Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства

Исчерпывающей характеристикой непрерывной двумерной случай­ной величины является плотность вероятности. Вводится это понятие аналогично тому, как это делалось при рассмотрении плотности рас­пределения вероятностей одной случайной величины (п. 2.4). Рч| Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее

функция распределения F(x,y) есть непрерывная функция, диффе­ренцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная F^_y(x,y). Р\| Плотностью распределения вероятностей (или совместной плот-

костью) непрерывной двумерной случайной величины (X, У) называ­ется вторая смешанная производная ее функции распределения.

Обозначается совместная плотность системы двух непрерывных случайных величин (X, Y) через f(x,y) (или р(х,у)). Таким образом, по определению

d²F(x,y) „

1(^Х'У) = ^ я.. =^Fxy(^Х'У)-

дх ду

Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной слу­чайной величины (X, Y) есть предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами Да; и Ау, примыкающий к точке (ж,у), к площади этого прямоуголь­ника, когда его размеры Ах и Ау стремятся к нулю (рис. 41).

(3.6)

У

у + Ду

 

+ &х *

Рис. 41

Действительно, используя формулу (3.6), получаем: средняя плот­ность вероятности в данном прямоугольнике равна

 

Р{х ^Х <х +A x,y^Y<y + Ay}

Ах ■ Ay

aV (

F(x + Ax, у + Ay) - F{x, у + Ду) F(x + Дя, у) - F(

Ax Ax

Переходя к пределу при Ах -> 0 и Ау —> 0, получаем

Ay

F'(x,y + Ay)-F'{x,y)

lim /_Ср = bm Да?->0 Aj/—>0

/ср —

Ду-»0

 

т.е. f{x,у) = №(х,у))'_у = FZ_y(x,y).

(3.7)

По аналогии с плотностью вероятности одномерной непрерывной случайной величины, для двумерной случайной величины (X, Y) плот­ность вероятности определяется как функция f(x,y), удовлетворяю­щая условию

Р{х ^ X < х + dx,y ^Y < у + dy} «f[x, у) dxdy\

выражение f(x,y)dxdy называется элементом вероятности двумер­ной случайной величины {X,Y).

Геометрически плотность распределения вероятностей f(x,y) си­стемы двух случайных величин (X, У) представляет собой некоторую поверхность, называемую поверхностью распределения (рис. 42).

 

Плотность распределения / ( х, у) обладает следующими

свойствами:

1. Плотность распределения двумерной случайной величины неотри­цательна, т. е.

f(x,y)> 0.

2. Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D равна двойному интегралу от плотности по области D, т. е.

Р{(Х, У) е D} = IJ f{x, у) dxdy. (3.8)

D

3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения по формуле:

X у

Fix,y)= J J fxyMdudv. (3.9)

—оо —оо

4. Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконеч­ных пределах от плотности вероятности двумерной с. в. равен еди­нице, т. е.

оо оо

f{x,y)dxdy = 1.

—оо —оо

5. Плотности распределения одномерных составляющих X и У могут быть найдены по формулам:

-f оо +оо

J f(x,y)dy = f_l(x) = f_x(x), j f(x,y)dx = f₂{y) = fy(y). (3.10)

□ 1. Следует из того, что F(x, у) есть неубывающая функция по каж­дому из аргументов.

2. Элемент вероятности f(x,y)dxdy (см. (3.7)) представляет собой вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник со сторонами dx и dy (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с произведением dxdy). Разбив область D на пря­моугольники и применив к каждому из них равенство (3.7), получаем, по теореме сложения вероятностей, при стремлении к нулю площадей прямоугольников (т. е. dx —У 0 и dy —У 0), формулу (3.8). Геометрически эта вероятность изображается объемом цилиндрического тела, ограни­ченного сверху поверхностью распределения f(x,y) и опирающегося на область D.

3. Выражение функции распределения F(x,y) системы случайных величин {X, У) через плотность f(x, у) получим, используя форму­лу (3.8) (область D есть прямоугольник, ограниченный абсциссами —оо, х и ординатами — оо, у):

F(x,y) = Р{Х < x,Y <у} = Р{~оо < X < х,-оо < У < у} =

a

х у

- J J f(x,y)dxdy.

4. Положив в формуле (3.9) х = у = +оо и учитывая, что F(+oo,-Ьоо) = 1, получим

оо оо

F(+oo,+oo)= J J f{x,y)dxdy = 1.

— oo —oo

Геометрически свойство 4 означает, что объем тела, ограниченного по­верхностью распределения и плоскостью Оху, равен единице.

5. Найдем сначала функции распределения (зная совместную плот­ность двумерной случайной величины (X, У)), составляющих X и У:

х +оо

Fi{x) = F(z,+oo) - J J f(x, у) dxdy,

+ 00 у

F₂{y)-F{+oo,y) = J J f{x,y)dxdy,

-оо —00

т. е.

х / +оо \ у / +00 \

Fi(xJ I J f(x,y)dy}dx, F₂(?/)= J [ J f(x,y)dx J dy.

-oo Voo / — OO Voo /

(3.11)

Дифференцируя первое равенство по x, а второе по у, получим плот­ности распределения случайных величин X и У:

/!(*)= (я) = J f(x,y)dy —00

и

оо

Л(у)=^Ы= J f(x,y)dx. — 00

Отметим, что решение обратной задачи (восстановить закон распреде­ления системы (X, У) по известным законам распределения составля­ющих системы) в общем случае невозможно. I

Пример 3.4. Двумерная случайная величина (X, У) задана плотно­стью распределения вероятностей /(х,у) = ----------------------------------------------------------------------- г—----- г-. Найти:

(1 + х^г)(1 +у^г)

оо оо //

1) А\ 2) F(x,y); 3) Р{Х < 1,У < 1}; 4) Ш и /₂(у).

О 1) Постоянную А найдем, используя условие нормировки:

dxdy = 1,

(1+^)(1 + у*)

— СО —00

оо оо

А [ ^ /-^ = 1, У 1 + a:² J 1 + у²

У

—оо

+оо

• arctg у

+оо = 1, —оо

Л ■ arctg а:

—оо Л. 7Г² = 1.

2) Используя формулу (3.9), находим:

^J?(-»⁾ "/(/?■ Т^) ТТ? - i ⁺*) -^arctgyL⁼

—оо Voo /

= ж + i) arctg у +.

3) < 1,У < 1} = F(l,l) = + (И4) - £ (использовали формулу (3,2), можно воспользоваться формулой (3.8)).

4) По формуле (ЗЛО) получаем:

оо

dy 1 ¹⁰⁰

arctg у

(X + ж^[4])(1 + у²) тг²(1 + _Ж²)

₌ 1 /тг, тг\ ₌ 1

■2 И _+:с2_} * 2) тг(1 + Ж²) '

7Г (1 3J)

оо

Му) = J 4 - - ¹

„² (1 + х²)(1_+г/²) •• 7г(1+у²)'

—оо

Упражнения

1. Двумерная случайная величина (X, У) задана совместной плотно­стью распределения

fix у) = {^Ае~^Х~^У1 яри ж ^ 0, у > О,

\0, в противном случае.

Найти: 1) коэффициент А\ 2) Г_Х)у(х,у»); 3) ^лг(ж) и Fy(y); 4)

и /у(у); 5) Р{Х>0,У<1}.

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для I стрел­ка равна 0,4, для II — 0,6. Оба стрелка, независимо друг от дру­га, делают по два выстрела в цель. Найти: 1) закон распределе­ния случайных величин X и У; 2) совместный закон распределе­ния системы случайных величин (X,Y); 3) функцию распределе­ния Fx_fY(^x,y)> если случайная величина X — число попаданий I стрелка, случайная величина Y — II стрелка.