Теорема умножения вероятностей




Лекция 4а. Основные понятия и краткие сведения

Из теории вероятностей

 

Математический аппарат теории надежности основы­вается главным образом на вероятностных методах, посколь­ку сам процесс появления отказов" в аппаратуре и механиз­мах по своей физической природе носит вероятностный ха­рактер. Отсюда вытекает необходимость ознакомления с ос­новными понятиями теории вероятностей до изучения практических приемов расчета надежности систем и элементов.

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей.

Случайное событие — событие, которое в резуль­тате произведенного опыта может произойти или не про­изойти. Обозначается символом А.

Достоверное событие — событие, которое непре­менно должно произойти. Обозначается символом Е.

Невозможное событие — событие, которое заведомо произойти не может. Обозначается символом И.

Совместные (несовместные) события — со­бытия, появление одного из которых не исключает (исклю­чает) появление другого.

3ависимые (независимые) события — события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого.

Противоположные события — два единственно возможные и несовместимые события.

Полная группа событий — совокупность событий, когда в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.

Например события А и А составляют полную группу со­бытий, так как в результате опыта возможны только два исхода: либо А, либо А. Случайная величина — переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное зна­чение.

Случайный процесс — совокупность случайных ве­личин, зависящих от определенного параметра (например, от времени).

Вероятностью случайного события А назы­вается отношение числа К (исход испытания, в котором наблюдается событие Л) к общему числу т всех исходов:

Основные свойства вероятности

 

Вероятности случайных событий обладают следующими основными свойствами:

 

 

 

Теорема сложения вероятностей

Если А1, A2,…,Ап — несовместимые события и A есть сумма этих событий, то вероятность события А равняется сумме вероятностей событий А1, A2,…,Ап.

 

 

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий Л, и А2 в данном опыте равняется вероятности появления одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вы­численную в предположении, что первое событие появилось, т. е.

 

значком ^ обозначается произведение вероятностей.

 

Для независимых событий теорема умножения вероят­ностей имеет вид:

 

 

т. е. вероятность одновременного возникновения ряда незави­симых событий равна произведению вероятностей этих со­бытии.

Законом распределения случайной величины на­зывается всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответ­ствующими им вероятностями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если изве­стно распределение ее, т. е. если известно, какой вероят­ностью обладает каждое значение случайной величины.

На практике закон распределения случайной величины обычно получают графически: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, по оси ординат — вероятность этих значений (частота их повторений). Полу­ченные точки соединяются прямыми. Полученный многоугольник называется многоугольником распределения; он, так же как закон распределения, полностью характеризует случайную величину.

При расчете надежности наиболее часто употребляются показательный закон распределения и нормальный закон распределения. Рассмотрим построение многоугольника рас­пределения на примере.

Возьмем данные по удельному расходу топлива теплово­зами (в кг/тыс, ткм. брутто) по депо X. Наблюдался 21 электровоз. Случайной величиной является удельный расход топ­лива. Возможным значением случайной величины—число тепловозов с одинаковым удельным расходом топлива.

 

Составим таблицу.

Таблица 1

 

 

 

 

По данным табл. 1 строим многоугольник распределения (рис. 9). Основываясь на форме.многоугольника распределе­ния, можно подобрать наиболее близко подходящий к нему математический закон распределения, известный из теории: вероятностей.

 

 

 

Рис.9.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: