ПОВЕРХНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЁННОМ СОСТОЯНИИ ДЛЯ ПЛАСТИЧНОГО И ХРУПКОГО МАТЕРИАЛОВ

Критерий О. Мора

Теория прочности Мора основана на предположении, что второе главное напряжение оказывает малое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться. Она развивает идею о зависимости прочности как от нормального, так и касательного напряжения.

Эту гипотезу удобно применять для материалов, прочностные характеристики которых при одноосном сжатии отличаются от прочностных характеристик при одноосном растяжении.

В соответствии с теорией О.Мора для определения условия разрушения при сложном напряжённом состоянии используется огибающая окружностей радиусом и координатами центра ; , построенных для предельных напряжений, при которых в опытах при различных напряжённых состояниях наступает разрушение. Считается, что разрушение происходит, если наибольшая окружность Мора для данного напряжённого состояния коснётся огибающей или пересечёт её. Предполагается, что в момент разрушения в опасной площадке (площадка с максимальным касательным напряжением ) величина разрушающего касательного напряжения зависит от величины и знака нормального напряжения, действующего в этой площадке

.

Если огибающую предельных окружностей Мора аппроксимировать прямой, касающейся окружностей, соответствующих растяжению и сжатию , то разрушающее значение максимального касательного напряжения будет линейно зависеть от напряжения . В этом случае условие разрушения при сложном напряжённом состоянии может быть записано в виде

, или

.

Для определения параметров A и B достаточно провести испытания, например, на растяжение и сжатие.

Условие разрушения по критерию О. Мора при сложном напряжённом состоянии имееет вид

, ;

(15)

здесь , – действительное напряжение в момент разрушения при растяжении и сжатии; – коэффициент разнопрочности; – главные напряжения.

Для инструментальной стали ШХ15 (таблица 4)

МПа, МПа, . (16)

Согласно критерию О.Мора, при сдвиге запишем

. (17)

Тогда, используя данные таблицы 2 и зависимость (17) для пластичного материала титанового сплава ВТ2-0, получим

МПа, МПа,

. (18)

Поверхность разрушения строим в относительных координатах . По точкам, соответствующим относительным значениям напряжений и , приведенным в таблице 5, определяем главные напряжения , по критерию Мора (15) рассчитываем эквивалентное напряжение и из условия разрушения (15) получаем координаты точек поверхности разрушения.

Результаты расчета для титанового сплава ВТ2-0 и инструментальной стали ШХ15 представлены в таблице 9 и проиллюстрированы рисунком 3.

Рисунок 3. Поверхности разрушения по критерию Мора

для хрупкого и пластичного материалов

Теория Мора нашла подтверждение в многочисленных опытах над различными материалами. Она отличается определенной широтой: предвидит возможность перехода материала из упругого состояния в пластичное; возможность хрупкого разрушения без заметных пластических деформаций; допускает различное сопротивление материала растяжению и сжатию.

Однако теория Мора обладает серьезными недостатками. Один из них – отсутствие учета второго главного напряжения . Для объёмных напряжённых состояний при растягивающих главных напряжениях теория разрушения Мора может давать большую ошибку при определении разрушающих напряжений вследствие замены криволинейной огибающей прямой линией. Для описания разрушения конструкций из малопластичных и хрупких материалов критерий Мора вполне пригоден.

Таблица 9. Координаты точек поверхностей разрушения титанового сплава ВТ2-0 и инструментальной стали ШХ15 по критерию Мора

Вид напряженного состояния	Главные напряжения	Титановый сплав ВТ2-0	Инструментальная сталь ШХ15
Эквивалентное напряжение			Эквивалентное напряжение
		1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
		1,000	1,000	0,500	1,000	1,000	0,500
		1,000	1,000	0,000	1,000	1,000	0,000
		1,217	0,822	-0,411	1,242	0,805	-0,402
		1,443	0,698	-0,698	1,485	0,673	-0,673

Таблица 9 (продолжение)

Вид напряженного состояния	Главные напряжения	Титановый сплав ВТ2-0	Инструментальная сталь ШХ15
Эквивалентное напряжение			Эквивалентное напряжение
		0,933	0,536	-1,072	0,985	0,508	-1,015
		0,433	0,000	-2,308	0,485	0,000	-2,063
		0,433	-1,154	-2,308	0,485	-1,031	-2,063
		0,433	-2,308	-2,308	0,485	-2,063	-2,063

 

 

3.2. Критерий Лебедева‑Писаренко

Рядом ученых (Баландин, Миролюбов, Ягн) предпринимались попытки разработать критерий, в котором аналогично критерию Мизеса участвуют все три главных напряжения , и , и, подобно критерию Мора, учитывается разнопрочность материала.

В предположении наиболее простой линейной зависимости разрушающего значения октаэдрического касательного напряжения или интенсивности напряжений от величины и знака наибольшего главного напряжения условие разрушения по критерию Лебедева-Писаренко может быть записано в виде [1]

,

(19)

где – коэффициент разнопрочности.

Коэффициент разнопрочности для инструментальной стали ШХ15 был определен выше из соотношения (16) .

Для титанового сплава ВТ2-0 коэффициент разнопрочности можно определить из равенства, определяющего значение предельного касательного напряжения при чистом сдвиге

.

Отсюда выражая , получаем

.

Дальнейшие расчеты аналогичны расчетам по критерию Мора. Поверхность разрушения строим в относительных координатах .

По точкам, соответствующим относительным значениям напряжений и , приведенным в таблице 5, определяем главные напряжения , подсчитываем интенсивность напряжений , по критерию Лебедева–Писаренко (19) рассчитываем эквивалентное напряжение и, используя критерий разрушения (19), получаем координаты точек поверхности разрушения.

Результаты расчета для титанового сплава ВТ2-0 и инструментальной стали ШХ15 представлены в таблице 10 и проиллюстрированы рисунком 4.

Рисунок 4. Поверхности разрушения по критерию Лебедева-Писаренко

для хрупкого и пластичного материалов.

 

Таблица 10. Координаты точек поверхностей разрушения титанового сплава ВТ2-0 и инструментальной стали ШХ15 по критерию Лебедева‑Писаренко

Вид напряженного состояния	Главные напряжения		Титановый сплав ВТ2-0	Инструментальная сталь ШХ15
Эквивалентное напряжение			Эквивалентное напряжение
		1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
		0,866	0,921	1,086	0,574	0,935	1,069	0,535
		1,000	1,000	1,000	0,000	1,000	1,000	0,000
		1,323	1,191	0,840	-0,420	1,157	0,865	-0,432
		1,732	1,433	0,698	-0,698	1,355	0,738	-0,738
		1,323	0,987	0,507	-1,013	0,899	0,556	-1,112
		1,000	0,592	0,000	-1,690	0,485	0,000	-2,063
		0,866	0,513	-0,976	-1,951	0,420	-1,191	-2,382
		1,000	0,592	-1,690	-1,690	0,485	-2,063	-2,063

Деформационный критерий

В соответствии с гипотезой наибольших деформаций, известной ныне как вторая теория прочности, разрушение независимо от вида напряженного состояния происходит при достижении наибольшим (по модулю) из компонентов деформаций предельного для данного материала значений [1]

(или, при ). (20)

Формулировка критерия в терминах напряжений с использованием закона Гука, имеет вид

( - коэффициент Пуассона).

Трактовка ограничивает область применения критерия хрупкими материалами, у которых диаграмма деформирования вплоть до разрушения незначительно отличается от линейной. Так как большинство материалов перед разрушением испытывают значительные неупругие деформации, то в таком виде деформационный критерий не соответствует опытным данным и поэтому не нашёл применения.

В настоящее время теория наибольших деформаций (20) получила дальнейшее развитие. Условие разрушения в деформациях записывается в виде [1]

, (21)

где – интенсивность предельной пластической деформации;

– предельная логарифмическая пластическая деформация в момент разрыва образца;

a, b – константы материала.

Используя степенную аппроксимацию единой кривой деформирования в виде (12), деформационное условие разрушения можно выразить через напряжения

. (22)

Параметры a и b можно найти из данных опытов на растяжение, чистый сдвиг или сжатие

При растяжении , следовательно, из выражения (22) следует, что эти две константы взаимо связанны

.

При чистом сдвиге , - получим

.

Подставив полученные значения параметров a и b в выражение (22), запишем деформационный критерий разрушения, выраженный в напряжениях:

. (23)

Примечательно, что согласно данному критерию существует однозначная связь между основными характеристиками прочности. Поскольку при одноосном сжатии , ,

где – предельное значение действительного напряжения при сжатии.

Подставив эти соотношения в (23), получим

, (24)

откуда нетрудно по известным двум характеристикам получить значение третьей, а также величину коэффициента разнопрочности

. (25)

Выразим деформационный критерий разрушения (23) через эквивалентное напряжение с учетом соотношения (24) в следующем виде

. (26)

Поверхность разрушения строим в относительных координатах по точкам, соответствующим относительным значениям напряжений и , приведенным в таблице 5, определяем главные напряжения , подсчитываем интенсивность напряжений и средние напряжения . Коэффициент разнопрочности для титанового сплава ВТ2-0 определяем из соотношения (25)

.

Для инструментальной стали ШХ15 коэффициент определен в подразделе 3.1 .

По деформационному критерию (26) рассчитываем эквивалентные напряжения и из условия разрушения (26) получаем координаты точек поверхности разрушения.

Результаты расчета для для титанового сплава ВТ2-0 и инструментальной стали ШХ15 представлены в таблице 11 и проиллюстрированы рисунком 5.

Таблица 9. Координаты точек поверхностей разрушения титанового сплава ВТ2-0 и инструментальной стали ШХ15 по деформационному критерию

Вид напряженного состояния	Главные напряжения			Титановый сплав ВТ2-0	Инструментальная сталь ШХ15
Эквивалентное напряжение			Эквивалентное напряжение
		0,667	1,000	1,208	0,827	0,827	1,436	0,696	0,696
		0,500	0,866	0,995	1,005	0,503	1,129	0,886	0,443

 

Таблица 11.(продолжение)

Вид напряженного состояния	Главные напряжения			Титановый сплав ВТ2-0	Инструментальная сталь ШХ15
Эквивалентное напряжение			Эквивалентное напряжение
		0,333	1,000	1,000	1,000	0,000	1,000	1,000	0,000
		0,167	1,323	1,176	0,851	-0,425	1,056	0,947	-0,473
			1,732	1,433	0,698	-0,698	1,206	0,829	-0,829
		-0,167	1,323	1,019	0,491	-0,981	0,803	0,622	-1,245
		-0,333	1,000	0,685	0,000	-1,461	0,485	0,000	-2,062
		-0,500	0,866	0,516	-0,969	-1,937	0,322	-1,552	-3,104
		-0,667	1,000	0,567	-1,765	-1,765	0,338	-2,962	-2,962

 

 

Рисунок 5. Поверхности разрушения, построенные по деформационному

критерию для хрупкого и пластичного материалов