Функции двух случайных аргументов

Для решения ряда практических задач необходимо знать закон рас­пределения (или числовые характеристики) случайных величин вида Z = X ±Y, Z = X Y, Z = л/Х2 + У2, Z = max (я, У) и других.

Если каждой паре возможных значений с. в. X и У по определен­ному правилу соответствует одно возможное значение с. в. Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У, записывают Z = tp(X,Y).

Найдем закон распределения суммы двух случайных величин (наи­более важный на практике), т. е. закон распределения с. в. Z = X + У.

Пусть система двух непрерывных с. в. (X, У) имеет совместную плотность распределения f(x, у). Найдем по формуле (3.8) функцию распределения с. в. Z = X + У.

Fz(z) = P{Z<z} = P{X + Y<z} = ff ffay)dxdy.

Dz

Здесь Dz — множество точек плоскости Оху, координаты которых удо­влетворяют неравенству х + у < г, см. рис. 47.

оо z—x

 

Имеем

Fz(г)г= /(/ ffav^v)**-

—оо —оо

Дифференцируя полученное равенство по переменной г, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получаем выражение для плот­ности распределения с. в. Z = X + У:

fz(z)= J f{x,z-x)dx. (4.6)

-оо

Если с. в. X и У независимы, то, как известно (п. 3.4), f(x,у) = — fl(x)f2(y)- Формула (4.6) примет вид

оо

fz(z) = fx+Y(z)= j h(x)f2(z-x)dx. (4.7)

—оо

Закон распределения суммы независимых с. в. называется компо­зицией или сверткой законов распределения слагаемых.

Плотность распределения с. в. Z можно записать в виде fx+y ~ = fx * /у> где * — знак свертки, а формулу (4.7) называют формулой свертки или формулой композиции двух распределений.

Записав Z в виде Z = У+Х, можно получить другое представление для fziz)y а именно

оо

fz{z) = J f(z~y,v)dy

—оо

и

оо

fz{z)= J fi(z-y)f2(y)dy

—оо

в случае независимости с. в. X и У.

Задача нахождения закона распределения с. в, вида Z = X — У, Z = X ' У и других решаются аналогично.

Пример 4.4. Пусть с. в. X ~ iV(0,1), с. в. У ~ JV(0,1). Найти закон распределения с. в. Z — X + У, считая X и У независимыми с. в.

О Используя формулу (4.7), получаем

ОО Л , , 9 оо „

/

1 1 (2 -х) Л Г 2х2 - 2гх + z2

—оо -оо

ОО §)2 + т) 2 00 ч2

к !е------ s = кеЛ / е~И) d (*-1) =

2тг

—oo —oo

Ч/2\/2тг

/ . N

/ e u du~ \fn — интеграл Пуассона

т. е.

Сумма независимых нормальных с. в. (с т — 0, а = 1) имеет нормаль­ное распределение (с т = 0, с = \/2). •

Пример 4.5. Совместное распределение с. в. X и Y задано плотностью распределения вероятностей

Я*,!/) = {о,

Найти плотность распределения вероятностей с. в. Z — X — Y.

О Найдем сначала функцию распределения F(z) с. в. Z, а затем — ее производную F'z(z) - fz(z).

Fz(z) = P{Z <z} = P{X - Y < z) = fJiz + У) dxdyt

где Dz — множество точек, координаты которых удовлетворяют нера­венству х — у < 2, т. е. у > x — z (они находятся выше прямой у — х — z), где z — произвольное число. Очевидно, если г ^ —1, то F(z) — 0; так как f{x,y) = 0 вне квадрата Область интегриро­

x — z
х—г

вания Dz при —1 < 2 < 0 изображена на рис. 48, при 0 < г ^ 1 — на рис. 49).


у = х — Z

Рис. 48 При — 1 < z ^ 0 имеем

 

ltz 1 ^

F{z) = JJ{x + у) dxdy = j dx J {x +у) dy= J dx ^xy +

Ds 0 x-z 0

1+z

= J (X + ±-X2+xz~(X~2Z^ ^jdx = 0

(x2 . 1Д x3|2,x2 - \ 2 + 2 3 2 6 J 0 "

+ г/, при O^z^l, 0 < у ^ 1, в противном случае.

_ (1 -Yz)2 , 1 + z (1 + 2)3 , z(\ + z)2 x гз ^ (3, + iy

При 0 < z ^ 1 имеем

z 1 11

F{z) = JJ(х + у) dxdy = J dx J{x + y)dy + J dx J (x + y)dy =

Dz 0 0 z x—z

-f i+idx(xy+Y) l=

0 z

z 1

= J (x + i)dx + J^x + | - x2 + xz - ^ ^ da; =

о г

2 x\ г , fx2 , x x3 . „х2 11

^ 2 2y o \2 2 3 2 6

_ г2 , z , 1 г2 , 1 z LzV z3 U^*)3 п=2 + 2г + 1

"г^г^г 2~^2 2 3 3^2 26 2

При z >1 имеем

l l

= JJ(X + y) dxdy = J dx J{x + y)dy =

D, 0 0

= 1.

Ж , X 2 2

Таким образом,


 

 


при z ^ — 1, при — 1 < г ^ 0,

fo, (z + l)2
Fz(z) =
2 + 2z + 1 1.

, при 0 < z < 1, при 2 > 1.


 

 


Следовательно, Контроль:

О, при z ^ —1, z > 1, = /2(2) = ^ + 1, при - 1 < г ^ 0, 1 — z, при 0 < z ^ 1.


-1

J f(z) dz — J 0 dz + J [z + \)dz + J (l-z)dz + J 0 dz

-l о 1

(z + l)2 0 (1 ~z)2 1

= i-0-0+i = l. О 2 z

IsT] Пример 4.6. Независимые с. в. X и У распределены равномерно X ~ Л[0,4], У ~ Л[0,1]. Найти плотность распределения вероятностей с. в. Z = X + Y (рис. 50).


x+y — z x+y — z Рис. 50
x+y = z

 

 


Q Система с. в. (X, У) равномерно распределена в прямоугольнике /l(X) \0| s*[0,4], Ш) (О, у* [0,1].

Так как с. в. X и У независимы, то /(ж,у) = f\(x) • fi(y) = ^ - 1 —

Fz(z)=P{X + Y <z}= JJ \dxdy = \sDz,

Dz

(x+y<z)

где Sdz — площадь области Dz — части прямоугольника, лежащей ниже прямой х + у = z. Если z < 0, то F(z) = 0; если 0 < г < 1, то F(z) = ^ ■ JjZ2 (так как Sdz = ^ * г • z); если 1 < z ^ 4, то

F(z) = \ ■ • l) = - 1);

если 4 < 2г < 5, то

F(z) = i • (l • 4 - 1(5 - *)(S - z)) = |(8 - (5 - zf).

Итак,


Го, Ь 1 4'
f(z) = F'z{z) =

z < 0, 2 > 5, 0 < г < 1,

1 < * < 4, -z), 4<z^5.


 

 


Контроль:


 

 


oo

j f{z)dz = J \zdz + f\dz + ± J (5 — z)dz = 1.

-oo 0 14

Плотность распределения fz{z) можно найти, используя формулу

оо

/М = J f\{x)-f2{z-x)dx.

—оо

4 4

/(*) = J \f2(z-x)dx^± J f2(z-x)dx.

о 0

Функция под знаком интеграла отлична от нуля лишь в случае

Г 0 < х < 4, \0 ^ z — ж ^ 1,

— 1 < яг z.

Решение системы зависит от значения z.

1. Если 2^0, система несовместна; отрезки [0,4] и [z — l,z] не пересекаются, (см. рис. 51).

Следовательно, f2(z — ж) = 0 и fx+y{z) = 0.

Имеем
т.е.
(4.8)

2. Если 0 < z ^ 1, система (4.8) эквивалентна неравенству 0 ^ х < z (см. рис. 52).


-- K/WVyj

z—1 z


 

 


О 4 х

Рис. 51


 

 


М////Л

z—1 Z


 

 


О 1 4

Рис. 52


 

 


Поэтому


 

 


z

-_ z_ £ " 4Х\о~ 4-

fx+y{z) = \ Jldx = \

3. Если 1 < г ^ 4, система (4.8) эквивалентна неравенству z — 1 < ^ х < г (см. рис. 53).

Vf'/t'/zi

z—\ z

О 1 А

Рис. 53

Поэтому

z

fx+Y(*) = \ j ldz=\x\'z_=±(z-z + l) = \. 2-1

4. Если 4 < г < 5, toz~1^o;<4 (см. рис. 54).

----------------- ЮООООЧ—(-

z—1 z 5

Рис. 54

Поэтому

5~z 4 '

fz(z) = \ I Uz = ±z|V= 1(4 -г 4-1) =

z-1

/(*) =

Рис. 55

5. Если 5 < г, то система (4.8) несовместна (см. рис. 55), а, значит, fz{z) = 0. Итак,

ГО,
h
4'
 
1 < г ^ 4,

 

Упражнения

1.По условию примера 4.5 найти функцию и плотность распределе­ния вероятностей с. в. Z = X + Y.

2.По условию примера 4.5 найти плотность распределения вероятно-

у

стей с. в. Z = -гр.





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!