Общие сведения об устойчивости САУ.

Система автоматического управления называется устой­чивой, если при снятии внешнего возмущения она возвращается в исходное состояние, то есть в то, в котором находилась до возмущения.

Из теории автоматического регулирования известно, что устойчивость линейной САУ не зависит от внешнего воздействия, а определяется видом свободной составляющей переходного процесса.

Свободную составляющую переходного процесса находят как общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

(2.7)

где - отклонение регулируемой величины от исходного установившегося состояния.

Решение (2.7) зависит от корней характеристического уравнения

a₀pⁿ+a₁p^n-1+…a_n-1p+a_n=0, (2.8)

Поэтому устойчивость САУ связана с их видом.

При различных вещественных корнях

(2.9)

Система автоматического управления будет устойчива, если
при t→∞ χ_св(t)→0; нейтральная, если при t→∞ 0<χ_св(t)<∞; неустойчивая, если при t→∞ χ_св(t)→ ∞.

Свободная составляющая стремится к нулю тогда, когда каждое слагаемое суммы (2.9) стремится к нулю при t→∞, а это имеет место, когда:

все корни характеристического уравнения (2.8) веществен­ные -отрицательные;

все корни имеют отрицательные вещественные части.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения вещественный - положительный или пара комплексно-сопряжен­ных корней имеет положительные вещественные части, то САУ неустойчива.

Необходимое условие устойчивости САУ – одинаковый знак всех коэффициентов характеристического уравнения. Это условие необходимое, но не достаточное. Если оно выполняется, то проверяют достаточное условие, а именно: отрицательность вещественных частей всех корней характеристи­ческого уравнения.

Известно, что точное определение корней алгебраических уравнений выше третьей степени затруднительно. Поэтому в практике анализа и синтеза САУ пользуются косвенными методами определения отрицательности вещественных частей корней характеристи­ческого уравнения, которые названы критериями устойчивости.

Алгебраический критерии устойчивости Гурвица

Система автоматического управления, описываемая характеристическим уравнением (2.8), будет устойчива, если при а₀>0 будет положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица до n-1 порядка.

Определитель Гурвица составляют в соответствии со следующим правилом: по диагонали записывают коэффициенты от a₁ до a_n, над диаго­налью записывают коэффициенты с возрастающий индексом, под диагональю - с убывающим, недостающие коэффициенты заменяют нулями. Пусть система описывается характеристическим уравнением четвертой степени:

a₀p⁴+a₁p³+a₂p²+a₃p+a₄=0, (2.10)

Критерий Гурвица удобен для исследования систем с харак­теристическим уравнением невысокой степени (до пятой). При высокой степени характеристического уравнения используют частотные критерии, имеющие простую геометрическую интерпретацию.