Домашнее задание №2 «Случайные величины»

Домашнее задание №1 «Элементарная теория вероятностей»

Задача 1.

1.1. Сколькими способами можно раздать 18 различных предметов пяти участникам так, чтобы четверо получили по четыре предмета, а пятый – два предмета?

1.2. Сколько существует способов взять 10 карт из 36 так, чтобы среди них было 5 червей?

1.3. Найдите число различимых способов размещения одинаковых предметов одного вида и одинаковых предметов другого вида по ящикам.

1.4. человек, в том числе и , располагаются в ряд. Сколькими способами можно разместить и так, чтобы между ними было ровно человек?

1.5. Найдите число наборов длины , содержащие раз букву и раз букву .

1.6. Сколькими способами можно расселить 12 котят по 3 разным домикам, если в каждом домике помещается любое число котят?

1.7. Сколько кратчайших путей соединяют левый передний нижний и правый верхний задний углы куба ? (Движение происходит по ребрам маленьких кубов).

1.8. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение 10 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание, если в один день можно сдавать не более одного экзамена?

1.9. Общество, состоящее из 5 мужчин и 10 женщин, разбивается случайным образом на пять групп по 3 человека. Сколько существует способов такого разбиения, чтобы в каждой группе оказался один мужчина?

1.10. В зале 120 мест. Сколько существует способов рассадить 50 человек так, чтобы определенные 10 мест оказались заняты?

1.11. Сколькими способами можно распределить 20 различных предметов между десятью лицами так, чтобы каждому досталось по два предмета?

1.12. Из полного набора костей домино (28 штук) случайным образом выбирается 7 костей. Сколькими способами можно выбрать эти кости так, чтобы среди них был хотя бы один дубль?

1.13. Сколько существует способов разделить колоду из 36 карт на две части так, чтобы в одной части полностью оказались все тузы и короли?

1.14. Найдите число различимых способов размещения одинаковых ручек и одинаковых карандашей по ящикам.

1.15. В урне имеется 10 белых шаров и 5 черных. Шары извлекаются по одному без возвращения. Сколько существует различимых по цвету последовательностей извлечения шаров?

1.16. Сколько существует способов рассадить за круглым столом 6 мужчин и 6 женщин, чтобы никакие два лица одного пола не оказались рядом?

1.17. Сколько способов выбрать на шахматной доске 7 полей так, чтобы никакие два поля не находились ни на одной вертикали, ни на одной горизонтали.

1.18. Сколько различных костей домино можно образовать, используя числа от 1 до ?

1.19. В ящике имеются шары трех цветов: 3 белых, 2 черных и 4 синих. Последовательно вынимается 5 шаров. Сколько различных цветовых последовательностей при этом может быть получено?

1.20. Сколько существует способов распределить различных предметов по неразличимым ящикам так, чтобы в каждом из них оказалось не менее трех предметов?

1.21. Сколько существует различимых способов построить 20 человек в ряд, чтобы трое друзей оказались рядом?

1.22. Сколько существует способов распределить одинаковых шаров по разным ящикам так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

1.23. Из полного набора костей домино (28 штук) случайным образом выбирается 5 костей. Сколькими способами можно выбрать эти кости так, чтобы среди них была хотя бы одна с шестеркой?

1.24. Сколько существует различных способов разделить колоду из 36 карт между четырьмя игроками так, чтобы каждому досталось по тузу?

1.25. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове МАТЕМАТИКА?

1.26. Сколькими различными способами можно образовать хоровод для греческого танца «сиртаки» из 10 человек?

1.27. Группа из 12 дошкольников и одного Деда Мороза строится для хоровода вокруг новогодней елки. Сколькими различными способами можно образовать такой хоровод, чтобы мальчик Петя оказался рядом с Дедом Морозом?

1.28. Сколько различных палиндромов из 5 букв можно составить, если всего в алфавите имеется 10 букв?

1.29. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове АБРАКАДАБРА?

1.30. Сколько существует различных способов взять 6 карт из 36 так, чтобы среди них были по 3 карты двух мастей?

Задача 2.

2.1. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что: а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) все три билета стоят семь рублей.

2.2. В автобусе 5 пассажиров. Найти вероятность того, что на каждой из оставшихся 5 остановок будет сходить по одному человеку (каждый из пассажиров с равной вероятностью может выйти на любой из остановок).

2.3. Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше 6?

2.4. Из колоды карт (36 листов) наугад вынуты две карты. Какова вероятность того, что среди них: а) хотя бы одна карта трефовой масти; б) хотя бы одна карта – туз?

2.5. Бросаются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что модуль разности числа очков больше 1.

2.6. 52 игральные карты раздаются 4 игрокам (каждому по 13 карт). Найдите вероятность того, что все тузы попадут к одному из игроков?

2.7. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задаст еще один вопрос?

2.8. На шести одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 7, 8, 12, 14. Наугад берутся две карточки. Какова вероятность того, что образованная из этих двух полученных чисел дробь сократима?

2.9. С какой вероятностью при подбрасывании трех игральных костей на всех костях выпадет разное количество очков?

2.10. В ящике находится 20 различных пар перчаток. Из них наугад выбирается 12 перчаток. Какова вероятность, что среди выбранных перчаток отсутствуют парные?

2.11. Студент знает 20 из 45 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 вопросов преподавателя по программе. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

2.12. Двадцать студентов случайным образом распределяются на практику. В городе имеется 7 мест, в городе - 8 мест, а в городе - пять мест. Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в разные города?

2.13. Из колоды карт (36 штук) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены два туза и три шестерки?

2.14. Для проведения соревнования 10 команд, среди которых три лидера, путем жеребьевки распределяются на две группы по 5 команд в каждой. Какова вероятность того, что два лидера попадут в одну группу, один лидер – в другую?

2.15. В игре «Спортлото» участник отмечает на карточке 6 из 49 видов спорта. Найдите вероятность того, что он угадает по крайней мере три из шести видов спорта, полученных в результате розыгрыша.

2.16. Колоду карт, состоящую из 36 листов, случайным образом разделили на две равные части. Определите вероятность того, что в обеих частях окажется по равному числу красных и черных карт.

2.17. Бросаются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что произведение числа очков не больше 10.

2.18. Правильную монету бросают до первого появления «герба». Найдите вероятность того, что потребуется четное число бросаний.

2.19. Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для анкетирования произвольным образом отбирают 5 человек. Найдите вероятность того, что среди них будет хотя бы одна студентка.

2.20. Из партии, содержащей 30 изделей, среди которых 5 бракованных наудачу извлекают 5 изделий для контроля. Найдите вероятность того, что среди них хотя бы два изделия являются бракованными.

2.21. В партии из 100 электроламп есть 8 бракованных. Какова вероятность того, что среди случайным образом выбранных 10 электрических ламп 3 окажутся бракованными?

2.22. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационную программу, студент знает 30. Найдите вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает: а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос.

2.23. Монета подбрасывается до тех пор, пока дважды не выпадет одной стороной. Найдите вероятность того, что потребуется 1) 2 бросания; 2) 3 бросания; 3) более 4 бросаний.

2.24. Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в город , если в наличии имеется 5 мест в городе , 8 – в , и 7 – в ?

2.25. Найдите вероятность того, что все 30 студентов одной группы родились: а) в разные дни года; б) 8 марта.

2.26. В ящике имеются шары трех цветов: 10 белых, 12 черных и 20 синих. Какова вероятность, что три вытащенных без возвращения шара окажутся одного цвета?

2.27. Найдите вероятность того, что в группе из 25 студентов 1-го курса окажутся хотя бы два человека, родившиеся в один день?

2.28. Правильная монета подбрасывается 6 раз. Найдите вероятность того, что выпадения орла и решки будут чередоваться.

2.29. Три раза подбрасывается игральная кость. Найдите вероятность того, что число выпавших очков не будет уменьшаться раз от разу.

2.30. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет шесть очков на верхней грани. Найдите вероятность того, что потребуется не более 4 подбрасываний.

Задача №3.

Первый прибор состоит из узлов, второй из узлов. Каждый из приборов работал в течение времени . За это время каждый из узлов первого прибора выходит из строя, независимо от других, с вероятностью , второго – с вероятностью .

1. Найдите вероятности следующих событий:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

2. Известно, что в течение некоторого промежутка времени длины из строя вышли два узла. С какой вероятностью эти узлы принадлежат одному прибору.

3. Пусть произошло событие . С какой вероятностью в первом приборе вышло из строя больше двух узлов.

№			№			№
	0,3	0,2		0,3	0,2		0,3	0,1
	0,3	0,2		0,2	0,3		0,3	0,2
	0,3	0,2		0,2	0,3		0,2	0,1
	0,2	0,1		0,3	0,2		0,3	0,2
	0,3	0,2		0,2	0,3		0,2	0,3
	0,3	0,2		0,3	0,2		0,3	0, 2
	0,2	0,3		0,2	0,3		0,3	0, 2
	0,3	0,2		0,1	0,3		0,1	0, 2
	0,3	0,2		0,3	0,2		0,2	0, 2
	0,2	0,3		0,2	0,3		0,2	0,3

Задача №4.

Три раза запускается датчик случайных чисел, выбирающий из интервала числа . Найдите вероятность события .

Вар

Задача №5.

5.1. Поступающие в магазин часы изготовляются на 3-х заводах. Первый завод производит 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. В продукции 1го завода 80% часов спешат, второго завода - 70% часов спешат, третьего- 90% часов спешат. Какова вероятность того, что купленные наудачу часы спешат?

5.2. В альбоме 10 чистых и 12 гашеных марок. Из альбома наудачу извлекаются три марки и подвергаются гашению, а затем возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются две марки. Найдите вероятность того, что эти две марки чистые.

5.3. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,7; на втором месте – с вероятностью 0, 8; на третьем – с вероятностью 0,6. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, а рыба клюнула только один раз. Найдите вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

5.4. Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент знает только 40 вопросов. Определите вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

5.5. По воздушной цели ведут огонь две различные ракетные установки. Вероятность поражения цели 1ой установкой равна 0,6, второй – 0,7; обеими установками – 0,85. Найдите вероятность поражения цели второй установкой, если известно, что первая установка срабатывает с вероятностью 0,8, а вторая с вероятностью 0,7.

5.6. В ящике находится 10 новых теннисных мячей и 3 играных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращаются в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найдите вероятность того, что они будут играными.

5.7. В альбоме 10 чистых и 12 гашеных марок. Из альбома наудачу извлекаются три марки и подвергаются гашению, а затем возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются две марки. Известно, что эти две марки чистые, найдите вероятность того, что первоначально извлеченные три марки чистые.

5.8. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определите вероятность того, что изделие стандартное, если оно прошло упрощенный контроль.

5.9. В трех урнах содержатся белые и черные шары: в первой урне – 2 белых и 3 черных шара; во второй – 2 белых и 2 черных шара; в третьей – 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны вынут наудачу шар и переложен во вторую. Затем из второй урны вынут наудачу шар и переложен в третью. Наконец из третьей урны шар переложен в первую. Какой состав шаров в первой урне наиболее вероятен?

5.10. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

5.11. В правом кармане имеются три монеты по 20 копеек и четыре монеты по 3 копейки, а в левом – шесть монет по 20 копеек и 3 монеты по 3 копейки. Из правого кармана в левый наудачу перекладывают 5 монет. Определите вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 копеек, если монета берется наудачу.

5.12. В альбоме 6 чистых и 10 гашеных марок. Из альбома изымаются три наудачу извлеченные марки. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки. Найдите вероятность того, что эти две марки чистые.

5.13. Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой находится 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

5.14. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если вторым?

5.15. Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определите вероятность ложной тревоги.

5.16. В коробке находятся 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найдите вероятность того, что для второй игры будут вытянуты два новых мяча.

5.17. В альбоме 6 чистых и 10 гашеных марок. Из альбома изымаются три наудачу извлеченные марки. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки. Известно, что эти две марки чистые, найдите вероятность того, что первоначально изъятые марки гашеные.

5.18. Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание – с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров – лишь 15, а остальные студенты знают все билеты?

5.19. В первой урне находится 7 белых и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 8 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую два шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

5.20. В студенческой группе 7% юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовые телефоны. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?

5.21. В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению, и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекаются три марки. Определите вероятность того, что все три марки – чистые.

5.22. В первом ящике 3 белых и 5 черных шаров, а во втором – 6 белых и 8 черных. Из первого ящика во второй перекладывают два наудачу извлеченных шара. После этого наудачу из второго ящика извлекают один шар, известно, что этот шар белый. Найдите вероятность того, что извлеченные из первого ящика шары – белые.

5.23. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2, при двух равна – 0,6, при трех - цель заведомо поражается. Найдите вероятность поражения цели.

5.24. В альбоме 8 чистых и 6 гашеных марок. Из альбома наудачу извлекаются три марки и заменяются чистыми. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки, известно, что они чистые. Найдите вероятность того, что первоначально извлеченные марки – гашеные.

5.25. Известно, что в урне находится 3 шара, каждый из которых может быть равновероятно белым или черным. Из урны вынимают один шар, который оказался белым. Какое предположение об исходном наборе цветов наиболее вероятно?

5.26. Известно, что в урне находится 4 шара, каждый из которых может быть равновероятно белым или черным. Из урны вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают в сторону. С какой вероятностью следующий вынутый шар окажется черным?

5.27. В коробке находятся три монеты достоинством 5 рублей, 2 двухрублевые и пять десятирублевых монет. Первый игрок вытащил две монеты. С какой вероятностью, вытащенная после этого вторым игроком монета окажется достоинством 10 рублей?

5.28. В потоке три группы, в первой к экзамену допущены 15 студентов из 20, во второй 18 из 25, в третьей 12 из 18. Выбранный наугад из списка студент оказался недопущенным к экзамену. С какой вероятностью он обучается в третьей группе?

5.29. Известно, что в среднем 90% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,1, если она нестандартна. Определите вероятность того, что изделие стандартное, если оно прошло упрощенный контроль.

5.30. Имеются две неразличимые монеты, одна из которых правильная, а вторая выпадает гербом в 60% случаев, а решкой – в 40%. Выбранная наугад монета два раза подряд выпала гербом. С какой вероятностью она неправильная?

Домашнее задание №2 «Случайные величины»

Задача №1

Найдите вероятность того, что из наугад взятых человек

А) ровно празднуют день рождения с вами в один день,

Б) не более человек родились в течение той же недели.

(Возможностью родиться 29 февраля пренебрегаем)

Вар	Вар	Вар

Задача №2

Производятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании .

1) Найти вероятность того, что в испытаниях число успехов будет не меньше и не больше .

2) Найти вероятность того, что в испытаниях относительная частота успеха будет отличаться от его вероятности не больше, чем на .

3) Сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью относительная частота успеха отличалась от его вероятности не больше, чем на .

№			№
	0,4	0,1		0,55	0,1
	0,6	0,05		0,65	0,05
	0,7	0,01		0,75	0,01
	0,8	0,1		0,85	0,02
	0,45	0,05		0,35	0,02
	0,55	0,01		0,4	0,1
	0,65	0,1		0,7	0,01
	0,75	0,05		0,75	0,05
	0,85	0,01		0,65	0,02
	0,35	0,02		0,4	0,05
	0,85	0,01		0,6	0,04
	0,35	0,02		0,7	0,1
	0,7	0,05		0,8	0,01
	0,8	0,01		0,25	0,05
	0,45	0,02		0,75	0,02

Задача №3

В урне белых шаров, –черных и –синих. Наудачу извлекается шаров. Обозначим через число вынутых белых шаров, а через – черных. Найдите совместное распределение случайных величин и и значение совместной функции распределения ) в точках и ), если выборка производится: А) с возвращением, Б) без возвращения.

В случае Б) найдите законы распределения компонент и , их математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции.

Вар

Поделиться:

Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Поиск по сайту:

Читайте также:

Деталирование сборочного чертежа

Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей?

Собственные движения и пространственные скорости звезд

Тема 11. Банковские риски и способы их оценки

Опросник «Активность повседневной жизни»

Интересно:

Роль и значение мотивирующих факторов в управлении организацией

Как устроена магнитная головка

Роль грибов в заболеваниях растений

Роль коммуникаций в менеджменте. Виды коммуникаций

Обратная связь