МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Информатика и программное обеспечение»
Информатика
РЕФЕРАТ
Тема: «Геометрия Лобачевского Н. И.»
Выполнил: студентка гр. 15-БАС
Новикова А.С.
Подпись: ________________________
Преподаватель:
Доцент, к.т.н. Гулак М.Л.
Оценка _______ Дата ______________
Подпись: _________________________
Брянск 2015
Содержание
1. Введение 3
2. Геометрия до Евклида. 4
3. Евклид и его геометрия. 8
3.1..Проблема пятого постулата. 11
3.2..Попытки доказать V постулат. 14.
3.3..Открытие неевклидовой геометрии. 17
4..Биография Н.И. Лобачевского. 19
5..Геометрия Лобачевского. 22
5.1..Доказательство независимости пятого постулата (построение моделей). 26
6..Геометрия Лобачевского в реальном мире. 28
7..Примеры поверхностей Лобачевского. 30
8..Заключение. 31
9..Список литературы.. 32
Введение
На уроках геометрии в 7-м классе я познакомилась с аксиомой параллельности прямых.
В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Позже, углубленно изучая геометрию, я узнала, что эта аксиома верна только для геометрии Евклида в пространстве, которое тоже называется Евклидовым. И, что существуют другие геометрии и другие пространства, где эта аксиома не выполняется. Одну из таких геометрий придумал наш соотечественник Николай Иванович Лобачевский.
Целью моей работы является знакомство с геометрией Лобачевского, изучение аксиоматического подхода в построении любой теории, систематизация полученных знаний, изучение доказательства пятого постулата, рассмотрение локальных поверхностей с постоянной отрицательной кривизной, на которых верна геометрия Лобачевского
В своей работе я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе, существует ещё одна – «Воображаемая геометрия», которая существенно отличается от евклидовой. Отличия я постараюсь отразить в работе.
Я выбрала данную тему потому, что геометрия Лобачевского помогает совершенно по-другому взглянуть на окружающий мир. Чтобы ее понять, необходимо обладать фантазией и пространственным воображением.
Вначале геометрия Лобачевского считалась непригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описываемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Лобачевским, вскоре нашли практическое применение.
Геометрия до Евклида
Возникновение и развитие геометрических представлений обычно относят к древневосточным цивилизациям – Египет, Вавилон, Индия, Китай в связи с развитием земледелия. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя – это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.
Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь треугольника, площадь круга и объем четырехугольной усеченной пирамиды. В Вавилоне во II тыс. до н.э. была известна так называемая теорема Пифагора.
В математике Древнего Востока нет доказательств, только правила: "Делай так-то".
В VII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли Греции. Исследователями древней Греции были впервые сформулированы основные положения науки о законах правильного мышления.
Постепенно выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта и должны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало созданию аксиоматического метода изложения геометрии.
В развитии геометрии в Греции можно выделить три периода:
1. (VII – VI в. до н. э.) Основателем и представителем ("отцом" греческой математики) является Фалес Милетский (640–548 гг. до н.э.). Ему приписывают доказательстваследующих теорем:
– угол, вписанный в полуокружность, прямой.
– вертикальные углы равны.
– углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.
и др.
2. (VI – V в. до н. э.) – Пифагор и его школа. Пифагору предписывают доказательство следующих предложений:
– сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;
– плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками;
– известная теорема Пифагора;
– открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;
– открытие пяти типов правильных многогранников;
– существование несоизмеримых отрезков (считается самым важным открытием школы Пифагора. До этого считалось, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным числом).
3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами связывают два основных достижения:
– выработку принципов научного построения геометрической системы, расчленение ее предложений на аксиомы, теоремы и определения;
– разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от противного, дедукция (из общих истин получаем частные выводы).
Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных Евклидом "Началах". Начался новый период развития геометрии.
Об этом можно судить, исходя из данных, представленных в таблице (см. Таблица 1).
Таблица 1
Открытия древнегреческих исследователей
| Исследователь | Открытие |
| Демокрит (470–370 гг. до н.э.) | Теоремы об объемах пирамиды и конуса. |
| Евдокс (~410–356 гг до н.э.) | Создатель геометрической теории пропорций, заменявшей грекам теорию иррациональных чисел. Он же нашел способ нахождения объема пирамиды, конуса и шара. |
| Менехм (~380–320 гг до н.э.) | Открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Аполлоний. Кроме того, Менехм опубликовал два способа решения классической задачи об удвоении куба: пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы. |
| Архимед (287–212 до н.э.) | Открытие правил для вычисления площади поверхности шара и некоторых других фигур, объемов ряда тел. Он нашел приближение для числа π и многое другое |
Основным методом в современной математике является аксиоматический метод. Его суть:
1. Перечисляются основные понятия (основные объекты: t1, t2, …, tn; основные отношения: ф1, ф2, …, фk).
2. Формулируются аксиомы, в которых сообщаются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории. Совокупность Т = {t1, …, tn; ф … ф k; A1, …, Am} называется аксиоматической теорией (АТ).
3. Все понятия, не являющиеся основными, определяются через ранее введенные основные понятия.
4. Все предложения, не являющиеся аксиомами, доказываются на основе аксиом, определений и ранее доказанных предложений.
Всякий конкретный набор предметов, которым приписывается роль объектов данной системы аксиом (множества, играющие роль основных объектов, и отношения), называют реализацией или интерпретацией этих аксиом.
Множество объектов, реализующих данную систему аксиом, называют моделью той логической схемы, которая определена аксиомами.
Основные требования к системе аксиом (СА)
– непротиворечивость – свойство АТ, состоящее в том, что в этой теории нельзя получить противоречие, т.е. доказать некоторое предложение и вместе с тем его отрицание (внутренняя непротиворечивость). Проблемами внутренней непротиворечивости СА занимается математическая логика.
– независимость (аксиома называется независимой от остальных аксиом АТ, если она не может быть выведена из них в этой АТ).
– полнота (система аксиом называется полной, если не существует такого предложения аксиомы, которое удовлетворяло бы двум условиям одновременно):
1) Аксиома не зависит от данной системы аксиом (УТ)
2) (УТА) – непротиворечива, где ТА = {А, А1, А2,..., Аm}
Евклид и его геометрия
Евклидова геометрия, представляет собой геометрическую теорию, основанную на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). Евклидова геометрия — привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида.
О жизни Евклида (около 365 г. до нашей эры — 300 г. до нашей эры) почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый.
Евклид – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются "Начала".
В «Началах» собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.
Дошедшие до нас рукописи «Начал» Евклида имеют ряд существенных отличий друг от друга, накопившихся в ходе многовекового редактирования. Датский филолог Гейберг в 1883—1888гг реконструировал «Начала», проанализировав все сохранившиеся древние тексты. Издание Гейберга легло в основу всех последующих переизданий «Начал», включая русские переводы.
«Начала» в издании Гейберга состоят из 13 книг, построенных по единой логической схеме.
I – VI посвящены планиметрии;
(В книгах I, III, IV даны свойства треугольников, теория параллельных прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей, вписанных и описанных многоугольников. Во II книге в геометрической форме даны основные геометрические тождества. В V изложена теория отношений по Евдоксу, VI – теория подобия фигур.)
VII – IX – арифметике в геометрическом изложении;
Х – несоизмеримым величинам;
XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).
Многое из того, что уже было известно, не изложено в "Началах", например, теории конических сечений и кривых высших порядков в "Началах" не были представлены.
Каждая из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений, принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.
Примеры определений из "Начал" (книга I):
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.
7. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.
Примеры постулатов
Постулаты содержат в себе допущение.
Допустим:
1. От всякой точки до другой точки можно было провести прямую линию.
2. Ограниченную прямую можно продолжать неограниченно.
3. Из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.
Требуется:
4. Чтобы все прямые углы были равны друг другу.
5. (V постулат) И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-хпрямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.
Примеры аксиом
1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
3. И если удвоим равные, то получим равные.
4. И половины равных равны между собой.
5. И совмещающиеся равны.
6. И целое больше части.
7. И две прямые не могут заключить пространства.
Некоторые недостатки системы Евклида были замечены уже в древности. В частности, список геометрических постулатов был расширен, например, Архимедом, добавившим аксиому (называемую аксиомой Архимеда), играющую существенную роль в теории измерений.
Кроме того, было замечено, что IV постулат является лишним, так как равенство прямых углов может быть доказано.
Проблема пятого постулата
При исследовании "Начал" Евклида делались попытки уточнить основные положения геометрии. Но очень немногие ставили задачу пополнения списка аксиом или постулатов. Напротив, их количество (в большинстве случаев) пытались уменьшить.
В этих исследованиях особое место занимают исследования, связанные с V постулатом Евклида.
V постулат: Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-хпрямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых (см. Рис. 1).
Рис. 1 Пересекающиеся прямые
Многие теоремы Евклида (например, «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны») выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат. К тому же проверить на эксперименте пятый постулат довольно сложно. Достаточно сказать, что если на рис. 1 расстояние |АВ| считать равным 1 м, а угол β отличается от прямого на одну угловую секунду, то можно подсчитать, что прямые l1 и l2 пересекаются на расстоянии свыше 200 км от прямой АВ
В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная V постулату, ее часто называют постулат Плейфера.
Постулат Плейфера
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (см. Рис. 2)
Рис. 2 Параллельные прямые
Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых сами по себе кажутся довольно очевидными. Некоторые эквиваленты V постулата:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (постулат Плейфера).
Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693). И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких треугольников.
Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
Существует треугольник сколь угодно большой площади.
Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).
Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).
Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.
Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Утверждение известно как постулат Лежандра, хотя это формулировка встречалась ещё в XIII веке у ат-Туси.
Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,
Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в туже сторону, без пересечения) расходиться (принцип Омара Хайяма, аксиома Роберта Симсона, 1756).
Сумма углов одинакова у всех треугольников.
Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).
Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.
Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).
Справедлива теорема Пифагора
Отношение длины окружности к её диаметру является константой, то есть одинаково для любой окружности. Вариант: отношение длины окружности к её диаметру равно числу Пи (хотя бы у одной окружности).
Попытки доказать V постулат
Большинство ученых ставило своей задачей доказать его на основании остальных постулатов как теорему. Было предложено множество различных доказательств V постулата, но все они были ошибочны, так как авторы обычно опирались на какое-нибудь геометрическое утверждение, которое являлось аналогом V постулата.
Вот неполный перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата:
· Древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (доказательство Прокла основано на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными),
· Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (Ибн аль-Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию),
· иранский математик Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.),
· азербайджанский математик Насирэддин Туси (XIII в.) (Хайям и Насирэддин при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения),
· немецкий математик Х. Клавиус (1574),
· итальянские математики П. Катальди (впервые в 1603 году напечатавший работу, целиком посвященную вопросу о параллельных),Дж. Борелли (1658), Дж. Витале (1680),
· английский математик Дж. Валлис (1663, опубликовано в 1693) (Валлис основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).
· Итальянский математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного.
В основе его рассуждений лежит четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Саккери пытался доказать, что если у оставшихся двух углов один прямой, а второй больше или меньше прямого угла, то придем к противоречию.
Гипотезу тупого угла он отверг сразу. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив – ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает». -
«Гипотеза острого угла»: он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Наконец, Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии».Однако, он продолжает исследование – рассматривает эквидистанту — геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование. К сожалению, работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил его труд и оценил его историческое значение. В своих исследованиях Саккери получил утверждения, похожие на теоремы геометрии Лобачевского.
· Немецкий математик И. Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логическое противоречие.
Из трёх возможных предположений о величине четвёртого угла: либо угол прямой, либо угол тупой, либо угол острый; первая гипотеза является утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая приводит к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Относительно третьей гипотезы Ламберт сделал предположение, что она выполняется на некоторой мнимой сфере.
Среди геометров 18 века Ламберт ближе всех подошел к решению проблемы V постулата. Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.
Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки:
Французский математик А. Лежандр; одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, то есть, как и все его предшественники, он заменил постулат другим допущением.
Словом, стремление доказать пятый постулат сравнивают с исступленным желанием найти «философский камень» в средние века или с бесчисленными попытками создать «вечный двигатель». Геометров не устраивало «темное пятно» в «Началах» Эвклида, а решения не находилось.
В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли К. Ф. Гаусс, Я. Бойяи, Н. И. Лобачевский и Ф. К. Швайкарт. Но цель у них была уже иная — не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире.
Открытие неевклидовой геометрии
Первым был Швайкарт. В 1818 году он отправил Гауссу письмо с серьёзным анализом основ неевклидовой геометрии, однако воздержался от вынесения своих взглядов на публичное обсуждение. Гаусс тоже не решился опубликовать работу на эту тему, но его черновые заметки и несколько писем однозначно подтверждают глубокое понимание неевклидовой геометрии. Гениальный Гаусс, к мнениям которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым.
Интересно, что Гаусса и Лобачевского учил в молодости один и тот же учитель — Мартин Бартельс, который, впрочем, сам неевклидовой геометрией не занимался.
Известный математик Фаркаш Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, но его сын Янош Бойяи (1802-1860) не внял предостережениям отца и независимо от Гаусса пришел к тем же идеям. В приложении (Appendix) к книге своего отца, вышедшей в 1832 г, Янош Бойяи дал самостоятельное изложение неевклидовой геометрии.
К этому открытию независимо от Гаусса пришел и наш соотечественник профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский. Он построил новую геометрию, которую часто называют геометрией Лобачевского - Бойяи.
Первый набросок новой теории — доклад «Сжатое изложение начал геометрии» Лобачевский сделал 11 (23) февраля 1826 года, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.
Первое значительное открытие Лобачевского состояло в доказательстве независимости пятого постулата геометрии Евклида от других положений этой геометрии. Важнейший вывод «воображаемой» геометрии гласит следующее: потому-то и невозможно доказать пятый постулат Евклида, что наряду с евклидовой геометрией может существовать иная, где этот постулат не имеет силы.
Вторым открытием была уже сама логически непротиворечивая система новой геометрии. На свою геометрию он смотрел именно как на теорию, а не как на гипотезу.