Лекция 4а. Основные понятия и краткие сведения
Из теории вероятностей
Математический аппарат теории надежности основывается главным образом на вероятностных методах, поскольку сам процесс появления отказов" в аппаратуре и механизмах по своей физической природе носит вероятностный характер. Отсюда вытекает необходимость ознакомления с основными понятиями теории вероятностей до изучения практических приемов расчета надежности систем и элементов.
Рассмотрим основные понятия теории вероятностей.
Случайное событие — событие, которое в результате произведенного опыта может произойти или не произойти. Обозначается символом А.
Достоверное событие — событие, которое непременно должно произойти. Обозначается символом Е.
Невозможное событие — событие, которое заведомо произойти не может. Обозначается символом И.
Совместные (несовместные) события — события, появление одного из которых не исключает (исключает) появление другого.
3ависимые (независимые) события — события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого.
Противоположные события — два единственно возможные и несовместимые события.
Полная группа событий — совокупность событий, когда в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.
Например события А и А составляют полную группу событий, так как в результате опыта возможны только два исхода: либо А, либо А. Случайная величина — переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение.
Случайный процесс — совокупность случайных величин, зависящих от определенного параметра (например, от времени).
Вероятностью случайного события А называется отношение числа К (исход испытания, в котором наблюдается событие Л) к общему числу т всех исходов:
Основные свойства вероятности
Вероятности случайных событий обладают следующими основными свойствами:
Теорема сложения вероятностей
Если А1, A2,…,Ап — несовместимые события и A есть сумма этих событий, то вероятность события А равняется сумме вероятностей событий А1, A2,…,Ап.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность совместного появления двух событий Л, и А2 в данном опыте равняется вероятности появления одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие появилось, т. е.
значком ^ обозначается произведение вероятностей.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
т. е. вероятность одновременного возникновения ряда независимых событий равна произведению вероятностей этих событии.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если известно распределение ее, т. е. если известно, какой вероятностью обладает каждое значение случайной величины.
На практике закон распределения случайной величины обычно получают графически: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, по оси ординат — вероятность этих значений (частота их повторений). Полученные точки соединяются прямыми. Полученный многоугольник называется многоугольником распределения; он, так же как закон распределения, полностью характеризует случайную величину.
При расчете надежности наиболее часто употребляются показательный закон распределения и нормальный закон распределения. Рассмотрим построение многоугольника распределения на примере.
Возьмем данные по удельному расходу топлива тепловозами (в кг/тыс, ткм. брутто) по депо X. Наблюдался 21 электровоз. Случайной величиной является удельный расход топлива. Возможным значением случайной величины—число тепловозов с одинаковым удельным расходом топлива.
Составим таблицу.
Таблица 1
По данным табл. 1 строим многоугольник распределения (рис. 9). Основываясь на форме.многоугольника распределения, можно подобрать наиболее близко подходящий к нему математический закон распределения, известный из теории: вероятностей.
Рис.9.