Изучение распределения Лапласа средствами Excel

Распределение Лапласа зависит от двух параметров n и p; характеристики распределения выражаются через эти параметры: a = np, . При расчетах вручную используют таблицы дифференциальной и интегральной функции Лапласа . Тогда , где . Эта формула обычно называется как "локальная теорема Лапласа". Интегральная функция Лапласа используется для вычисления вероятности попадания m в заданный интервал: P (m ₁ £ m £ m ₂) = Ф(t_{m 2}) – Ф(t_{m 1}). Эта формула обычно называется как "интегральная теорема Лапласа". При расчетах на компьютере для этих же целей используется функция Excel: НОРМРАСП(m; a; s_m;0) – возвращает значения вероятности Pn (m) и НОРМРАСП(m; a; s_m;1) – возвращает значения интегральной функции распределения Лапласа F (m) = Ф(t_m) + 0,5 (функция F (m) отличается постоянным слагаемым от функции Ф(t_m)). Считается, что предельные формулы Лапласа можно применять при n ³ 30, a = np ³ 5 и nq ³ 5. Интегральную формулу Лапласа можно уточнить, если расширить интервал [ m ₁; m ₂] на полшага влево и вправо: P (m ₁ £ m £ m ₂) = F (m ₂ + ¹ / ₂) – F (m ₁ – ¹ / ₂). Предлагается прямыми расчетами проверить точность локальной, интегральной и скорректированной интегральной формул Лапласа для n = 10, 20, 30, 40, 50 и p = 0,3. Фрагмент рабочего листа Excel приведен ниже.

Слева в столбцах А, В расположен блок расчетов по формуле Бернулли (сейчас принято n = 10). В соседнем столбце С приведены значения кумуляты (накопленных вероятностей) F (m) = S P_n (k), вычисленных по реккурентной формуле F (m) = F (m –1) + P_n (m), где F (0) = P_n (0) = qⁿ . С помощью кумуляты одним вычитанием определяются вероятности попадания случайной величины m в любые заданные интервалы P (m ₁ £ m £ m ₂) = F (m ₂) – F (m ₁–1). Так, вероятность P (2£ m £6) можно вычислить как разность F (6) – F (1) = 0,989408 – 0,149308 = 0,840140; это же значение можно получить непосредственно, складывая вероятности P_n (m) для m = 2, 3, 4, 5, 6 (цифры на сером фоне в столбце В). В следующем столбце D вычислены вероятности по локальной формуле Лапласа. По результатам расчетов построены графики распределения Бернулли и распределения Лапласа с теми же характеристиками. Изменяя n в ячейке В6, можно наблюдать, насколько хорошо распределение Бернулли описывается предельным распределением Лапласа. Ниже приведены два сравнительных графика для n = 10 и n = 20, откуда видно, что уже при n ³ 20 распределение Бернулли для р = 0,3 практически совпадает с предельным распределением. Таким образом, мы убедились, что локальная формула Лапласа достаточно точная.

Переходим к проверке точности расчетов по интегральной формуле Лапласа. Рассмотрим вероятность попадания случайной величины m в интервал [M – Sm; M + 2Sm]. Теоретически указанная вероятность вычисляется как разность Ф(2) – Ф(-1) = 0,81859. Однако формула эта выведена для непрерывного распределения, а распределение Лапласа – дискретное. Поэтому теоретическое значение (или близкое к нему) может быть получено только для очень большого n > 200. Проверим это утверждение. Выше над блоком расчетов по формуле Бернулли в столбцах C, D вычислены границы интервала: M – Sm = 1,551 и M + 2Sm = 5,898; полученные границы округлены до ближайших целых m ₁ = 2, m ₂ = 6. Необходимо сравнить точное значение P (2£ m £6) = 0,8401, полученное ранее с помощью кумуляты распределения Бернулли, с соответствующим значением по интегральной формуле Лапласа P (2£ m £6) » НОРМРАСП(6;a;Sm;1)–НОРМРАСП(2;a;Sm;1) = 0,73571. По сравнению с точным значением (0,8401) ошибка составила -12,43%. Эти расчеты оформлены в виде таблицы в строках 6–11 столбцы E, F. При изменении n в ячейке B6 все цифры в столбце F автоматически корректируются. Для того, чтобы сохранить результаты предыдущих расчетов, они были cкопированы Специальной вставкой – Только значения в продолжение таблицы вправо (столбцы G, H, I, J). Рассматривая заполненную таблицу (диапазон E6:J11), убеждаемся в довольно медленном приближении предельной формулы к точному значению. Теперь мы можем оценить эффективность скорректированной интегральной формулы Лапласа P (2 £ m £ 6) = НОРМРАСП(6,5;a;Sm;1)–НОРМРАСП(1,5;a;Sm;1), которая уже для n = 10 привела к практически точному значению 0,8418 (погрешность 0,21%). Эффективность скорректированной формулы была также проверена на вычислении вероятности моды (наивероятнейшего значения m = a = np). Эти расчеты выполнены в таблице диапазона E13:J18. Интегральная функция Лапласа здесь дает значение 0, поэтому в таблице использовалась локальная формула Лапласа. Погрешности локальной формулы небольшие и быстро убывают с увеличением n (при n = 20 погрешность составляет всего 1,6%). Скорректированная интегральная формула оказалась еще более точной; она дает практически точные значения уже при n = 10.