Лабораторная работа №2
«Моделирование линейных дискретных систем в среде Matlab»
по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
Содержание
- Ведение с Matlab.
- Описание линейных дискретных систем
2.1 Уравнения в конечных разностях
2.2 Z- преобразование
3. Примеры Z- преобразования и моделирования уравнений в конечных разностях
4. Задания
Цель работы.
Исследование разностных уравнений и - преобразований.
Ознакомление со средой математического проектирования Matlab.
Моделирование линейных дискретных систем в среде Мatlab.
- Введение в Matlab
Matlab (MATrix LABoratory) – одна из старейших систем автоматизации математических расчетов, построена на расширенном представлении и применении матричных операций.
Матрицы и матричные операторы являются основой математического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем.
Встроенное расширение Simulink обеспечивает визуальную подготовку имитационных моделей систем различного назначения и выполнения их моделирования.
Начало работы с Matlab.
После запуска Matlab, на экране появится основное окно системы Matlab, показанное на рис.1. Указаны и подписаны необходимые и часто используемые окна и ярлычки.
Рис.1. Окно системы Matlab после запуска и
выполнения простых вычислений.
Для дальнейшей работы необходимо создать новый М-файл. Как в окне Command Windows так и в M-файле можно записывать команды для вычисления, дополнительно имеется возможность сохранить расчет.
На рис. 2. показан новый М-файл.
В процессе моделирования на примерах будут рассмотрены дополнительные возможности.
Рис. 2. М-файл
- Описание линейных дискретных систем
Уравнения в конечных разностях
Математическое моделирование обработки сигналов линейной дискретной системой (ЛДС) включает:
· Расчет характеристик ЛДС во временной области;
· Расчет реакции ЛДС по соотношению вход-выход;
· Анализ воздействия и реакции во временной области.
Приведем в соответствие терминологию и обозначения, используемые в лабораторной работе.
ЛДС описывает соотношения между входом и выходом в виде уравнения или системы уравнений, позволяющих вычислить реакцию на заданное воздействие.
Во временной области ЛДС описывается уравнением в конечных разностях (или разностным уравнением РУ), имеющим вид:
, (1)
которое задается вектором коэффициентов воздействия
и вектором коэффициентов реакции
.
Первый элемент вектора всегда равен 1: . Если это условие не выполняется, тогда необходимо произвести нормировку векторов и по .
Для выражения (1) является воздействием на ЛДС, а – реакцией ЛДС на заданное воздействие, – дискретные отсчеты времени.
Также выходной сигнал можно определить с помощью формулы свертки:
, (2)
где импульсная характеристика задается в виде конечной последовательности векторов.
Уравнение (2) описывает сигнал на выходе фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ), вид которого показан на рис.3.
|
Пример. Найдем реакцию ЛДС по рис. 3 на входное воздействие . Входное воздействие и вектор коэффициентов воздействия имеют следующие значения: .Подадим на вход ЛДС входное воздействие и вычислим последовательно реакцию на выходе:
.
Уравнение (1) позволяет определить выходной сигнал на выходе фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Рис. 4. Цифровой рекурсивный фильтр с обратными связями.
Прямая реализация
2.2 Z - преобразование
Удобным способом анализа дискретных последовательностей и ЛДС является Z - преобразование. Смысл его заключается в том, что последовательности дискретных отчетов сигнала ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим выражением:
, (3)
где , – интервал дискретизации.
Комплексная функция определена только для области z, в которой степенной ряд (3) сходится. Условие сходимости: при любых , где – постоянное действительное число, а – также действительное число, являющиеся радиусом сходимости, зависящим от свойств последовательности данных , .
Пример. Найдем Z - преобразование для четырех отсчетов импульсной характеристики КИХ-фильтра . Подставляем в выражение (3):
.
Из полученного выражения можно сделать вывод: если во временной области дана дискретная последовательность конечной длины равностоящих отсчетов импульсной характеристики (сигнала), то Z- преобразование есть результат взвешенного суммирования отсчетов импульсной характеристики (сигнала) с Z- коэффициентами. При этом сомножитель в Z- области есть эквивалент задержки отсчета сигнала на один такт во временной области.
Пример. Найдем передаточную характеристику счетчика без сброса, который накапливает поступающие на его вход положительные и отрицательные импульсы. Счетчик является цифровым интегратором и описывается разностным уравнением (1), где
.
Применим к разностному уравнению Z - преобразование. В результате получим
.
После простого преобразования запишем
.
Применим Z - преобразование к разностному уравнению (1) и запишем передаточную функцию ЛДС:
. (4)
Из этого следует, что передаточная функция дискретного фильтра есть отношение Z- преобразований выходного сигнала к входному сигналу и является дробно-рациональной. По полученному выражению (4) удобно составить структурную схему (рис.3,4), определяющую алгоритм преобразования входной дискретной последовательности в выходную.
Для рис.4 передаточная характеристика имеет вид:
.