Непрерывная с. в. X имеет равномерное распределение на отрезке [а, 6], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:
№ = {Ь-а' прихеЕа.Ь],
| +0< / |
при х ^ [а, Ь],
(т. е. f(x) = с при х 6 [а, 6], но
+оо
cdx — 1, —оо
отсюда следует, что еж = 1, с = —; вместо отрезка [а, 6] можно
а о — а
писать (а, Ь) или (а, Ь], [а, Ь), так как с. в. X — непрерывна.)
График плотности f(x) для равномерного распределения н.с.в. X изображен на рис. 28.
| (яг) = (б-а1 1°. |
Равномерное распределение с. в. X на участке [а, Ь] (или (а, 6)) будем обозначать: X ~
| F(x) = |
Найдем функцию распределения F(x) для X ~ R[a, Ь]. Согласно формуле (см. п. 2.4)
) = J f(x)dx,
| № 1 | |||
| 6 — а | 1 1 J 1 1 1 | ] J 1 1 j | |
| а | b | X |
| Рис 28 |
имеем
| b — а |
— х ~ а а Ь — а
при а < х ^ b\ F(x) = 0 при х ^ а, и а 6
| = 1 |
| b — a |
F(®)= J Odt + J + J0di
при x > b. Таким образом,
О, при а? ^ а,
| (2.33) |
F(a;) = f—при о < х < Ь, I О-Й
X, при b < х.
График F(x) изображен на рис. 29.
| F(x) 1 | |||
| a | b | X |
Рис. 29
Определим MX и DX с. в. X ~ R[a, Ь]. Согласно формуле (2.11),
а Ь -f оо
МХ = J x-0dx + J ■j^dx+ J x-0 =
(Ожидаемый результат: математическое ожидание с. в. X ~ R[a,b] равно абсциссе середины отрезка; MX совпадает с медианой, т. е MX = МеХ.)
\
Согласно формуле (2.14). Ь
а
1 /(6-а)3 (а — б)3 \ (6-а)2
3(6 - а) V 8 8 J 12 '
Таким образом, для н. с. в. X ~ R[a, 6] имеем
MX = ЯХ = (2.34)
Пример 2.11. Пусть с. в. X ~ Л(а, 6). Найти вероятность попадания с. в. X в интервал (а,/?), принадлежащий целиком интервалу (а, 6).
О Согласно формуле (2.8), имеем
Р{ХЕ(а,Р)} = J f{x)dx = J vX—dx = а а
т.е. Р{Хе(а,/3)} = ^.
Геометрически эта вероятность представляет собой площадь прямоугольника, заштрихованного на рис. 30. •
| > | |||||
| ш | |||||
| a a fib х | |||||
| Рис. 30 |
К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до целого (она равномерно распределена на отрезке [—0,5; 0,5]). И вообще случайные величины, о которых известно, что все ее значения лежат внутри некоторого интервала и все они имеют одинаковую вероятность (плотность).
Дискретная случайная величина X имеет равномерное распределение, если она принимает целочисленные значения 1, 2, 3, п с вероятностью рт = Р{Х - т} — где т = 1,2,3,..., п.
В этом случае MX = Мр, DX = 1. Так, при п = 5,
многоугольник распределения имеет вид, представленный на рис. 31, MX — 3.
| р 1 0,2 | ||||||||||
| X | ||||||||||
| Рис 31 |
Показательный закон распределения
| _ ГЛе |
О
Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид
| (2.35) |
| /м = |
при х ^ О, при х < О,
где Л > 0 — параметр распределения.
График плотности f(x) приведен на рис. 32.
№
О
Рис 32
Функция распределения показательного распределения имеет вид
| -As |
| Г1-е 1°. |
| при х ^ О, при х < 0. |
| (2.36) |
| F(x) = |
□ F{x)= J f(t)dt= j 0dt + Jxe~Xxdt = 1 -e~Xx.
-oo 0
—oo
График F(x) представлен на рис. 33.
| F(x) 1 | |
| X |
| Рис. 33 |
Найдем математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:
оо о
MX = J х • Хе~Хх dx = ^lim J x • Xe~Xx dx = [интегрируем по частям] —
| о Л |
| = 0-i(0-l) = i |
| — Ax |
| — lim f —x ■ e b—► oo |
uv ои
| x2e~Xx dx-~ = A2 |
DX = J x2f{x)dx-{MX)2 = [формула (2.17)] = xj
— [дважды интегрируем по частям] —
| = Л [ lim , Ь~юо |
| X2 |
X2 -\х, 2 (X ~\х 1 „-Лаг
Таким образом,
(2.37)
Найдем вероятность попадания случайной величины X, распределенной по показательному закону, в интервал (а, Ь). Используя формулу (2.2) и формулу (2.36), получаем
Р{а < X < Ь} = F{b) - F[a) = (1 - е~А6) - (1 - е~Ха) - е"Ла - е"ЛЙ, т. е. Р{а < X < Ь} = е~Ха - е~хь.
Пример 2.12. Случайная величина Т — время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.
О МТ = 400, значит (формула (2.37)), Л = Искомая вероятность
Р{Т > 800} = 1 -Р{Т < 800} = 1-^(800) = 1-(1-е400) = е"2 «0,135.
•
Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в физике, в теории надежности. Оно используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т. д.
Рассмотрим, например, н. с. в. Т — длительность безотказной работы прибора. Функция распределения с.в. Т, т.е. F(t) — Р{Т < i}, определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна R(t) = Р{Т > t] — = 1 — F(t). Функция R(t) называется функцией надежности.
Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид F(t) = 1 — e~Xt (формула (2.36)). В этом случае функция надежности имеет вид R(t) — 1 — F(t) = = 1 — (1 — е~Л£) = т. е. R(t) = e~Af, где Л — интенсивность от.казов} т. е. среднее число отказов в единицу времени.
Показательный закон — единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия» (т. е. если промежуток времени Т уже длился некоторое время г, то показательный закон распределения остается таким же и для оставшейся части Ti = Т — г промежутка).