Амплитуда максимальна, если




ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН

 

Теоретическое Введение

 

Звуком называют упругие волны, характеризующиеся частотами от 15 до 16000 Гц, т.е. волны, которые способен воспринять человеческий слуховой аппарат.

УПРУГИЕ ВОЛНЫЕСТЬ ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. Если какую-либо часть упругой среды вывести из равновесного положения, то между частями среды возникают силы упругости. Эти силы возвращают смещенную часть в равновесное положение и выводят из равновесия соседнюю часть среды. Такое распространение возмущений и представляет звуковую волну. Инертность (масса) частей среды препятствует мгновенному изменению скорости и пространственного положения частей упругой среды и является одной из причин обуславливающих конечность скорости звука.

Волны делят на поперечные и продольные, в зависимости от того, совершают ли частицы среды колебания перпендикулярно или вдоль направления распространения волны. Поперечные волны возникают в средах, характеризующихся упругостью на сдвиг (на изменение формы), то есть в твердых телах. Продольные — в средах обладающих упругостью на сжатие-растяжение (на изменение объема), т.е. в твердых, жидких и газообразных.

При нормальных условиях расстояния между молекулами газа (порядка 10-7 м) гораздо меньше длины звуковой волны l (0,2 м < l < 20 м). Поэтому молекулярное строение газа (прерывистости вещества) можно не учитывать и считать среду (газ) сплошной.

Найдем связь скорости звука со свойствами упругой газообразной cреды. Для этого рассмотрим случай плоских звуковых волн. Они могут быть возбуждены колеблющимся поршнем, помещенным в конце трубы, содержащим газ.

Пусть смещение поршня вдоль трубы описывается гармоническим законом:

 

S0 = Sa sin(wt) (1)

 

здесь Sa-амплитуда смещения; -циклическая частота.

Волновой процесс заключается в перемещении по газу зон сжатия и разрежения вещества. В этом случае S определяет смещение тонкого слоя газа и зависит от координаты слоя в невозмущенном состоянии и от времени S(x,t) (рис.1).

 
 

       
   
 

Рис.1

 

За время Dt волна дойдет до слоя газа с координатой x = v Dt, т.е. смещение этого слоя из равновесного положения запаздывает по времени на Dt по отношению смещению поршня. Положим, что нет перехода энергии волны в другие виды энергии, тогда

 

(2)

 

Здесь k = -волновое число.

Уравнение (2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси x со скоростью V.

Волна называется плоской, т.к. в любом тонком слое газа, перпендикулярном оси x (в пределах трубы) все частицы колеблются с одинаковой амплитудой и в одной фазе. Смещение S периодично по времени (с периодом Т) и периодично по координате x (с пространственным периодом l).

Дифференцируя уравнение волны для смещения (2) по времени, получим уравнение для скорости колебательного движения - колебательной скорости

 

, (3)

 

где — амплитуда колебательной скорости.

Дифференцируя еще раз уравнение волны для смещения (2) по времени, получим уравнение для ускорения колебательного движения - колебательного ускорения.


(3а)

 

где - амплитуда колебательного ускорения.

Сравнив выражения (2), (3), (3а), заключим, что изменение Vk опережает изменение S по фазе на , в пространстве на , изменение ak происходит в противофазе c изменением S.

Рассмотрим (рис.2) два слоя газа, равновесные положения которых отстоят на dx друг от друга . Смещения этих слоев из их положения равновесия в некоторый момент времени соответственно равны S и (S – dS). Площадь сечения трубы A0.

Объем газа между слоями и равновесном состоянии dW = A0dx. Относительное изменение объема газа

 

(4)

 
 

 

Рис.2

 

В нашем случае , т.е. объем газа уменьшается (сжатие). При объем газа увеличивается (разрежение).

Таким образом относительное изменение объема:

 

(5)

 

Дифференцируя (2) второй раз по x, получим:

 

(6)

 

Сравнив с (3а) имеем:

 

(7)

 

При решении уравнений, состоящих из вторых частных производных по координатам и по времени от некоторого параметра, всегда получаются уравнения волн. Поэтому уравнения вида (7) называют волновыми.

Уравнение (7) решается двойным интегрированием по х и t. При соответствующих начальных и граничных условиях можно получить уравнение плоской волны (2).

Ограничим объем газа в трубе двумя поршнями, расстояние между которыми равно L. Один из поршней - излучатель звуковых волн, второй - отражатель. В трубке возникает интерференция (наложение) излучаемой 1 и отразившихся от отражателя и излучателя волн 2, 3, 4, и т.д. (рис.3).

Напомним, что для интерференции необходима когерентность волн, т.е. разность фаз интерферирующих волн должна быть величиной постоянной во времени. Кроме того, смещение частиц среды под действием той или другой волны должно происходить вдоль одной прямой (однонаправленность смещения частиц среды). В нашем случае эти условия выполняются.

 
 

 

Рис.3

 

Рассмотрим сначала результат интерференции только первой и второй волн. Смещения слоя, координата которого в невозмутимом состоянии х, для этих волн запишется так:

 

(8)

 

(9)

 

Появление a обусловлено изменением фазы волны при отражении. В случае абсолютно твердого отражателя фаза волны меняется на p. Будем считать, что в нашем случае это условие выполняется. Тогда

 

 

Результирующее смещение

 

 

(10)

 

Таким образом, каждый слой газа колеблется по гармоническому закону. Выражение в квадратных скобках характеризует распределение амплитуд смещений вдоль трубы.

Найдем координаты максимумов и минимумов амплитуды.

Амплитуда минимальна, если

 

 

или

 

 

Амплитуда максимальна, если

 

 

или

(13)

 

Итак, при L - x равном нулю или целому числу полуволн, амплитуда результирующей волны равна нулю, при L - x равном нечетному числу - амплитуда максимальна. Такая волна является стоячей волной. Точки с максимальной амплитудой смещения - пучности смещения, точки с амплитудой равной нулю - узлы смещения.

Стоячая волна, есть волна со стационарным распределением амплитуды по длине трубы. В случае плоской бегущей волны, разные слои колеблются с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В тоячей волне все слои в пределах между соседними узлами колеблются в одинаковой фазе, но с разными амплитудами. Чтобы изобразить распределение амплитуд смещений стоячей волны вдоль трубы, удобнее откладывать амплитуды смещений, соответствующие каждому слою, в перпендикулярном к трубе направлении (смещения происходят вдоль трубы).

Построенная таким образом картина для некоторого момента времени изображена на рис.4.

 

 

Рис.4

 

Таким образом, если интерферируют только две волны, то стоячая волна возникает при любых .

Дифференцируя уравнение (10) один и второй раз по времени, можно получить уравнения стоячих волн, колебательной скорости и колебательного ускорения, фазы которых будут отличаться от фазы волн смещений. Однако, такое дифференцирование не меняет синуса, характеризующего пространственное распределение амплитуд. Поэтому пучности и узлы смещений будут совпадать с пучностями и узлами колебательной скорости и колебательного ускорения.

Дифференцируя уравнение (10) по х и подставляя результат в уравнение для акустического давления

 

,

 

получим уравнение стоячей волны

 

(14)

 

Распределение амплитуд акустического давления по длине трубы теперь определяет косинус. Поэтому пучности давления будут совпадать с узлами смещений, а узлы давления - с пучностями смещений (рис.5).

Координаты лучностей давления: (L - x) = n . Координаты узлов давления: (L - x) = (2 n + 1) .

 
 

 

Рис.5

 

Отметим, что в слое газа у отражателя возникает пучность давления, а значит и пучность силы, действующей на отражатель.

В стоячей волне рассмотренного типа перенос энергии волной 1 от излучателя (см. рис.2) компенсируется переносом энергии волной 2 от отражателя. Поэтому, в отличие от бегущей волны, перенос энергии стоячей волной вдоль трубы равен нулю. Происходит переход только кинетической энергии, которая максимальна, когда все слои одновременно проходят равновесные положения, в потенциальную и обратно. Последняя имеет наибольшее значение, когда слои достигают своих максимальных смещений от равновесных положений.

Напомним, что рассмотренный случай стоячих волн имеет место при учете только первой и второй волн.

Реальные стоячие волны возникают при наложении излучаемой волны и волн, отразившихся от отражателя и излучателя (см. рис.2). Введем дополнительно в рассмотрение волну 3. Коэффициент отражения примем равным единице, изменение фазы при отражении равным p.

 

(15)

 

Если волна 3 будет синфазна волне 1 (отличие фаз равна 2pn), то волна 4 окажется синфазной волне 2. Интерференция волн 3 и 4 приведет к точно такой же стоячей волне вдоль трубы, как и наложение волн 1 и 2. Это справедливо и для волн 5 и 6, 7 и 8 и т.д.

Найдем условие, при котором стоячие волны, образованные из волн 3 и 4, 5 и 6 и т.д. усилят стоячую волну, полученную при интерференции первой и второй волн.

 

 

или

(16)

 

Таким образом, если не предпринять специальных мер по устранению отражений от излучателя, то стоячие волны возникают при дискретных значениях L, а именно при L, кратных .

Частоты, соответствующие этим значениям L, носят название собственных (резонансных) частот колебаний воздушного столба

 

. (17)

 

Амплитуда в пучностях такой волны теоретически с течением времени стремится к бесконечности. Реально она всегда конечна. Это обусловлено переходом энергии волны в энергию хаотического теплового движения, а также излучением поверхностью трубы и поршнями звука в окружающее пространство.

Экспериментально в данной работе измеряются резонансные частоты, для которых на длине воздушного столба в трубе укладывается 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. полудлин волн звука.

; ;…….. .

 

Скорость звука находится по формуле:

 

. (18)

 

Для вычислений необходимо знать L и n. Длину резонансной трубы измеряют линейкой. Порядок резонанса n определяют, увеличивая плавно частоту от нуля и считая резонансы по максимумам сигнала на приемном преобразователе (отражателе).

В лабораторной установке излучателем звука является телефон, на который подается переменное электрическое напряжение от генератора. Отражатель, он же приемник звуковых волн, также телефон. Смещение мембраны телефона пропорционально силе (давлению). Поэтому телефон является датчиком акустического давления (а не смещения, колебательной скорости или колебательного ускорения).

При возникновении стоячей волны (резонанса) мембрана телефона-датчика (отражателя) оказывается в пучности давления и сигнал, полученный от него максисмален.

Блок-схема установки приведена на рис.6, где 1 - генератор переменного электрического напряжения ГЗ-1; 2 - излучатель звука; 3 - труба; 4 - отражатель (приемник звука); 5 - визуальный регистр сигнала на приемнике звука.

 
 

Рис.6

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: