Упражнение 2. Изучение колебаний маятников в режиме «биений».

1. Задайте режим колебаний, соответствующий наиболее выраженным биениям: один маятник удерживайте в положении равновесия, а второй отклоните на угол , и затем маятники одновременно отпустите.

2. После установления стабильного колебательного процесса запустите программу измерений и записывайте колебания в течение 2…3 минут. При этом на экране монитора будут отображаться графики зависимостей и , каждый из которых имеет форму биений. Графики биений маятников «сдвинуты» по времени, так что в моменты, когда амплитуда колебаний одного маятника максимальна, амплитуда другого минимальна, и наоборот. При этом происходит периодическая (с периодом ) «перекачка» энергии колебаний от одного маятника к другому. Графики сохраните в памяти компьютера.

3. Определите по графикам период биений (см. рис.1) и его погрешность. Для повышения точности используйте инструменты «Обзор» и «Лупа».

4. Рассчитайте частоту биений и ее погрешность, сравните полученный результат с величиной , рассчитанной по результатам измерений частот противофазных и синфазных колебаний.

5. При помощи инструмента «Формула» (рис.7) рассчитайте и постройте графики зависимостей от времени и . Согласно формулам (6) и (7) в обоих случаях должны получиться гармонические колебания: колеблется с собственной частотой , а - с частотой (такие обобщенные координаты, колеблющиеся с собственными частотами, называют нормальными).

Полученные результаты сведите в таблицу:

Частота синфазных колебаний	Гц
Частота противофазных колебаний	Гц
Частота биений (расчет)	Гц
Частота биений (эксперимент)	Гц
Частота колебаний величины	Гц
Частота колебаний величины	Гц

Упражнение 3. Проверка формулы (9).

Увеличьте расстояние в раза и измерьте соответствующее значение частоты биений . Покажите, что в соответствии с формулой (9) .

Упражнение 4. Фурье-анализ биений.

В теоретической части описания лабораторной работы показано, что для колебательной системы с двумя степенями свободы могут быть реализованы различные виды колебаний в зависимости от начальных условий. В упражнении 2 получены экспериментальные графики биений связанных маятников. Функция, описывающая каждый из этих графиков, является периодической и непрерывной.

В курсе высшей математики доказывается, что непрерывные или кусочно-непрерывные периодические функции можно представить в виде суммы конечного или бесконечного числа синусов и косинусов, взятых с определенными коэффициентами (амплитудами). Можно утверждать, что любое периодическое движение может быть представлено как суперпозиция гармонических колебаний. Фурье – анализ – это раздел математики, в котором сформулированы правила определения амплитуд этих тригонометрических функций и их аргументов (частот). Аппаратура и программное обеспечение лабораторной работы позволяют выполнить Фурье – анализ экспериментального графика. Для этого:

1. Выведите на экран график биений одного из маятников из упражнения 2.

2. Откройте окно «Изменение каналов», воспользовавшись инструментом «Формула» (На рис.7- ).

3. Заполните диалоговое окно так, как показано на рис.8.

4. Нажмите кнопку «Рассчитать», в результате на графике «биений» в 1000 раз уменьшится масштаб по оси времени (это необходимо, если учесть ожидаемые порядки собственных частот).

Рис.8. Окно для изменения масштаба по оси времени

5. Нажмите на панели инструментов кнопку f (Анализ Фурье).

6. В появившемся окне нажмите кнопку «Рассчитать».

7. Примените инструмент «Лупа» к графику на экране, «растянув» начальный участок этого графика. В результате получите зависимость как на рис.9.

Рис.9. Пример Фурье – анализа спектра биений связанных маятников

8. С помощью инструмента «Обзор» определите абциссы пиков этого графика и . Они должны совпадать с частотами синфазных и противофазных колебаний.

9. Сравните полученные значения с результатами других измерений.

Сформулируйте выводы по работе.

Индивидуальные задания

№ бригады	1 и 7	2 и 8	3 и 9	4 и 10	5 и 11	6 и 12
Расстояние , см

Подготовка к работе.

1. Физические понятия, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

ü гармонические колебания; амплитуда, фаза, начальная фаза, период, частота, циклическая частота, дифференциальное уравнение гармонических колебаний;

ü сложение гармонических колебаний, биения;

ü математический и физический маятники, собственная частота колебаний;

ü колебания связанной системы.

2. Приведите в конспекте подробный вывод формул (5) – (7)

3. Расчетное задание.

ü По формулам (7), (8) рассчитайте зависимости и в режиме биений. Величину , выберите в соответствии с индивидуальным заданием.. При расчетах примите: m= 1кг, l= 1 м, k= 3Н/м. Постройте графики и , используя любую доступную компьютерную программу построения графиков (например, https://www.yotx.ru/default.aspx).

Примечание. Пункты 2, 3 выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§5.4, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика– М.: Астрель×АСТ, 2005; §§5.3, 5.4, 8.1, 8.5, 8.6, 8.7, 8.9, 8.11.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2,Москва.: Лань, 2004; Глава 24, 2.

Приложение

При малых углах отклонения маятников от вертикали (, , рис. 2б) ось пружины при колебаниях остается практически горизонтальной (рис.П.1.). В этом случае суммарный момент сил тяжести и упругости относительно оси вращения 1-го маятника равен

где - проекция силы на ось , - деформация пружины. Момент сил, действующих на второй маятник, относительно его оси вращения равен

где , . При малых углах отклонения маятников от вертикали , , поэтому

, .

Рис. П.1. Связанные маятники

Полученные выражения для моментов сил подставим в уравнения динамики вращательного движения маятников:

, ,

где - момент инерции каждого маятника относительно оси вращения. После сокращения получим

, (П1)

где введены обозначения: , . Заметим, что величина равна собственной частоте уединенного (несвязанного) маятника, а величина зависит от параметров маятника и пружины, ее называют коэффициентом связи системы.