Учебный год
Лекция 2.
Концепция детерминизма в классическом естествознании. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени.
- Концепция детерминизма в классическом естествознании.
Классическая физика — физика до появления квантовой теории и теории относительности. Основы классической физики были заложены рядом учёных, из которых особенно выделяют Исаака Ньютона — создателя классической механики.
Классическая физика основана на следующих принципах:
- причины однозначно определяют следствия (детерминизм);
- пространство и время являются абсолютными — это означает, что они никак не зависят от материи, заполняющей пространство и от её движения, при этом результаты измерения пространственных и временны́х отрезков не зависят от выбранной системы отсчёта, в частности, от скорости движения измеряемого объекта относительно наблюдателя;
- изменения любых величин, характеризующих физическую систему, являются непрерывными — это значит, что при переходе от одного фиксированного состояния к другому физическая система проходит через бесконечное множество переходных состояний, в которых все физические параметры системы принимают промежуточные значения между значениями в начальном и конечном состояниях.
Фундаментальными теориями классической физики являются
- Классическая механика
- Термодинамика и статистическая физика
- Классическая электродинамика
От Галилея и Ньютона до Максвелла и Больцмана в рамках классической физики была создана картина строения физического мира, казавшаяся во второй половине XIX в. безупречно точной и исчерпывающе полной.
Своим авторитетом классическая наука обязана, прежде всего, ньютоновской механике, которая не только «навела порядок» в огромном эмпирическом материале, накопленном многими поколениями ученых, но и предоставила возможность однозначного предсказания будущего в широкой области объектов и явлений природы. Чтобы разобраться в истоках детерминизма ньютоновской механики, понять причину ее эффективности и выяснить вероятные ограничения области ее применения, проанализируем исходные положения этой теории и используемые в ней методы анализа. Прежде всего, отметим, что законы классической механики формулируются не для реальных, а для идеальных объектов и ситуаций, которые разворачиваются в абсолютно пустом пространстве и в абсолютно независимом от этого пространства времени. Самой важной идеализацией в механике является материальная точка — объект, не имеющий геометрических размеров, но обладающий инертностью (массой).
Следует обратить внимание на отличие приведенного определения материальной точки от тех, которые обычно даются в учебниках физики. Там материальную точку обозначают как объект, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь. И при этом ничего не говорится о критериях такого пренебрежения: когда можно пренебрегать, а когда нельзя. В приведенном выше определении речь идет об объекте, вообще не имеющем размеров. Существуют ли в природе такие объекты, которые не имеют размеров и в то же время обладают массой? Конечно, нет. Но ведь теория не имеет дело с реальными объектами, заменяя их моделями, идеализациями. Надо только не забывать, что выводы теории должны проверяться на опыте, и только после этого можно утверждать, «хорошая» теория или «плохая».
Положение материальной точки в пространстве характеризуется радиус-вектором r, конец которого описывает непрерывную линию, называемую траекторией. Именно для анализа траекторий движения материальных точек Исааком Ньютоном (1643-1727) и независимо от него Готфридом Лейбницем (1646-1716) был разработан специальный математический аппарат - дифференциальное и интегральное исчисление, краеугольным понятием которого является производная,представляющая собой скорость изменения функции. Так, производная радиус-вектора r называется в механике вектором скорости v = r '. Этот вектор направлен по касательной к траектории и характеризует изменение радиус-вектора как по длине (модулю), так и по направлению. Аналогично ускорение а = v ' = r " описывает изменение вектора скорости по модулю и по направлению.
Фундаментальным положением классической механики является утверждение о том, что в инерциальных системах отсчета (ИСО) ускорение а материальной точки с массой mопределяется силой F, характеризующей ее взаимодействия с другими материальными объектами:
m a = F (1.1)
Инерциальными называются такие системы отсчета, в которых свободное тело движется равномерно и прямолинейно или покоится. Свободное тело – это такое тело, на которое не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано. Так же как и материальная точка, понятие инерциальной системы отсчета является идеализацией. В природе таких систем отсчета не существует, хотя некоторые системы отсчета приближаются по своим свойствам к инерциальным.
В уравнении (1.1) фактически заключена вся классическая механика. С его помощью решается основная динамическая задача - определение траектории r (t) по заданным силам F. С математической точки зрения уравнение (1.1) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Чтобы продемонстрировать важную для дальнейшего особенность решения таких уравнений, рассмотрим простейший частный случай, когда F = const (однородное силовое поле). Обозначим g = F /m. После первого интегрирования (1.1) получаем
v (t) = g *t + C 1, (1.2)
где C 1 — произвольный постоянный вектор.
Еще одно интегрирование полученной скорости v (t)приводит к формуле для радиус-вектора
r (t) = g *t2/2 + C 1*t + C 2 (1.3)
где С 2 — другой произвольный вектор. Мы видим, что с помощью уравнения (1.1) можно получить целое «семейство» траекторий, соответствующих различным векторам С 1 и С 2. Таким образом, чтобы определить, по какой конкретно траектории будет двигаться материальная точка, одного уравнения (1.1) недостаточно.
Легко убедиться, что векторы С 1 и С 2 на самом деле являются скоростью и радиус-вектором материальной точки в начальный момент времени t = 0: С 2 = r (0), С 1 = v (0). Значит, для определения траектории r (t)необходимо знать не только уравнение (1.1), но также начальное положение и начальную скорость материальной точки. Очевидно, начальный момент времени может быть выбран произвольно. Поэтому мгновенное положение и мгновенная скорость полностью и однозначно определяют траекторию движения материальной точки. В связи с этим говорят, что состояние материальной точкиполностью определяется ее положением и скоростью.
Таким образом, детерминизм ньютоновской механики связан с математическим аппаратом теории дифференциальных уравнений. В свою очередь, эта возможность возникает благодаря использованию таких сильных идеализаций, как материальная точка, инерциальная система отсчета и т. п. Очевидно, что эти идеализации, не являющиеся объективной реальностью, вносят элемент субъективизма в самые основы теории. «Расплатой» за этот субъективизм является ограниченность ньютоновской механики, которая выражается, например, в невозможности описания необратимых процессов.
Рассмотрим данный вопрос подробнее. Дело в том, что уравнение траектории определяет не только «будущие» положения материальной точки при t> 0, но и «прошлые» ее положения при t< 0 (вспомним, что момент времени t= 0 был выбран нами совершенно произвольно). Если мы изменим направление начальной скорости v (0) на противоположное - v (0), то материальная точка будет двигаться «назад» по той же траектории, по которой она до этого момента двигалась «вперед» (обращение времени t -> -tи обращение скорости v (0) -> - v (0) приводят к одинаковому вкладу в формулу (1.3)).Таким образом, чтобы двигаться «назад» по той же самой траектории матери-альная точка в какой-то момент должна изменить свою скорость на противоположную, что в принципе не запрещено никакими физическими законами. То же самое можно сказать и о множестве материальных точек: ничто не мешает всем этим точкам двигаться в противоположных направлениях по тем же траекториям, по которым они двигались ранее.
А это значит, что «прошлое» и «будущее» в поведении каждой отдельной материальной точки совершенно симметричны и не имеют друг перед другом никаких преимуществ. Другими словами, движение материальных точек по своим траекториям обратимо. Почему же тогда в реальной жизни, которая в соответствии с концепцией детерминизма должна сводиться к поведению очень большого числа материальных точек, прошлое так заметно отличается от будущего? Почему «реальное» время течет в одну сторону, а процессы в природе (например, человеческая жизнь) никогда не меняют своего направления на противоположное? В чем природа «стрелы времени»? Ответить на все эти вопросы ньютоновская механика не могла, что, в конце концов, было воспринято как ее кризис.
С серьезными проблемами столкнулись ученые и при попытке применить математический аппарат ньютоновской механики к описанию очень быстрых движений. И в этом случае источником «неприятностей» стала математическая идеализация задачи о движении, в соответствии с которой взаимодействие между отдельными материальными точками определяется мгновенным расстоянием между ними, причем неявно предполагается бесконечно большая скорость передачи информации об изменении взаимного расположения этих точек. Решение указанных проблем оказалось возможным в рамках специальной и общей теории относительности, где вместо классических представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени используются релятивистские концепции единого четырехмерного неевклидова пространства-времени.
Наконец, применение ньютоновской механики оказалось совершенно невозможным для описания движения в масштабах микромира (молекулы, атомы, элементарные частицы) - то есть именно там, где, казалось бы, мы все больше приближаемся к материальной точке.
Отказ от основных классических идеализации (материальная точка, траектория, сила и др.) потребовал полной смены не только математического аппарата, но и самой формулировки задачи о движении, которая из динамической превратилась в статистическую.
- Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени.
Несмотря на то, что ничего принципиально нового, кроме уравнения (1.1), в механике нет, за прошедшие почти три века было предложено много различных приемов решения этого уравнения, когда не требуется знать траекторию r (t), а нужно только предсказать, может ли материальная точка переместиться из одного положения в пространстве в другое. Среди этих приемов выделяются те, которые основаны на законах сохранения, имеющих огромное значение не только в механике, но и во всем естествознании. Эти законы позволяют проанализировать возможные изменения состояния материальных точек без непосредственного расчета их траекторий. В классической механике таких законов три.
2.1. Закон сохранения энергии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) физической системы сохраняется с течением времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть в никуда, она может только переходить из одной формы в другую.
Для каждой конкретной замкнутой системы, вне зависимости от её природы, можно определить некую величину, называемую энергией, которая будет сохраняться во времени. Однако в различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулируется по-разному, в связи с чем говорится о сохранении различных видов энергии. Например, в термодинамике закон сохранения энергии выражается в виде первого начала термодинамики.
Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то более правильным является его именование не законом, а принципом сохранения энергии.
Частные формы закона сохранения энергии:
Классическая механика
В ньютоновской механике формулируется частный случай закона сохранения энергии — закон сохранения механической энергии, звучащий следующим образом: полная механическая энергия Ематериальной точки не изменяется при движении этой точки в поле потенциальных сил: Е= const. Так как полная механическая энергия, по определению, равна сумме потенциальной энергии П и кинетической энергии Т, то закон сохранения полной механической энергии может быть записан в виде
Т + П = const. (1.4)
Следует отметить, что при движении в поле непотенциальных сил (например, силы трения) полная механическая энергия не сохраняется. Легко показать, что закон сохранения полной механической энергии тесно связан с основным уравнением механики (1.1).
Для этого вспомним, что работа силы А, с одной стороны, равна разности потенциальных энергии в начале и в конце траектории П1 - П2, а с другой — эта же самая работа равна разности кинетических энергий в конце и в начале траектории T2 – T1.Остается приравнять П1 - П2 =Т2 -Т1 и получить (1.4).
Классическим примером этого утверждения являются пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. В случае математического маятника аналогично ведёт себя потенциальная энергия груза в поле силы тяжести.
Термодинамика
В термодинамике исторически закон сохранения формулируется в виде первого принципа термодинамики:
Изменение внутренней энергии термодинамической системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил над системой и количества теплоты, переданного системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход,
или, альтернативно:
Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил.
В математической формулировке это может быть выражено следующим образом:
Q = ΔU + A, (1.5)
где введены обозначения: Q — количество теплоты, полученное системой, ΔU — изменение внутренней энергии системы, A — работа, совершённая системой.
Закон сохранения энергии, в частности, утверждает, что не существует вечных двигателей первого рода, то есть невозможны такие процессы, единственным результатом которых было бы производство работы без каких-либо изменений в других телах.
2.2. Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона.
Этот закон имеет всеобщий характер и распространяется за пределы классической механики. В частности, он остается справедливым в релятивистской механике, где, правда, под массой, понимают не классическую, а релятивистскую массу, зависящую от скорости тела. Даже в квантовой механике, где импульс уже не равен произведению массы на скорость (так как понятие скорости в квантовой механике вообще отсутствует в обычном понимании этого термина), закон сохранения импульса имеет место. Этот закон, с одной стороны, запрещает самодвижение объектов (например, барон Мюнхгаузен нарушил именно этот закон, подняв за волосы себя вместе с лошадью), с другой — открывает возможность реализации некоторых нетривиальных способов увеличения скорости (реактивное движение).
Закон сохранения импульса также тесно связан с основным уравнением механики (3.1) и фактически представляет собой III закон Ньютона.
2.3. Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) утверждает, что векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной.
Закон сохранения момента импульсаимеет большое значение, прежде всего, в связи с движением тел в поле центральных сил (например, в гравитационном поле), а также при вращении тел. В частности, в соответствии с этим законом происходит движение планет вокруг Солнца. Импульс р каждой планеты все время меняется, но моментимпульса L = prsinaостается неизменным.Именно с сохранением момента импульса связан второй закон Кеплера, в соответствии с которым радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади. В случае вращающегося твердого тела его суммарный импульс равен нулю, однако момент импульса Lотличен от нуля и в отсутствие моментов внешних сил остается постоянным: L= const.
Триумф небесной механики в XVIII-XIX веках был связан именно с применением законов сохранения, а не с непосредственным решением дифференциальных уравнений.
В 1918 г. выдающийся немецкий математик Эмми Нётер (1882-1935) сформулировала теорему, согласно которой для физической системы, движение которой описывается некоторым дифференциальным уравнением второго порядка, каждому непрерывному преобразованию симметрии координат и времени соответствует определенный закон сохранения и наоборот. Непрерывными преобразованиями симметрии пространства и времени являются, например, сдвиг начала отсчета времени, сдвиг начала координат и поворот осей координат в пространстве. Это означает, что поведение изолированной механической системы не зависит от того, какой момент времени принят за нулевой, в каком месте пространства помещено начало координат и как ориентированы в пространстве оси координат. Например, сила притяжения между двумя точечными массами, находящимися на определенном расстоянии друг от друга, не изменится, если мы перейдем к другому началу отсчета времени, так как в законе всемирного тяготения время в явном виде вообще не фигурирует. Точно так же эта сила не изменится, если мы сместим начало координат или повернем оси координат, так как сила взаимодействия определяется только взаимным расстоянием между телами. Если при смещении начала отсчета времени ничего не меняется в поведении рассматриваемых объектов, то говорят, что время однородно. Аналогично, если пространство симметрично относительно сдвига начала координат и поворота осей координат, то говорят, что пространство однородно и изотропно.
Согласно теореме Нётер, с однородностью времени связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства — закон сохранения импульса, а с изотропностью пространства — закон сохранения момента импульса.
Следует заметить, что отмеченная связь законов сохранения с симметрией пространства и времени имеет большое философское значение, так как затрагивает вечные вопросы. Действительно, однородность времени фактически означает отсутствие фиксированного начала его отсчета, то есть бесконечность (вечность) времени. Однородность пространства таким же образом означает неограниченность, бесконечность. Но тогда, если считать пространство и время формами существования материи, то аналогичный вывод можно сделать и о материальном мире: он вечен и бесконечен. В противном случае пространство и время, оторванные от бытия, становятся трудноопределимыми, «фиктивными» категориями. В то же время ограниченность ньютоновской механики в определенной степени должна переноситься и на вытекающий из этой теории фундаментальный вывод о вечности и бесконечности Вселенной, то есть эти свойства Вселенной уже не должны приниматься как неоспоримый факт. Современные космологические концепции подтверждают справедливость именно такой позиции.