Лабораторная работа №14
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫШТЕЙНЕРА ПРИ ПОМОЩИ УНИВЕРСАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ КОБРА 3
Цель работы – определение моментов инерции различных тел, проверка теоремы Штейнера.
Приборы и принадлежности
Установка Кобра 3, световой барьер, устройство для изучения крутильных колебаний, держатель для гирь, гири, нить.
Краткая теория
При малых амплитудах колебаний возвращающий момент пропорционален углу отклонения от положения равновесия. Следовательно, получаем гармонические круговые колебания с частотой
.
Модуль кручения D * определяется параметрами спиральной пружины. Период колебания тела
определяется при помощи секундомера. Неизвестный момент инерции можно рассчитать из значений для модуля кручения D * и периода колебаний T при помощи выражения:
.
Анализ формул позволяет вывести следующую зависимость моментов инерции J тел:
Круглый диск:
Момент инерции J круглого диска зависит от массы m и радиуса r диска:
.
Полый и цельный цилиндр:
Момент инерции JV полого цилиндра зависит от его массы mV и радиуса r:
.
Для полого цилиндра такой же массы и внешним радиусом момент инерции будет больше. Он зависит как от массы mH полого цилиндра, так и от радиусов ri и ra:
(для полого цилиндра).
Через плотность материала ρ и высоту h масса полого цилиндра выражается как
.
Выражение для расчета момента инерции JH имеет вид:
,
преобразовав которое, получаем:
.
з данного выражения видно, что момент инерции полого цилиндра может выражаться как момент инерции двух цельных цилиндров с одинаковой плотностью. Масса большего цельного цилиндра с радиусом ra равна:
,
а масса меньшего цельного цилиндра с радиусом ri равна:
.
Таким образом, получаем:
.
Сфера:
Момент инерции JK однородного сферического тела по отношению к оси, проходящей через его центральную точку, равна:
.
Таким образом, момент инерции цилиндра с тем же радиусом r и той же массой m больше, чем момент инерции сравниваемой сферы.
В таблице 1 наряду со значениями массы и размеров тел представлены табличные значения моментов инерции и значения, полученные экспериментальным путем.
Стержень с подвижными гирями:
Момент инерции стержня с подвижными гирями зависит от расстояния между гирями и осью вращения. Полученные моменты инерции стержня без подвижных гирь и с ними, которые расположены в различных точках стержня, а также вычисленные значения момента инерции стержня представлены в таблице 2:
,
момент инерции гирь без стержня:
а сумма моментов инерции стержня и гирь:
.
Каждый раз измеренный момент инерции соответствует сумме отдельных моментов инерции.
Для проводимых измерений использовались следующие параметры:
Длина стержня 
60 см
Масса 
стержня 0,1715 кг
Масса одной гири 
0,2115 кг
Теорема Штейнера:
Согласно теореме Штейнера, общий момент инерции J тела, вращающегося вокруг произвольной оси, равен:
,
где J0 - момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс (ось гравитации), r 2 - квадрат расстояния между осью вращения и осью гравитации.
В таблице 3 представлены значения момента инерции полученные экспериментально J измер и соответствующие теоретические 
.
Таблица 1
| Тело | m, кг | r, см | J, кг·см2 | JT, кг·см2 |
| Диск | 0,292 | 17,42 | 17,66 | |
| Цельный цилиндр | 0,370 | 4,9 | 4,78 | 4,44 |
| Полый цилиндр | 0,390 |  : 
| 8,15 | 7,49 |
Таблица 2
| l, см | Jизмер, кг·см2 | 2 l2m, кг·см2 | 2 l2m+J0,кг·см2 |
| - | 42,14 | - | 51,45 |
| 53,81 | 10,58 | 62,03 | |
| 86,28 | 42,3 | 93,75 | |
| 144,52 | 95,18 | 146,63 | |
| 223,77 | 169,2 | 220,65 | |
| 322,75 | 264,38 | 315,83 |
Таблица 3 (масса диска m = 0,454 кг)
| l, см | Jизмер, кг·см2 | 2 l2m, кг·см2 | 2 l2m+J0,кг·см2 |
| 50,44 | - | - | |
| 55,25 | 4,09 | 54,53 | |
| 68,91 | 16,34 | 66,78 | |
| 106,47 | 36,77 | 87,21 | |
| 119,00 | 65,38 | 115,82 |
Порядок выполнения работы
Подготовьте экспериментальную установку, как показано на рис.1.
Рис. 1
Для статического определения модуля кручения диск поворачивают на угол ϕ и удерживают в этом положении при помощи динамометра. Показание динамометра записывается. Увеличивая угол закручивания, повторяют опыт не менее чем для 10 значений угла ϕ. Модуль кручения определяется из графика зависимости вращающего момента от угла кручения диска.
Примерный вид графика изображен на рисунке 2.
Рис. 2
Модуль кручения D * определяется формулой
,
,
где F – показания динамометра, r – расстояние от центра диска до динамометра.
Далее подготовьте экспериментальную установку, показанную на рисунке 3.
Рис. 3
Соедините световой барьер с установкой, используя схему на рис. 4. Убедитесь, что нить, соединяющая ось вращения с колесом светового барьера, горизонтальна. Оберните нить примерно 7 раз вокруг оси вращения устройства для изучения крутильных колебаний под затяжным винтом.
Рис. 4
Выберите в меню «Соbra 3 Translation/ rotation» «Кобра 3 /вращение» и установите параметры измерения как показано на рис. 5. В окне для «Axle diameter» «Диаметр оси» введите значение в 20 мм, чтобы синхронизировать вращения колеса на барьере и на устройстве для изучения крутильных колебаний, происходящих с различной скоростью.
Рис. 5
Пропустите шелковую нить через колесо светового барьера и отрегулируйте установку так, чтобы держатель для гирь с массой 1 г свисал свободно и располагался приблизительно посередине шелковой нити. В любом случае, нить должна быть достаточно длинной, чтобы не препятствовать свободным колебаниям.
Отведите тело, прикрепленное к пружине, на 180º в сторону, отпустите его и начните измерения, нажав на пиктограмме «Start measurement» («Начать измерение»).
Примерно через 10-15 с щелкните на пиктограмме «Stop measurement» («Остановить измерение»).
При значениях (50 мс) в окне «Get values every (50) mc» («Считывать значения каждые (50) мс») можно получить неточные результаты. В таком случае дополнительно отрегулируйте частоту выборки данных.
Держатель для гирь натягивает нить между осью вращения устройства для изучения крутильных колебаний и световым барьером. Если нить свисает свободно при движении тела, добавьте дополнительные гири.
Закрепите тела на оси вращения: диск без отверстий, полый цилиндр, цельный цилиндр, сферу, стержень, диск с отверстиями. Зафиксируйте гири на стержне симметрично и на различном расстоянии от оси вращения.
На экране появится изображение как на рис. 6. Определите период T при помощи свободно свисающего указателя.
Рис. 6