Алгоритм применения формулы трапеций




1. Разбить отрезок [a,b] на n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h=(b-a)/n) x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b).

2. Вычислить значения функции f(x) в узлах сетки fi= f(xi).

3. Вычислить площади частичных трапеций по формуле трапеций

 

4. Найти приближенное значение интеграла по формуле

5.

 
 

Разбить отрезок [a,b] на 2n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h/2 x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b). Найти приближенное значение интеграла с новым шагом Ih/2.

6. Произвести оценку погрешности по формуле Рунге (p - порядок точности квадратурной формулы, для формулы трапеций p=2)

7. Продолжать уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности ri<e.

8. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

 

Пример реализации алгоритма в Excel

 

 


  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
  Вычисление определенного интеграла по формуле трапеций (подинтегральная функция f(x)=1/x)              
  Границы интегрирования                                  
  A     n   количество частичных отрезков                        
  B     h 0,1 шаг сетки                        
                                             
  i                                          
  Xi   1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9                      
  Fi 1,00 0,91 0,83 0,77 0,71 0,67 0,63 0,59 0,56 0,53 0,50                    
  Si 0,10 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,06 0,05 0,05                      
                                             
  S h 0,69377140 Приближенное значение интеграла                          
  i 0,69314718 Точное значение интеграла                            
                                             
  Границы интегрирования                                  
  A     n   количество частичных отрезков                        
  B     h 0,05 шаг сетки                        
                                             
  i                                          
  Xi   1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95  
  Fi 1,00 0,95 0,91 0,87 0,83 0,80 0,77 0,74 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,56 0,54 0,53 0,51 0,50
  si 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03  
                                             
  S h/2 0,693303380   приближенное значение интеграла                        
  I 0,693147181   точное значение интеграла                        
                                             
  r 0,000156 погрешность                              
                                             
                                               

 

 


 

Алгорим применения формулы Симпсона

1. Разбить отрезок [a,b] на n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h=(b-a)/n) x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b).

2. Посчитать координаты средних точек частичных отрезков xi-1/2= (xi-1+ xi)/2,

3. Вычислить значения функции f(x) в узлах сетки fi= f(xi).

4. Вычислить значения функции f(x) в средних точках fi-1/2= f(xi-1/2).

5. Вычислить площади частичных криволинейных трапеций по формуле Симпсона

 

6. Найти приближенное значение интеграла по формуле

7.

 
 

Разбить отрезок [a,b] на 2n частичных отрезков (построить на отрезке [a,b] сетку с шагом h/2 x0=a, xi= x0+i*h, i =1,2….n, xn=b). Найти приближенное значение интеграла с новым шагом Ih/2.

8. Произвести оценку погрешности по формуле Рунге (p - порядок точности квадратурной формулы, для формулы Симпсона p=4)

9. Продолжать уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности ri<e.

10. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

 

Пример реализации алгоритма в Excel

 

 


  A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
  Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (подинтегральная функция f(x)=1/x)              
  Границы интегрирования                                  
  A     n   количество частичных отрезков                        
  B     h 0,1 шаг сетки                        
                                             
  iI                                          
  Xi   1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9                      
  Xi-1/2 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 1,75 1,85 1,95                      
  Fi 1,00 0,91 0,83 0,77 0,71 0,67 0,63 0,59 0,56 0,53 0,50                    
  Fi-1/2 0,95 0,87 0,80 0,74 0,69 0,65 0,61 0,57 0,54 0,51                      
  si 0,10 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,06 0,05 0,05                      
                                             
  S h 0,69314737 Приближенное значение интеграла                          
  I 0,69314718 Точное значение интеграла                            
                                             
  Границы интегрирования                                  
  A     n   количество частичных отрезков                        
  B     h 0,05 шаг сетки                        
                                             
  II                                          
  Xi   1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95  
  Xi-1/2 1,03 1,08 1,13 1,18 1,23 1,28 1,33 1,38 1,43 1,48 1,53 1,58 1,63 1,68 1,73 1,78 1,83 1,88 1,93 1,98  
  Fi 1,00 0,95 0,91 0,87 0,83 0,80 0,77 0,74 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,56 0,54 0,53 0,51 0,50
  Fi-1/2 0,98 0,93 0,89 0,85 0,82 0,78 0,75 0,73 0,70 0,68 0,66 0,63 0,62 0,60 0,58 0,56 0,55 0,53 0,52 0,51  
  si 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03  
                                             
  S h/2 0,693147193   приближенное значение интеграла                        
  I 0,693147181   точное значение интеграла                        
                                             
  r -1,21278E-08 погрешность                              
                                             
                                               

 

 


 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: