По учебному плану недельная нагрузка для учебной группы второго курса должна составлять 36 часов — по шесть учебных часов (или по три "пары") в день:
- математика 12 часов (6 пар);
- информатика 8 часов (4 пары);
- экономика 4 часа (2 пары);
- английский язык 4 часа (2 пары);
- бухгалтерия 4 часа (2 пары);
- делопроизводство 4 часа (2 пары).
Составить расписание занятий для двух групп на неделю так, чтобы в один день у каждой группы были по три разных дисциплины.
В данной задаче удобно при расчетах за единицу измерения выбрать сдвоенный учебный час, т.е. "пару", как это и делается при составлении расписаний на практике. Математическая модель должна включать в себя бинарную матрицу назначений. Число 1 обозначает, что занятие есть, а число 0 обозначает, что занятия нет.
В задаче нет нормативных коэффициентов, так как все занятия считаются одинаково ценными. Поэтому нужно просто сравнивать количество занятий с заданными ресурсами студентов и преподавателей. Ресурс студентов одинаков для всех дней недели и составляет три пары. Ресурс преподавателей для каждой группы определен учебным планом и изложен в условиях задачи.
Обе группы рассмотрим в одной таблице, заполнив матрицу нормативных коэффициентов единицами:
В строке 10 суммируем число занятий студентов в день, а в столбцах N и O суммируем число занятий по дисциплинам по Гр.1 и Гр.2 соответственно. Целевую функцию помещаем в ячейку Р11 как сумму ячеек N10 и O10.
В таблице присутствуют формулы автосуммы:
увеличить изображение
Десять столбцов скрыты, формулы в них аналогичны формулам в столбцах В и С.
Далее устанавливаем параметры "Поиска решения":
В результате поиска выдается одно из допустимых решений:
Данный процесс составления расписаний позволяет учитывать отдельные пожелания преподавателей. Например, преподаватель английского языка не может приходить по понедельникам. Тогда в параметры поиска решения вводим новое ограничение: В7:С7=0.
Ключевые термины
Закрытая модель — возможности поставщиков отправлять грузы совпадают с возможностями потребителей принять грузы (ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей).
Матрица назначений — матрица 
с бинарными коэффициентами. Коэффициент 
равен 1, если субъект 
назначен на объект 
, и равен 0 в противоположном случае.
Ресурс назначений — предельное число допустимых событий для субъекта или объекта.
Краткие итоги
В лекции рассмотрены методы оптимизации математических моделей транспортных задач. Несмотря на название "транспортные", математические модели этого типа охватывают многие задачи назначения и управления. В транспортных задачах используют, как правило, несколько матриц, в частности, бинарную матрицу назначений.
Вопросы
- Какова общая структура транспортных моделей?
- Как именуются пункты отправления?
- Как именуются пункты назначения?
- Можно ли именовать отправляемые грузы в пунктах отправления как предложение?
- Можно ли именовать ожидаемые грузы в пунктах назначения как спрос?
- Чем характеризуется закрытая модель?
- Как формируется целевая функция в транспортных задачах?
Упражнения
В качестве упражнения предлагаем самостоятельно решить задачу коммивояжера. После этого сверьте свое решение с решением, изложенным ниже.
Задача 3.4
Коммивояжер должен объехать 7 городов. Выехав из одного города, он должен вернуться в него, заехав в каждый из других городов только один раз. Маршрут коммивояжера должен представлять собой замкнутый цикл без петель. Требуется найти кратчайший замкнутый путь коммивояжера. Карта расположения городов показана на рисунке. Расстояния между городами показаны в таблице.
Математическая модель данной транспортной задачи сводится к заданию двух матриц:
— число прохождений пути из города в город . Переменная 
принимает значение 1, если коммивояжер переезжает из города в город 
и 0 в противном случае.
— расстояния между городами (в общем случае матрица несимметрична, т.е. 
.
Кроме того, должны быть заданы два вектора:
— ресурс выезда (число выездов из каждого города);
— ресурс въезда (число въездов в каждый город).
Целевая функция определяет пройденный путь коммивояжера, который должен быть минимальным. Она равна скалярному произведению матриц:
Множество допустимых решений ограничивается ресурсами въезда и ресурсами выезда:
— число прохождений пути из города в город не может превышать заданный ресурс выезда из города ;
— число прохождений пути из города в город не может превышать заданный ресурс въезда в город .
Кроме того, для предупреждения петель вводятся дополнительные условия:
или 
Для решения задачи средствами MS Excel нам нужно на листе книги представить дополнительно к матрице расстояний между городами 
матрицу числа прохождений пути из города в город и сформировать целевую функцию в виде суммы всех маршрутов коммивояжера. Подготовленные таблицы будут выглядеть следующим образом:
В первой матрице диагональные элементы, вообще говоря, равны нулю. Но мы поставили в них большие числа, чтобы предотвратить выезд из города и немедленный въезд в него. Во вторую таблицу вставлены следующие формулы:
увеличить изображение
В диалоговом окне "Параметры поиска решения" вводим ограничения въездов и выездов заданными ресурсами:
В столбце О приведены переходы коммивояжера между городами. Отсутствие петель обеспечивается вторым ограничением.
