Лабораторная работа № 15
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы ‑определение параметров затухающих колебаний с помощью маятника.
Приборы и принадлежности
Маятник, сменные диски, секундомер.
Краткая теория.
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.
Свободными или собственными являются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания математического маятника, вертикального пружинного маятника. Малые колебания будут гармоническими, если сила, действующая на материальную точку, пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Такие силы носят названия упругих или квазиупругих сил. Так в случае колебаний математического маятника роль квазиупругой силы будет играть составляющая силы тяжести.
Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действия которых приводит к уменьшению механической энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счёт работы внешних сил, то колебания будут затухающие.
Рассмотрим свободные затухающие колебания. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Скорость системы будет также малой, а в этом случае можно принять силу сопротивления пропорциональной скорости движения.
Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки на основании второго закона Ньютона:
(1)
где F1 = - k x - упругая или квазиупругая сила
F2 = - r dx / dt - сила сопротивления.
Если обозначить
, 
,
то уравнение (1) можно переписать в следующей форме:
(2)
Решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:
x = A0 e-b t× cos(wt + j) (3)
здесь А0 - начальная амплитуда,
j - начальная фаза,
- циклическая частота свободных затухающих колебаний (причём b << w0 - затухание невелико).
График функции (3) представлен на рис.1.
Рис.1. График затухающих колебаний
В соответствии с видом функции (3) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по экспоненциальному закону:
At = A0 e -b t (5)
затухания колебаний определяется величиной b = r / 2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдём время t, по истечении которого амплитуда убывает в е раз, это время называется временем релаксации:
At + t =A0 e - b (t + t)
По определению
т.е. bt =1, чем больше коэффициент затухания, тем меньше время релаксации.
Для оценки затухания системы вводят понятия логарифмического декремента затухания.
Логарифмический декремент затухания характеризует качество колебательной системы и численно равен натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, различающихся во времени на период колебания.
(6)
за время релаксации система совершает N полных колебаний, тогда
t = TN и b T N = 1
т.е. l N = 1 l = 1/ N (7)
Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда убывает в е раз.
Для характеристики колебательной системы часто используется величина, называемая добротностью:
Q 
N (8)
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
2. Порядок выполнения работы
2.1. Определение периодов колебаний маятников
1. Приведите в движение маятник и отметьте его отклонение от положения равновесия через 3, 6, 9, … колебаний. Не менее, чем по семи точкам постройте график зависимости амплитуды от числа колебаний.
2. Закрепите на маятнике последовательно диски различных масс и диаметров и постройте зависимости амплитуды от числа колебаний. Удобно построить все графики на одном листе; так легче будет провести анализ полученных результатов. Заранее продумайте масштаб построения графиков, чтобы кривые были достаточно хорошо разрешены.
2.2. Определение логарифмического декремента затухания
Воспользовавшись значением амплитуд через n и (n + k) колебаний, найдите логарифмический декремент затухания для каждой из рассматриваемых в задании 1 систем.
(9)
здесь An – амплитуда n- го колебания, An+k – амплитуда (n+k) колебания.
1.3. Определение коэффициента затухания
1. Постройте зависимость натурального логарифма амплитуды колебаний системы от времени. В соответствии с (5) ln A = ln A0 - b t. Отсюда видно, что зависимость ln A от времени линейна. Угловой коэффициент прямой равен коэффициенту затухания со знаком "минус".
где (t1 , A1) и (t2, A2) координаты двух точек на графике ln A = f(t).
По тангенсу угла наклона прямых определите коэффициент затухания для всех систем. Рассчитайте логарифмические декременты затухания по формуле (6) для всех колебательных систем.
2.4. Сравнительный анализ результатов
1. Проведите сравнительный анализ данных о периоде колебаний, коэффициенте затухания и логарифмическом декременте затухания для разных систем.
Составьте сводную таблицу для рассматриваемых величин.
2. Рассчитайте добротность каждой из указанных колебательных систем.
Рекомендуемые формы таблиц
Таблица 1. Измерения для определения логарифмического декремента затухания (k = 5)
| 1 диск | 2 диск | 3 диск | 4 диск | |||||
| n0 | k | A, град | k | A, град | k | A, град | k | A, град |
| 3 | ||||||||
| 6 | ||||||||
| 9 | ||||||||
| 12 | ||||||||
| 15 |
Таблица 2. Измерения для определения периода затухающих колебаний
| Номер диска | |||||
| Измер. вел | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| t, c | |||||
| N | |||||
| A, град |
Таблица 3. Измерения для определения коэффициента затухания
| № опыта | Измер. вел. | Результаты измерений | ||||
| t, c | ||||||
| A, град | ||||||
| ln A | ||||||
| t, c | ||||||
| A, град | ||||||
| ln A | ||||||
| и т.д. |
3. Контрольные вопросы
1. Какие параметры затухающих колебаний осциллятора меняются со временем?
2. Почему амплитуда собственных колебаний убывает со временем?
3. Как определить период затухающих колебаний, от чего он зависит?
4. Какие величины характеризуют затухание системы?
5. Что называется логарифмическим декрементом затухания, временем релаксации, добротностью колебательной системы?
6. Какой из двух способов определения логарифмического декремента затухания и добротности Вы считаете более точным? Почему?
7. Как зависит логарифмический декремент от массы и площади дисков? Получите формулу l = f(m,S).
8. Как изменяется колебания маятника, если его поместить в жидкость, в вакуум?
Литература
1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.:Высш.шк.,2000.-718с.
2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1999.
3. Стрелков С.П. "Механика", М.: 1975. стр. 432-437.
4. Савельев И.В. "Курс общей физики", М.: 1977. стр. 206-210.
5. Архангельский М.М. "Курс физики (механика)", М.: 1975. стр. 327-331.
6. М.Г. Брик, И.Д. Брегеда, М.П. Матвеякин. Методы обработки эксперимента в лабораторном физическом практикуме. Учебное пособие. Краснодар, 1997.