1. Вероятность того, что электротехнический прибор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,25. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из семи приборов потребуют ремонта m = 0, 1, 2,...;потребуют ремонта не более четырех, не менее двух, более двух и менее шести приборов.
Решение. В этой задаче p = 0,25, q = 1 – p = 0,75, n = 7 < 30, потому искомые вероятности находим по формуле Бернулли:
.
Для m = 0, 1, 2,..., 7 вычисления сведены в таблицу:
| m | Cnm | pm | qn–m | Pn (m) | F (m) |
| 0,133484 | 0,133484 | 0,133484 | |||
| 0,25 | 0,177979 | 0,311462 | 0,444946 | ||
| 0,0625 | 0,237305 | 0,311462 | 0,756409 | ||
| 0,015625 | 0,316406 | 0,173035 | 0,929443 | ||
| 0,003906 | 0,421875 | 0,057678 | 0,987122 | ||
| 0,000977 | 0,5625 | 0,011536 | 0,998657 | ||
| 0,000244 | 0,75 | 0,001282 | 0,999939 | ||
| 0,000061 | 0,000061 | 1,000000 |
Ниже приведен график полигона распределения вероятностей P (m):
В последней колонке таблицы приведены значения накопленной суммы вероятностей (кумуляты) F (m). Напоминаем, что функция распределения (кумулята) определена как F (m) = P (X ≤ m), поэтому F (0) = Pn (0) = 0,133484. С помощью этой функции вероятность попадания случайной величины в интервал m 1 ≤ m ≤ m 2вычисляется как разность значений функции распределения на краях этого интервала: P (m 1 ≤ m ≤ m 2) = F (m 2) – F (m 1 – 1). Вычисляем: P (m ≤ 4) = F (4) = 0,987122; P (m ³ 2) = P (2≤ m ≤ 7) = F (7) – F (1) = 1 – 0,444946 =0,555054; P (2 < m < 6) = P (3 ≤ m ≤ 5) = F (5) – F (2) = 0,998657 – 0,756409 = 0,242248.
Дополнительно вычисляем характеристики распределения Бернулли:
M (m) = np = 7×0,25 = 1,75; D (m) = npq = 7×0,25×0,75 = 1,3125; 
.
M (m) – q ≤ Mo ≤ M (m) + p; 1,75 – 0,75 ≤ Mo ≤ 1,75 + 0,25; 1 ≤ Mo ≤ 2; P (1) = P (2) = Pmax;
Согласно правилу “трех сигм” вероятные значения m не превышают M (m) + 3 sm = 5,19 » 5.
2. В одном кубическом метре воздуха в среднем содержится 1000 болезнетворных микробов. На анализ взято 2 литра (дм3) воздуха. Найти вероятность того, что в пробе будет обнаружено m = 0, 1, 2,... болезнетворных микробов, не более трех микробов, от двух до пяти микробов, хотя бы один микроб.
Решение. Искомые вероятности находим по формуле Пуассона:
,
где а =2´ 1000 / 1000 = 2 – среднее содержание микробов в 2-х литрах воздуха.
Вычисления удобно производить по реккурентным формулам:
Возможные значения m не ограничены сверху, однако, согласно правилу “трех сигм”, достаточно рассчитать вероятности P (m) для 
.
Для m = 0, 1, 2,..., 10 вычисления сведены в таблицу, рядом построен график:
| m | P (m) | F (m) | 
|
| 0,135335 | 0,135335 | ||
| 0,270671 | 0,406006 | ||
| 0,270671 | 0,676676 | ||
| 0,180447 | 0,857123 | ||
| 0,090224 | 0,947347 | ||
| 0,036089 | 0,983436 | ||
| 0,012030 | 0,995466 | ||
| 0,003437 | 0,998903 | ||
| 0,000859 | 0,999763 | ||
| 0,000191 | 0,999954 | ||
| 0,000038 | 0,999992 |
С помощью функции распределения F (m) вычисляем: P (m ≤ 3) = F (3) = 0,857123; P (2 ≤ m < 5) = F (5) – F (1) = 0,983436 – 0,406006 = 0,57743; P (m ³ 1) = 1 – P (0) = 1 – 0,135335 = = 0,864665.
Дополнительно вычисляем характеристики распределения Пуассона:
M (m) = a = 2; D (m) = a = 2; 
a – 1 ≤ Mo ≤ a; 1 ≤ Mo ≤ 2; P (1) = P (2) = Pmax.
3. Среди изделий некоторого завода 75% – первого сорта. Найти вероятность того, что из 800 изделий первосортных изделий будет а) 600; б) не менее 590; в) не более 620; г) не менее 590 и не более 620. Какие отклонения фактической частоты изделий первого сорта от их вероятности (75%) можно ожидать с уровнем доверия а) 95%; б) 99%? Сколько необходимо взять изделий, чтобы с вероятностью 90% можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от вероятности 75% не превосходит: а) 5%; б) 1%?
В этой задаче p = 0,75; q = 1 – p = 0,25; n = 800 > 30, поэтому искомые вероятности можно вычислять по предельным формулам Лапласа:
,
где 
– дифференциальная функция Лапласа;
где 
– интегральная функция Лапласа.
Вычисляем:
M (m) = np = 800×0,75 = 600; 
Ответы на оставшиеся вопросы можно получить с помощью “третьей формы интегральной теоремы Лапласа”: 
При уровне доверия Р = 0,95 Ф (t) = 0,475, откуда t = 1,96 и 
При уровне доверия Р = 0,99 Ф (t) = 0,495, откуда t = 2,58 и 
В последнем вопросе заданы уровень доверия Р = 0,9 и предельная погрешность e.
При уровне доверия Р = 0,90 Ф (t) = 0,45, откуда t = 1,64 и 
Если e ≤ 0,05, то 
, т.е. необходимо взять n = 202 изделий.
Если e ≤ 0,01, то 
, т.е. необходимо взять n = 5043 изделий.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу о повторении однородных независимых испытаний.
2. Приведите формулы для расчета характеристик распределения Бернулли.
3. Почему распределение Бернулли называется биномиальным?
4. Опишите особенности распределения Бернулли при различных значениях параметров.
5. Сформулируйте закон редких событий Пуассона, опишите особенности этого распределения.
6. В каких случаях распределение Бернулли допустимо аппроксимировать предельным распределением Пуассона?
7. Приведите формулы для расчета характеристик распределения Пуассона.
8. Что такое "кумулята", как она рассчитывается, где (в основном) применяется?
9. Сформулируйте локальную теорему Лапласа.
10. Сформулируйте интегральную теорему Лапласа.
11. Сформулируйте три основных формы интегральной теоремы Лапласа и типовые задачи, которые разрешаются с помощь этих формул.
12. В каких случаях распределение Бернулли допустимо аппроксимировать предельным распределением Лапласа?
13. Опишите уточняющую поправку к интегральной теореме Лапласа.
14. Сформулируйте правило "3-х сигм".
Варианты заданий
№ 1
1. В группе студентов 84 % успевающих по высшей математике. Для проверки отобрали 10 студентов. Какова вероятность того, что среди них m = 0, 1, 2,... успевающих по высшей математике? Какова вероятность, что успевающих по высшей математике среди них не менее пяти и не более восьми? Сколько студентов надо отобрать для проверки, чтобы наивероятнейшее число успевающих по высшей математике было равно десяти? Какова вероятность того, что успевающих по высшей математике не менее четырех?
2. Вероятность выпуска сверл повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что а) в коробке окажется m = 0, 1, 2,... бракованных сверл; б) в коробке не окажется бракованных сверл; в) число бракованных сверл окажется не более трех; г) число бракованных сверл окажется не более пяти и не менее двух.
3. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3.
Определить вероятность того, что из 800 готовых колец число непригодных: а) равно 240; б) не меньше 210; в) не больше 250; г) не меньше 210 и не больше 270?
Какие отклонения фактической частоты нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец от их вероятности (0,3) можно ожидать с уверенностью: а) 90%; б) 95%?
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95%можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от р = 0,3 не превосходит: а) 2,5%; б) 5%?
№ 2
1. Вероятность того, что абонент правильно наберет номер телефона, равна 0,97. Найти вероятность того, что из восьми вызовов абонент наберет правильно m = 0, 1, 2,.... Найти вероятность того, что абонент наберет правильно не менее пяти вызовов; не более пяти вызовов; не менее трех и не более шести.
2. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,05. Найти вероятность того, что в ближайший месяц расход электроэнергии не превысит нормы в течение m = 0, 1, 2,... суток; в течение не более четырех суток; в течение не менее двух суток; в течение менее трех суток.
3. Вероятность появления события в каждом из 200 независимых испытаний равна 0,8.
Найти вероятность, что событие появится: а) 160 раз; б) не менее 150; в) не более 170; г) не менее 150 и не более 170 раз.
Какие отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 можно гарантировать с уровнем доверия а) 0,90; б) 0,95?
Сколько нужно произвести испытаний, чтобы вероятностью 95% можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем: а) на 2%; б) на 3%?
№ 3
1. Вероятность того, что взятая напрокат автомашина будет возвращена исправной, равна 0,7. Найти вероятность того, что из десяти возвращенных автомашин будет исправных m = 0, 1, 2,.... Найти вероятность того, что будет возвращено не более девяти и не менее шести исправных машин; не менее семи автомашин; более четырех исправных машин.
2. Из партии в 1500 штук деталей, из которых 90 "плюсовых", производится выборка (с возвратом) в n = 50штук. Какова вероятность того, что "плюсовых" деталей окажется m = 0, 1, 2,...; не более трех; более двух; не менее одной и не более пяти?
3. Всхожесть семян данного растения составляет 90%.
Найти вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет: а) 900; б) не менее 900; в)не более 920; г) не менее 880 и не более 900.
Какие отклонения фактической частоты проросших семян от их вероятности (90%) можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 99%?
Сколько необходимо взять семян, чтобы с вероятностью 95% можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от вероятности 90% не превосходит: а) 2%; б) 3%?
№ 4
1. На электроламповом заводе выпускается 90%стандартных деталей, из них 80%деталей первого сорта. Найти вероятность того, что 1) из десяти наудачу выбранных ламп будет m = 0, 1, 2,... первого сорта; 2) хотя бы одна лампа будет первого сорта; 3) не менее восьми ламп будут первого сорта; 4) менее семи ламп будут первого сорта.
2. На базу получено 1000 электроламп. Вероятность того, что лампа разобьется в пути, равна 0,003. Найти вероятность того, что среди полученных ламп будет разбито m = 0, 1, 2,...; разбито не менее 3 ламп; разбито не более пяти; разбито не менее трех и не более шести ламп.
3. Завод выпускает 75 % электролампочек первого сорта. В выборку взято 400 лампочек.
Каково среди них наивероятнейшее число лампочек первого сорта? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно утверждать, что число лампочек первого сорта будет: а) не меньше 280; б) не больше 320; в) не меньше 280 и не больше 320?
Какие отклонения фактической частоты появления лампочек первого сорта от их вероятности 75 % можно ожидать с уверенностью: а) 90%;б) 85%?
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от 75 % не превосходит: а) 4%;б) 5%?
№5
1. В ящике лежат 100 электроламп, из них: 45 стоваттных, 25 шестидесятиваттных и 30 сорокаваттных. Наугад извлекаются 10 электроламп. Какова вероятность, что из них шестидесятиваттных окажется m = 0, 1, 2,...? Какова вероятность того, что шестидесятиваттных электроламп не более 6; не менее четырех шестидесятиваттных электроламп; не более восьми и не менее трех шестидесятиваттных электроламп?
2. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий m = 0, 1, 2,... не выдержат испытания; более чем одно изделие не выдержит испытания; не менее четырех изделий не выдержат испытания; не менее трех и не более шести изделий не выдержат испытания.
3. Отдел технического контроля проверяет 1000 деталей на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,95. Каково наивероятнейшее число стандартных деталей? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно угверждать, что число стандартных деталей будет не меньше 940 и не больше 960?
Найти с вероятностью 96 % границы, в которых будет заключено число стандартных деталей среди проверенных.
Каким должен быть объем выборки, чтобы с уверенностью 97 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты от 95 % не превосходит: а) 5%;б) 6%?
№6
1. На одном из факультетов 0,4 числа всех студентов занимаются в спортивных секциях. Для проверки отобрали 10 студентов. Какова вероятность, что среди них m = 0, 1, 2,...занимаются в спортивных секциях? Какова вероятность, что среди них студентов, занимающихся в спортивных секциях а) не менее трех и не более восьми; б) более четырех; в) менее пяти?
2. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно 2. Найти вероятность того, что за 2 мин в аэропорт прибудут m = 0, 1, 2,...самолетов. Какова вероятность того, что за 2 мин в аэропорт прибудет а) менее четырех самолетов; б) более пяти самолетов; в) хотя бы два самолета?
3. Доля признака в генеральной совокупности равна р=70%. В выборку взято 300 единиц.
Каково среди них наивероятиейшее число появлений этого признака? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно утверждать, что число единиц с данным признаком в выборке окажется: а) не меньше 190; б) не больше 220; в) не меньше 190 и не больше 220?
Какие отклонения фактической частоты появления признака в выборке m / n от его вероятности р = 70 % можно предсказать с уверенностью: а) 90%;б) 95%?
Kаким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 96 % можно было утверждать, что отклонения фактической частоты от вероятности р=70%будутне больше, чем: а) 3%; б) 1%?
№ 7
1. Оптовая база обслуживает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить требование на следующий день с вероятностью 0,4. Определить вероятность того, что в течение дня база получит m = 0, 1, 2,...требований. Какова вероятность того, что за день база получит а) более четырех требований; б) менее пяти; в) не менее двух и не более четырех требований?
2. Счетчик Гейгера регистрирует частицы, вылетающие из некоторого радиоактивного источника, с вероятностью 0,0001. Предположим, что за время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Какова вероятность того, что счетчик зарегистрировал m = 0, 1, 2,...частиц? Какова вероятность того, что счетчик зарегистрировал а) более трех частиц; б) менее пяти частиц; в) не более семи частиц и не менее трех?
3. В большой партии валиков 85 % высшего сорта. Из партии взято 200 валиков.
Каково среди них наивероятнейгаее число валиков высшего сорта? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно утверждать, что число валиков высшего сорта будет: а) не менее 240; б) не больше 260; в) не меньше 240 и не больше 260?
Какие отклонения фактической частоты появления валиков высшего сорта от их вероятности можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 93%?
Каким должен быть объем выборки, чтобы с уверенностью 90 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от 85% будут не более, чем: а) на 3%; б) на 4 %?
№ 8
1. Ha автобазе имеется 8 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность выхода в ближайший день m = 0, 1, 2,... машин. Какова вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 6 автомашин? Вычислить вероятность выхода на линию не больше 5 автомашин; не менее 5 и не более 7 автомашин.
2. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно трем. Найти вероятность того, что за 1 час в порт зайдет m = 0, 1, 2,...кораблей. Какова вероятность того, что в порт зайдет а) более пяти кораблей; б) менее четырех; в) не более шести и не менее двух кораблей?
3. Количество рабочих, перевыполняющих норму на предприятии, равно 70%.В выборку взято 200 рабочих.
С какой уверенностью можно утверждать, что рабочих, перевыполняющих норму на предприятии, будет: а) не меньше 140; б) не больше 160; в) не меньше 140 и не больше 160?
Какие отклонения фактической частоты от 70 % можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 99%?
Каким должен быть объем выборки, чтобы с уверенностью 90 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты от 70 % не превосходит: а) 5%;б) 4%.
№ 9
1. Всхожесть семян составляет 80 %. Определить вероятность, что из 8 посеянных семян взойдет m = 0, 1, 2,... семян; взойдет не менее трех семян; взойдет не более пяти и не менее трех семян; взойдет меньше семи семян.
2. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно четырем. Найти вероятность того, что в час поступит m = 0, 1, 2,...заявок.
Какова вероятность того, что за час поступит а) более трех заявок; б) менее четырех; в) не более шести и не менее двух заявок?
3. При данном технологическом процессе 80 % всей продукции оказывается продукцией первого сорта.
Вычислить вероятность того, что в выборке 300 изделий первого сорта будет не меньше 230 и не больше 250.
Какие отклонения фактического процента продукции первого сорта в выборке от их доли в генеральной совокупности имеют вероятность: а) 96%; б) 94%?
Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 95%можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от доли признака (80% ) будут не более, чем: а) на 2%; б) на 3 %?
№ 10
1. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 10 телевизоров потребуют ремонта m = 0, 1, 2,...; потребует ремонта не более одного; хотя бы один не потребует ремонта; не менее трех потребуют ремонта.
2. Вероятность того, что в некотором автохозяйстве одна автомашина потерпит аварию в течение месяца, равна 0,01. В автохозяйстве 500 автомашин.
Определить вероятность того, что в течение месяца потерпят аварию m = 0, 1, 2,... автомашин.
Какова вероятность того, что за месяц потерпят аварию а) более трех автомашин; б) менее девяти автомашин; в) не более пяти и не менее двух?
3. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,25.
Определить вероятность того, что из 500 готовых колец число непригодных: а) равно 125; б) не меньше 100; в) не больше 150; г) не меньше 125 и не больше 140?
Какие отклонения фактической частоты нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец от их вероятности (0,25) можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 99%?
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95%можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от р = 0,25 не превосходит: а) 2%; б) 3%?
№ 11
1. Рабочий обслуживает 8 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение промежутка времени t равна 0,3. Найти вероятность того, что за время t потребует внимания рабочего m = 0, 1, 2,... станков; что число требований будет не менее трех и не более шести; что число требований будет не более трех, что число требований будет более трех.
2. На прядильной фабрике работница обслуживает 1000 веретен. При вращенииверетена пряжа рвется в случайные моменты времени из-за неравномерности натяжения, неровности и других причин. Считая, что вероятность обрыва пряхи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени t равна 0,004, найти вероятность того, что за это время произойдет m = 0, 1, 2,... обрывов; произойдет не более пяти обрывов; произойдет не менее трех обрывов; произойдет не менее трех и не более шести обрывов.
3. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,6.
Найти вероятность, что событие появится: а) 65раз; б) не менее 55; в) не более 75; г) не менее 55 и не более 75 раз.
Какие отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,6 можно гарантировать с уровнем доверия а) 0,90; б) 0,95?
Сколько нужно произвести испытаний, чтобы вероятностью 99% можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем: а) на 2%; б) на 1%?
№ 12
1. В некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в объект при каждом выстреле равна 0,25. Производится восемь выстрелов. Какова вероятность, что из восьми выстрелов будет m = 0, 1, 2,...попаданий? Какова вероятность, что попаданий будет не более шести и не менее трех? Какова вероятность, что попаданий будет более шести? Какова вероятность, что попаданий будет не менее четырех?
2. Изделия некоторого завода содержат 5 % брака.
Найти вероятность того, что среди 80 взятых наугад изделий m = 0, 1, 2,... окажутся бракованными; не менее шести окажутся бракованными; не менее четырех и не более восьми окажутся бракованными; меньше пяти окажутся бракованными.
3. Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 900 посеянных семян взойдет: а) 720; б) не менее 700; в)не более 740; г) не менее 700 и не более 740.
Какие отклонения фактической частоты проросших семян от их вероятности (80%) можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 99%?
Сколько необходимо взять семян, чтобы с вероятностью 90% можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от вероятности 80% не превосходит: а) 3%; б) 4%?
№ 13
1. В группе студентов 80 % успевающих по высшей математике. Для проверки отобрали 10 студентов. Какова вероятность того, что среди них m = 0, 1, 2,... успевающих по высшей математике? Какова вероятность, что успевающих по высшей математике среди них не менее пяти и не более восьми? Сколько студентов надо отобрать для проверки, чтобы наивероятнейшее число успевающих по высшей математике было равно десяти? Какова вероятность того, что успевающих по высшей математике не менее четырех?
2. Вероятность выигрыша по облигации 3%-го Государственного займа в определенном тираже равна 0,01. Найти вероятность выигрыша из десяти облигаций по m = 0, 1, 2,... облигациям (вычисления произвести по формуле Пуассона). Какова вероятность выигрыша не менее чем по двум облигациям? Какова вероятность выигрыша не менее чем по одной и не более чем по трем облигациям? Какова вероятность выигрыша более чем по трем облигациям?
3. Завод выпускает 70 % электролампочек первого сорта. В выборку взято 200 лампочек.
Каково среди них наивероятнейшее число лампочек первого сорта? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно утверждать, что число лампочек первого сорта будет: а) не меньше 200; б) не больше 220; в) не меньше 200 и не больше 220?
Какие отклонения фактической частоты появления лампочек первого сорта от их вероятности 70 % можно ожидать с уверенностью а) 90%;б) 85%?
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от 70 % не превосходит: а) 3%;б) 5%?
№ 14
1. Вероятность того, что абонент правильно наберет номер телефона, равна 0,7. Найти вероятность того, что из cеми вызовов абонент наберет правильно m = 0, 1, 2,.... Найти вероятность того, что абонент наберет правильно не менее пяти вызовов; не более пяти вызовов; не менее трех и не более шести.
2. На телефонной станции в течение определенного часа дня возникает в среднем 180 вызовов. Найти вероятность того, что за данную минуту возникает ровно m = 0, 1, 2,... вызовов. Какова вероятность того, что за минуту возникает не менее трех вызовов? Какова вероятность того, что за минуту возникает не менее двух и не более шести вызовов?
3. Доля признака в генеральной совокупности равна р=75%. В выборку взято 200 единиц.
Каково среди них наивероятиейшее число появлений этого признака? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенности) можно утверждать, что число единиц с данным признаком в выборке окажется: а) не меньше 280; б) не больше 320; в) не меньше 280 и не больше 320?
Какие отклонения фактической частоты появления признака в выборке m / n от его вероятности р=75 % можно предсказать с уверенностью: а) 93%; б) 95%?
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95 % можно было утверждать, что отклонения фактической частоты от вероятности р=75%будутне больше, чем: а) 3%;б) 4%?
№ 15
1. Вероятность того, что взятая напрокат автомашина будет возвращена исправной, равна 0,8. Найти вероятность того, что из девяти возвращенных автомашин будет исправных m = 0, 1, 2,.... Найти вероятность того, что будет возвращено не более восьми и не менее шести исправных машин; не менее семи автомашин; более четырех исправных машин.
2. При приемочном контроле партии деталей оказалось в среднем 1 % бракованных. Какова вероятность, что среди 200 деталей окажется бракованных ровно m = 0, 1, 2,...штук? Какова вероятность того, что бракованных деталей окажется не более четырех? Какова вероятность того, что бракованных деталей окажется не менее двух и не более пяти? Какова вероятность того, что бракованных деталей окажется меньше пяти?
3. В большой партии валиков 90 % высшего сорта. Из партии взято 250 валиков. Каково среди них наивероятнейшое число валиков высшего сорта? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно утверждать, что число валиков высшего сорта будет: а) не меньше 170; б) не больше 190; в) не меньше 170 и не больше 190?
Какие отклонения фактической частоты появления валиков высшего сорта от их вероятности можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 90%?
Каким должен быть объем выборки, чтобы с уверенностью 95 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от 90% будет не более, чем: а) на 3%; б) на 2%?
№ 16
1. На электроламповом заводе выпускается 80%стандартных деталей, из них 80%деталей первого сорта. Найти вероятность того, что 1) из десяти наудачу выбранных ламп будет m = 0, 1, 2,... первого сорта; 2) хотя бы одна лампа будет первого сорта; 3) не менее восьми ламп будут первого сорта; 4) менее семи ламп будут первого сорта.
2. В некоторой местности в среднем на 100 выращиваемых арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти вероятность того, что в партии арбузов из этой местности, содержащей 300 штук, будет а) ровно m = 0, 1, 2,... арбуза весом не менее 10 кг каждый; б) не менее двух арбузов; в) не более пяти; г) не более шести и не менее двух.
3. При данном технологическом процессе 90%всей продукции оказывается продукцией первого сорта.
Вычислить вероятность того, что в партии из 200 изделий окажется 180 первого сорта.
Какова вероятность, что число изделий первого сорта в выборке 200 изделий будет не меньше 170 и не больше 190?
Какие отклонения фактического процента продукции первого сорта в выборке от их доли в генеральной совокупности имеют вероятность: а) 95%; б) 90%?
Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 96%можно было утверждать, что отклонение фактической частоты от доли признака (90 %) будет не более, чем: а) на 2%; б) на 1%?
№ 17
1. В ящике лежат 100 электроламп, из них: 45 стоваттных, 25 шестидесятиваттных и 30 сорокаваттных. Наугад извлекаются 10 электроламп. Какова вероятность, что из них сороковаттных окажется m = 0, 1, 2,...? Какова вероятность того, что сороковаттных электроламп не более 6; не менее четырех сороковаттных электроламп; не более восьми и не менее трех сороковаттных электроламп?
2. Вероятность выпуска сверл повышенной хрупкости (брак) равна 0,03. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что а) в коробке окажется m = 0, 1, 2,... бракованных сверл; б) в коробке не окажется бракованных сверл; в) число бракованных сверл окажется не более трех; г) число бракованных сверл окажется не более шести и не менее двух.
3. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,2.
Определить вероятность того, что из 300 готовых колец число непригодных: а) равно 80; б) не меньше 60; в) не больше 100; г) не меньше 650 и не больше 95?
Какие отклонения фактической частоты нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец от их вероятности (0,2) можно ожидать с уверенностью: а) 90%; б) 95%?
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95%можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от р = 0,2 не превосходит: а) 2%; б) 3%?
№ 18
1. На одном из факультетов 0,6 числа всех студентов занимаются в спортивных секциях. Для проверки отобрали 10 студентов. Какова вероятность, что среди них m = 0, 1, 2,...занимаются в спортивных секциях? Какова вероятность, что среди них студентов, занимающихся в спортивных секциях а) не менее трех и не более восьми; б) более четырех; в) менее пяти?
2. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,05. Найти вероятность того, что в ближайший месяц расход электроэнергии не превысит нормы в течение m = 0, 1, 2,... суток; в течение не более двух суток; в течение не менее трех суток; в течение менее четырех суток.
3. Вероятность появления события в каждом из 500 независимых испытаний равна 0,7.
Найти вероятность, что событие появится: а) 350 раз; б) не менее 330; в) не более 370; г) не менее 330 и не более 370 раз.
Какие отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,7 можно гарантировать с уровнем доверия а) 0,95; б) 0,99?
Сколько нужно произвести испытаний, чтобы вероятностью 95% можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем: а) на 4%; б) на 2%?
№ 19
1. Оптовая база обслуживает 8 магазинов, от каждого из которых может поступить требование на следующий день с вероятностью 0,5. Определить вероятность того, что в течение дня база получит m = 0, 1, 2,...требований. Какова вероятность того, что за день база получит а) более четырех требований; б) менее пяти; в) не менее двух и не более четырех требований?
2. Из партии в 1500 штук деталей, из которых 60 "плюсовых", производится выборка (с возвратом) в n = 50штук. Какова вероятность того, что "плюсовых" деталей окажется m = 0, 1, 2,...; не более трех; более двух; не менее одной и не более пяти?
3. Всхожесть семян данного растения составляет 85%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет: а) 700; б) не менее 700; в) не более 700; г) не менее 660 и не более 700.
Какие отклонения фактической частоты проросших семян от их вероятности (85%) можно ожидать с уверенностью: а) 95%; б) 99%?
Сколько необходимо взять семян, чтобы с вероятностью 95% можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от вероятности 85% не превосходит: а) 5%; б) 4%?
№ 20
1. Ha автобазе имеется 10 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,6. Найти вероятность выхода в ближайший день m = 0, 1, 2,... машин. Какова вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин? Вычислить вероятность выхода на линию не больше 9 автомашин; не менее 5 и не более 8 автомашин.
2. На прядильной фабрике работница обслуживает 750 веретен. При вращенииверетена пряжа рвется в случайные моменты времени из-за неравномерности натяжения, неровности и других причин. Считая, что вероятность обрыва пряхи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени t равна 0,004, найти вероятность того, что за это время произойдет m = 0, 1, 2,... обрывов; произойдет не более пяти обрывов; произойдет не менее трех обрывов; произойдет не менее трех и не более шести обрывов.
3. Завод выпускает 80 % электролампочек первого сорта. В выборку взято 250 лампочек.
Каково среди них наивероятнейшее число лампочек первого сорта? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой вероятностью можно утверждать, что число лампочек первого сорта будет: а) не меньше 190; б) не больше 210; в) не меньше 190 и не больше 210?
Какие отклонения фактической частоты появления лампочек первого сорта от их вероятности 80 % можно ожидать с уверенностью: а) 90 %; б) 85 %.
Каким должен быть объем выборки n, чтобы с уверенностью 95 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от 80 % не превосходит: а) 3%;б) 5%?
№ 21
1. Всхожесть семян составляет 70 %. Определить вероятность, что из 8 посеянных семян взойдет m = 0, 1, 2,... семян; взойдет не менее трех семян; взойдет не более пяти и не менее трех семян; взойдет меньше семи семян.
2. Изделия некоторого завода содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди 100 взятых наугад изделий m = 0, 1, 2,... окажутся бракованными; не менее шести окажутся бракованными; не менее четырех и не более восьми окажутся бракованными; меньше пяти окажутся бракованными.
3. Отдел технического контроля проверяет 1000 деталей на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9.
Каково наивероятнейшее число стандартных деталей? Какова вероятность этого наивероятнейшего числа?
С какой уверенностью можно утверждать, что число стандартных деталей будет не меньше 880 и не больше 920?
Найти с вероятностью 95 % границы, в которых будет заключено число стандартных деталей среди проверенных.
Каков должен быть объем выборки, чтобы с уверенностью 97 % можно было утверждать, что отклонение фактической частоты m / n от 90 % не превосходит: а) 2%; б) 3%?
№.22
1. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,25. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 8 телевизоров потребуют ремонта m = 0, 1, 2,...; потребует ремонта не более одного; хот