Исследуем характер движения маятников при произвольных начальных условиях. Пусть в некоторый момент времени маятники отклонены от положения равновесия на малые углы 
и 
, причем > . При малых углах отклонения длину предварительно растянутой пружины можно считать неменяющейся в процессе движения, следовательно, можно считать неизменной силу ее натяжения.
Рассмотрим сначала маятник, изображенный на рис.П1 слева. Сила натяжения 
пружины в этом случае не перпендикулярна плоскостям
 |
Рис.П1. Положение маятников в некоторый произвольный
момент времени
колебаний, поэтому ее момент относительно оси поворота маятника отличен от нуля и равен
,
где 
= ç ОА ç= ç ОВ ç - расстояние от точки подвеса маятника до точки крепления пружины.
Связь угла 
(см. рис.П1) с углами и можно найти из треугольников DAE и OEA:
,
где 
= ç BC ç= ç ED ç- расстояние между плоскостями колебаний маятников.
Таким образом, уравнение движения левого маятника будет иметь вид:
. (П1)
Угол отклонения правого маятника меньше угла отклонения левого маятника, поэтому момент силы , действующий на правый маятник, противоположен по знаку моменту силы тяжести. С учетом этого уравнение движения правого маятника имеет вид:
(П2)
Уравнения (П1) и (П2) представляют собой систему дифференциальных уравнений, описывающих движения маятников. Суммируя и вычитая эти уравнения получаем:
, 
,
которые аналогичны уравнению (П1), только в качестве переменных в них входят сумма и разность углов отклонения маятников. Соответственно длясуммы и разности углов можно записать решения в общем виде:
,
, (П3)
где
, 
. (П4)
Параметры маятников и пружины выбраны такими, что 
, поэтому частоты 
и 
мало отличаются друг от друга.
Из (П3) легко получить выражения для и :
. (П5)
Уравнения (П5) определяют угловые отклонения маятников от положения равновесия в процессе движения.
Проанализируем влияние начальных условий на характер движения маятников. Рассмотрим три случая.
1. Пусть маятники вначале отклонены в одну сторону на одинаковые углы и отпущены без начальной скорости, т.е. при 
и 
. Тогда из уравнений (П5) для этого момента времени следует
,
,
,
.
Решив полученную систему уравнений, найдем, что 
, 
и 
. Тогда уравнения (П5) принимают вид:
, 
,
т.е. частоты колебаний маятников одинаковы и равны частоте колебаний каждого маятника при отсутствии пружины (см. выражения (3) и (П4)). Кроме того, углы отклонения маятников и в любой момент времени равны, т.е. при таких начальных условиях колебания
маятников синфазные.
2. Пусть маятники вначале отклонены в разные стороны на одинаковые углы и отпущены без начальной скорости, т.е. при 
и 
Так же, как и в первом случае, определив 
и 
, получим:
т.е. углы и равны по величине и противоположны по знаку в любой момент времени. Следовательно, при таких начальных условиях колебания маятников противофазные и имеют одинаковую частоту , большую (см. уравнения (П4)).
3. Пусть один маятник вначале отклонен и отпущен без начальной скорости, а другой маятник в этот момент времени находится в положении равновесия, т.е. при 
, 
. При таких начальных условиях 
и , поэтому уравнения (П5) принимают вид:
Таким образом, колебания каждого маятника являются суммой (или разностью) двух гармонических колебаний с близкими частотами. В этом случае будут наблюдаться биения.
Преобразуем эти уравнения к виду
(П6)
где 
, 
и 
Колебания, описываемые уравнениями (П6), можно рассматривать как гармонические с пульсирующей амплитудой, т.е. биения. Частота биений равна
Что и требовалось доказать.