Если рамка состоит из n витков и угол отклонения мал (sin a » a) то

Электроёмкость

Электроемкость. Если сообщить проводнику электрический заряд, то его потенциал относительно какой-либо точки (например, Земли) будет возрастать пропорционально заряду: U ~ q. Коэффициент пропорциональности называется электрической емкостью (сокращенно просто емкость) проводника. Емкость характеризует способность тела накапливать заряды. Емкость численно равна заряду, перенесение которого на проводник повышает его потенциал на единицу.

Если С – емкость тела, q – подведенный заряд, U – разность потенциалов, то

С = q/U. (1)

Единицы емкости в СИ: [C] = [q]/[U] = Кл/B = Ф.

Соотношение между единицами емкости:

1 Ф = 10⁶ микрофарад (мкФ) = 10¹² пикофарад (пФ).

Конденсаторы. Уединенные проводники обладают малой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкФ. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе (конденсировали) заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называют его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали воздействия на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было полностью сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно, бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Конденсаторы представляют собой два разноименно заряженных проводника, находящихся на небольшом расстоянии друг от друга.

Величина емкости конденсаторов определяется их геометрией (формой и размерами обкладок и величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

Найдем формулу для емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, а заряд на ней q, то напряженность поля между обкладками равна (выведена с использованием теоремы Гаусса – Остроградского *):

E = .

здесь s – поверхностная плотность заряда, s = q/S.

Разность потенциалов между обкладками равна:

j₁ – j₂ = E d = ,

откуда для емкости плоского конденсатора получается следующая формула:

C = q/(j₁ – j₂) = e₀eS/d (2)

Где S – площадь обкладки, d – величина зазора между обкладками, e – диэлектрическая проницаемость заполняющего зазор вещества.

* Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики. Остроградский Михаил Васильевич (1801–1862) – отечественный математик и механик.

Вычислим емкость цилиндрического и сферического конденсаторов. Напряженность поля между обкладками цилиндрического конденсатора рассчитывается как для поля бесконечного заряженного цилиндра с использованием теоремы Гаусса - Остроградского:

E(r) = ,

гдеl – линейная плотность заряда,l = q/l, l – длина обкладок.

Заменив в формуле l на q/l, получим для напряженности поля между обкладками цилиндрического конденсатора следующее выражение:

E(r) =

Разность потенциалов между обкладками находим путем интегрирования:

j₁ – j₂ =

(R₁ и R₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок).

Получим емкость цилиндрического конденсатора:

C = q/(j₁ – j₂) = 2pe₀e l /ln(R₂/ R₁). (3)

Если зазор между обкладками относительно мал, т.е. выполняется условие d = R₂ – R₁ «R₁,знаменатель формулы можно преобразовать следующим образом:

ln(R₂/ R₁) = ln(1 + (R₂ – R₁)/R₁) » (R₂ – R₁)/R₁ = d/R₁

Выражение 2p R₁ l дает площадь обкладок, таким образом, в случае малого зазора емкость цилиндрического конденсатора можно вычислить по формуле

C = 2pe₀e l R₁/d = e₀eS/d

Напряженность поля между обкладками сферического конденсатора (выведена с использованием теоремы Гаусса - Остроградского):

E(r) =

Найдем разность потенциалов;

j₁ – j₂ =

(где – R₁ и R₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок)

Отсюда, для емкости получается выражение:

C = q/(j₁ – j₂) = 4pe₀e R₁R₂/(R₂ – R₁) (4)

В случае, когда d = R₂ – R₁ «R₁, выражение 4pR₁R₂ примерно равно площади S любой из обкладок. Поэтому формула может быть приближенно записана в виде:

C = 4pe₀eR₁R₂/(R₂ – R₁) = e₀eS/d

Введение между обкладками прослойки из сегнетоэлектрика позволяет получать при небольших размерах конденсатора большую емкость.

Помимо ёмкости, каждый конденсатор характеризуется предельным напряжением (разность потенциалов между обкладками) U_max, которое можно прикладывать к обкладкам конденсатора, не опасаясь его пробоя. При превышении этого напряжения между обкладками проскакивает искра, в результате чего разрушается диэлектрик и конденсатор выходит из строя.

Соединения конденсаторов. Располагая некоторым набором конденсаторов, можно значительно расширить число возможных значений емкости и рабочего напряжения, если применить соединение конденсаторов в батареи.

При параллельном соединении (рис. 1) одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал j₁, а другая j₂, т.е. напряжения на них одинаковы.

Следовательно, на каждой из систем обкладок накапливается соответствующий заряд (q_k ): иными словами полный заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов:

q = (5)

С_пар= q/(j₁– j₂) = SС_к

В результате С_пар=SС_к, таким образом, при параллельном соединении конденсаторов емкости складываются.

На рис. 2 показано последовательное соединение конденсаторов. Для конденсаторов, включенных последовательно, характерна одинаковая величина заряда qна обкладках. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторе:

U_k = q/C_k. (6)

Сумма этих напряжений равна разности потенциалов, приложенной к батарее:

j₁– j₂ = ,

откуда получается,

В результате:

При последовательном соединении конденсаторов складываются величины, обратные их емкостям. Для двух последовательно соединенных конденсаторов формула упрощается:

(7)

В работе требуется определить емкость конденсатора и емкости при последовательном и параллельном соединениях конденсаторов, исследуя разряд конденсатора с помощью баллистического гальванометра.

 

2. Назначение и принцип действия гальванометра магнитоэлектрической системы

Гальванометры служат для обнаружения и измерения слабых токов и напряжений. Баллистический гальванометр предназначен для измерения количества электричества.

Рассмотрим принцип действия гальванометра с подвижной катушкой (рис. 3).

В магнитном поле постоянного магнита NS укреплен цилиндр из мягкого железа. В зазоре между полюсами магнита и цилиндром может свободно вращаться рамка 1, составленная из плотно уложенных витков изолированной тонкой проволоки и подвешенная на упругой нити 2. Для отсчета углов поворота рамки служит зеркальце 3, на которое падает световой луч от осветительного устройства. Исследуемый ток подводится с помощью токопроводящих нитей 2 и 4. В состоянии покоя рамка расположена параллельно магнитным силовым линиям. При протекании тока по ее обмоткам возникает сила, действующая со стороны магнитного поля на рамку с током. В результате этого рамка будет стремиться повернуться вокруг своей оси перпендикулярно силовым линиям постоянного магнита. Этому перемещению рамки будут противодействовать силы кручения упругой нити 2. В итоге рамка поворачивается на некоторый угол a.

 

3. Основы теории гальванометра

Характер движения рамки гальванометра можно установить на основе второго закона механики для вращательного движения:

, (8)

где J – момент инерции подвижной части гальванометра; a – угол поворота рамки; – угловоеускорение;SМ _i – сумма моментов действующих сил.

На рамку действуют:

а) Вращающий момент М ₁, обусловленный взаимодействием тока с магнитным полем. Величина этого момента может быть определена следующим образом. По закону Ампера* в магнитном поле, вектор магнитной индукции которого равен B, на элемент длины d l проводника с током i действует сила:

d F = i [d l B].

Направление d F определяют по правилу векторного произведения, если d l приписать направление тока. Вычислим вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле (рис. 4). Для этого нужно просуммировать силы d F, действующие на элементы AD, CD, CP, PA контура рамки. Силы, действующие на участки AD, CP, по закону Ампера лежат в плоскости рамки и уравновешивают друг друга (рамку считаем твердым телом).

Рис. 4

Ампер Андре Мари (1775–1836) – французский физик, математик и химик. Основные физические работы посвящены электродинамике.

Силы F ₁ и F ₂, действующие на участки PA и CD, также направлены в противоположные стороны, но они образуют пару сил и приводят, к вращению рамки вокруг оси. Эти силы направлены перпендикулярно магнитным силовым линиям и стремятся повернуть рамку параллельно полюсам магнита N – S.Абсолютная величина сил равна:

F₁ = F₂ = il ₁B, где l ₁ =PA= CD, sin (l, B) = 1.

Плечо сил равно:

l ₂cos a, где l ₂ = PC = AD.

Вращающий момент равен:

M₁ = F₁PO = i l ₁ l ₂B cos a.

При малых углах отклонения cos a = 1.

Величина l ₁ l ₂ = S есть площадь рамки. Если рамка состоит из n витков, то очевидно, вращающий момент увеличиться в n раз. Тогда

M₁ = nBiS.

б) Тормозящий момент M₂ пропорциональный скорости вращения рамки, обусловлен электромагнитным и воздушным сопротивлениями:

M₂ = – k₂da/dt. (10)

Этот момент в основном обусловлен индукционными токами в рамке. Если не учитывать воздушное сопротивление, то величину коэффициента k₂ можно определить следующим образом. Поток магнитной индукции, пронизывающий один виток рамки при отклонении ее на угол a (рис. 4), равен:

Ф₁ = l ₂sin a l ₁B = SB sin a.

Если рамка состоит из n витков и угол отклонения мал (sin a » a) то

Ф =nSB a.

ЭДС, индуцируемая в витках обмотки рамки при ее движении: •

.

Если сопротивление обмотки рамки R_g, а сопротивление внешней цепи R, то индуцируемый в обмотке ток i₁ можно определить по закону Ома для полной цепи (пренебрегая самоиндукцией обмотки):

i₁ = E/( R_g + R).

Подставляя значение E, получим:

.

Но, согласно выражению (9), тормозящий момент, создаваемый индукционным током i₁ при взаимодействии его с магнитным полем, равен:

M₂ = n i₁BS.

Подставляя значение i₁, получим:

M₂ = (11)

Сравнивая последнее выражение с формулой (10), найдём:

k₂ = (12)

в) Противодействующий момент M₃, созданный силой упругости нити, пропорционален углу закручивания a:

M₃= – k₁a. (13)

Величина k₁ определяется упругими свойствами нити и называется модулем кручения. Подставляя значения M₁, M₂, M₃ в уравнение (8) получим:

(14)

Уравнение (14) представляет собой дифференциальное уравнение движения рамки гальванометра.

4. Теория баллистического гальванометра

Баллистический гальванометр предназначен для измерения количества электричества, протекающего через рамку за время, значительно меньшее периода ее собственных колебаний. Баллистический гальванометр отличается от обычного гальванометра магнитоэлектрической системы тем, что подвижная часть его делается более массивной и обладает большим моментом инерции J.

Движение рамки баллистического гальванометра описывается уравнением (14). Так как момент инерции велик, то в левой части уравнения (14) можно пренебречь вторым и третьим членами по сравнению с первым

(15)

Количество электричества q, прошедшее через рамку за время t можно определить, интегрируя уравнение (15):

. (16)

Кинетическая энергия, приобретаемая рамкой гальванометра при прохождении через нее заряда q, равна:

E_k= J(da/dt)²/2.

Согласно закону сохранения энергии в механике, кинетическая энергия подвижной части гальванометра переходит в потенциальную энергию закручивающейся на угол a_m нити (a_m – максимальный угол закручивания).

Потенциальная энергия рассчитывается следующим образом: U = –

Из условия, чтоE_k= U получим:

(17)

Возводя в квадрат уравнение (16) и деля его на выражение (17), получим:

J= (18)

Откуда

= .(19)

Таким образом, максимальный поворот рамки баллистического гальванометра a_m пропорционален величине заряда q, прошедшего через его рамку. Из формулы для расчета периода незатухающих колебаний T₀ = 2p находим выражение для расчета момента инерции подвижной части гальванометра:

J =

Выражение (18) подставим в уравнение (19):

a_m = 2p .

Обозначив k = k₁T₀/(2pnSB), перепишем выражение (19):

a_m = q/k.

При повороте зеркальца на уголa_m луч света переместится по шкале от n₀ до деления n, тогда

q = kn, (20)

где k – постоянная баллистическая гальванометра, определяет количество электричества, при протекании которого через рамку гальванометра последняя повернется так, что отброс луча «зайчика» по шкале гальванометра равен одному делению, k характеризует цену деления гальванометра в Кл/дел; kn – величина заряда, протекающего по рамке и вызывающего отброс луча по шкале на n делении. Из (2) следует величина заряда q = СU, следовательно, q = kn = CU.

5. М етод измерения и аппаратура

На схеме:

G – баллистический гальванометр; С – исследуемый конденсатор П – потенциометр; V – вольтметр.

Когда переключатель K установлен в левое положение (1- 2), ключ K₁ замкнут, происходит заряд конденсатора от батареи Б и одновременно гальванометр “закорачивают” ключом K₂. Подвижная часть гальванометра при этом устанавливается в положении равновесия. Когда переключатель K установлен в правое положение (3–4), а ключ K₂, разомкнут, конденсатор разряжается через гальванометр. Ключом K₂ “закорачивают” гальванометр в момент прохождения «зайчиком» нулевого положения (для уменьшения ненужных колебаний рамки гальванометра возбуждают магнитное поле индукционного тока, противодействующего основному магнитному полю).

Для того, чтобы измерить емкость конденсатора С_x (неизвестная емкость), достаточно определить разность потенциалов U на обкладках конденсатора с помощью вольтметраV, заряд одной из пластин q = kn (n – отброс «зайчика» по шкале) и воспользоваться формулойC = q/U. Баллистическая постоянная гальванометра k определяетсяиз аналогичных измерений с эталонной (известной) емкостью C₀ по формуле:

k = C₀U/n₀, (21)

где n₀ – отброс «зайчика» по шкале гальванометра при измерениях с эталонным конденсатором.

Далее конденсаторы С_x и С₀ соединяют последовательно, затем параллельно, и тем же методом измеряют емкость таких систем конденсаторов. Результаты измерения сравнивают с теоретическими значениями емкости, определенными по известным формулам для последовательного и параллельного соединения конденсаторов.

6. П орядок выполнения работы и обработка результатов измерений

1. Собирают схему (рис. 5).

2. Определяют баллистическую постоянную по формуле (21)..Для этого в схему включают эталонный конденсатор С₀. Затем замыкают ключ K₁ (ключ K₂ замкнут) и при помощи потенциометра П подбирают напряжение U₀. Перебрасывают переключатель из положения 1,2 в положение 3,4 при одновременном размыкании ключа K₂.фиксируют первый (максимальный) отброс «зайчика» по шкале гальванометра n₀. Измерения повторяют четыре раза при постоянном U₀, результаты заносят в табл. 1.

Таблица 1

Номер измерений	С0	U0	n0 i	K i		s	DKпр	DK	К = ± DK
^	^
^

 

3. Производят оценку ошибки измерения K. Стандартную ошибку среднего арифметического значения K находят по формуле

(Если (K _i – )² > 3s– результат этот исключают, расчет ошибок производится с точностью до одной значащей цифры.)

Оценивают систематическую (приборную) ошибку измерения по формулам:

DK_пр = (DC/C + DU/U +Dn/n);

где Dn = 0,5 дел.; DC – определяется классом точности эталонного конденсатора; DU – определяется классом точности вольтметра, если, например, класс точности вольтметра 0,2 (0,2%), то

DU= U₀ 0,002

Полную ошибку DK оценивают в измерениях K:

DK = .

Окончательный результат измерения записывают в виде:

K = ± DK.

4. Вместо эталонного конденсатора включают конденсатор с известной емкостью C_x. Проделывают те же измерения при постоянном значении напряжения U₁ и вычисляют C_x по формуле:

C_{x i} = n _i /U₁ . (22)

Находится средняя абсолютная погрешность измерений и результаты заносятся в таблицу 2 (таких таблиц должно быть три!).

5. Повторяют измерения для последовательного и параллельного соединения конденсаторов С₀ и C_x и результаты заносят в таблицу 2

Вычисляют значения С_посл и С_парпо формуле (22) и рассчитывают их средние арифметические значения _посл, _пар. Сравнивают опытные значения с результатами, рассчитанными по формулам:

С_пар= С₀ + C_x, С_посл= С₀C_x/(С₀ + C_x).

Таблица 2

Номер измерений	U	n	С	DC		C = ± DC

 

 

Контрольные вопросы.

1. Что такое электрическая емкость? От чего она зависит? В каких единицах она измеряется?

2. Как вычислить емкость плоского, цилиндрического, сферического конденсаторов?

3. Как можно измерить величину заряда конденсатора?

4. В чем состоит принцип действия гальванометра?

5. Какой гальванометр называется баллистическим?

6. Напишите уравнение движения рамки баллистического гальванометра.

7. Какими параметрами определяется баллистическая постоянная гальванометра?

8. Как можно определить баллистическую постоянную гальванометра экспериментально?

9. На чем основан метод определения емкости конденсатора с помощью баллистического гальванометра?

10. Как вычислить теоретическое значение емкости при параллельном и последовательном включении конденсаторов?

11. Как Вы оценивали ошибку определения баллистической постоянной?

12. Как Вы оценивали ошибку измерения емкости? Согласуются ли экспериментальные и теоретические значения емкости при последовательном и параллельном соединении конденсаторов?

Рекомендуемая литература

1.Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа. 2000 – 2005г.

2.Савельев И. В. Курс общей физики, т. 2.

3.Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа. 2000

4. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики.