Лабораторная работа № 12
Колебания связанной системы
Цель работы: изучение движения двух физических маятников, связанных между собой слабо растянутой пружиной.
Оборудование: установка, секундомер, миллиметровая линейка.
Продолжительность работы - 4 часа.
Теоретическая часть. Описание установки
В работе изучается движение системы, состоящей из двух одинаковых физических маятников, связанных между собой слабо растянутой пружиной (рис.1). Такая система является системой с двумя степенями
свободы.
Отклоним один из маятников, а другой задержим на месте. Затем одновременно отпустим оба маятника. Картину колебаний можно изобразить в виде графика, показанного на рис.2.
Вначале первый маятник качается примерно так же, как если бы второй маятник мы удерживали рукой, и пружина между ними заметно сжимается и разжимается. Так как энергия, сообщенная первому маятнику, через пружину передается второму, то амплитуда колебаний первого маятника постепенно убывает, в то время как амплитуда второго - нарастает.
Этот процесс будет продолжаться время T /2, до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй не будет качаться почти с такой же амплитудой, как и первый в самом начале. Затем маятники поменяются ролями и процесс полностью повторится. Маятники совершают то нарастающие, то убывающие колебания. Такие колебания с медленно и
|
|
Рис.2. Графическое изображение биений: а - колебания первого
маятника; б - колебания второго маятника
периодически меняющейся амплитудой называются биениями, а время T - периодом биений.
Уравнение, описывающее такие колебания, имеет вид:
где 
- частота биений; 
- частота колебаний маятников.
При отсутствии пружины уравнение, описывающее малые колебания каждого маятника, имеет вид:
, (1)
где 
- момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; 
- угловое ускорение; 
- масса маятника; 
- расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.
Решение этого уравнения определяет угловое положение маят-
ника в процессе движения:
, (2)
где
- (3)
частота; 
- амплитуда; 
- начальная фаза колебаний.
Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями, т.е. начальными отклонениями и начальными скоростями маятников.
Если маятники, соединенные пружиной, отклонить в одну сторону на одинаковые углы и одновременно отпустить без начальной скорости, то наличие легкой пружины не повлияет на частоту колебаний. Действительно, сила натяжения пружины все время направлена строго перпендикулярно плоскостям колебаний, поэтому она не создает момента относительно оси поворота маятника. Частота колебаний маятников в этом случае равна частоте, определяемой выражением (3). Такие колебания называются синфазными, т.е. происходящими в одной фазе.
Если маятники отклонить в разные стороны на углы одинаковой величины и одновременно отпустить без начальной скорости, то кроме момента силы тяжести на каждый маятник будет действовать момент силы натяжения пружины. При таких начальных условиях углы отклонения маятников от положения равновесия в каждый момент времени равны по величине и противоположны по знаку. Такие колебания называются противофазными. Частота противофазных колебаний определяется формулой
(4)
где 
- расстояние от точки подвеса до пружины.
Частота биений равна разности частот 
и 
:
. (5)
Из соотношений (3), (4) и (5) следует
~ 
. (6)
Вывод соотношений (3) - (6) приведен в приложении.
Экспериментальная часть
Перед началом измерений следует убедиться, что маятники имеют одинаковую частоту колебаний. Для этого, сняв пружину, маятники отклоните и одновременно отпустите. Наблюдая колебания в течение достаточно большого времени (маятники должны совершить не менее 50 колебаний), убедитесь, что разность фаз колебаний не изменяется. При необходимости измените положение одного из тел на стержне.
Упражнение 1. Определение частот синфазных и противофазных колебаний.
Установите пружину на расстоянии 50 см от точки подвеса маятников. Возбуждая последовательно синфазные и противофазные колебания, определите частоты и . Поскольку эти частоты близки друг другу, для их достаточно точного определения необходимо измерить время большого числа (не менее 50) колебаний.
Упражнение 2. Определение частоты биения.
Для наблюдения биений отклоните один из маятников, удерживая другой в положении равновесия, и одновременно их отпустите. Наблюдая за одним из маятников, измерьте время 
между моментами, когда его амплитуда становится минимальной. Рассчитайте частоту биений 
Сравните полученное значение со значением, рассчитанным по формуле (5).
Упражнение 3. Проверка зависимости частоты биения от 
Из выражения (6) следует, что ~ 
поэтому, определив частоту биения при другом значении (значения должны отличаться примерно в два раза), убедитесь в справедливости соотношения
.
Литература
1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Физматлит, 2001. - §§ 6.1, 6.2.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 1. -
§§ 8.1, 8.4 - 8.7.
Приложение