензурки 4.
 |
Измерив при помощи секундомера время t, за которое вытекает определенный объем жидкости V, определяется расход Q=V/t. Разность давлений определяется по разности уровней жидкости в U -образном манометре по формуле p1-p2= r g(h1-h2), где r - плотность жидкости в манометре. Таким образом, из формулы (6) можно получить следующее выражение для расчета вязкости
В эту формулу входят величины, измеряемые впрямую.
Параметры капилляра d и l указаны на установке. Значения h1 и h2 отсчитываются по миллиметровой линейке, то есть Dс h1 =Dс h2=1мм. Систематическую погрешность определения объема при помощи мензурки можно считать равной цене деления мензурки. Систематическая погрешность определения времени определяется погрешностью применяемого цифрового секундомера D ct=0,1 с.
Порядок выполнения работы
1. Через отверстие в баллоне залить воду и плотно закрыть отверстие пробкой.
2. Подставив мензурку, приоткрыть кран 5. После того как разность давлений установится измерить расход жидкости. Для этого при помощи секундомера измерить время, в течение которого объем жидкости в мензурке изменится, например, на 50 мл.
3. Одновременно произвести отсчет уровней h1 и h2 в коленах U -образного манометра.
4. Измерения провести 8-10 раз при различных значениях разности давления. Результаты измерения занести в таблицу. Рассчитать погрешности Dh.
| N | h1, мм | h2 , мм | V, мл | t, с | h, нс/м2 | Dh, нс/м2 |