Расчет среднеквадратических отклонений

Часто в эксперименте измеряются две физические величины x и y, про которые известно, что они связаны линейной зависи­мостью вида

y = ax+ b (1.1)

Угловой коэффициент a равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс (a = ∆x/∆y), b - это отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат (рис. 1.1). Целью эксперимента является косвенное измерение па­раметров линейной зависимости а и b,зная которые, можно рас­считать некоторые физические величины.

1.1

1..2

Так, например, в данной лабораторной работе при определении радиуса кривизны линзы можно выявить линейную зависимость между радиусами наблюдаемых колец Ньютона и радиусом линзы. При этом как было уже сказано выше деформация линзы и стеклянной пластинки в месте их сопри­косновения может приводить при малых т к отступлению от формул (7) и (8). К точкам, полученным для малых m, следует поэтому относиться с осторожностью. Меньше всего искажены деформацией кольца с большими номерами. Поэтому наблюдаемое нами m-ое кольцо, строго говоря, не является m-ым, а (m+k)-ым. Тогда можно записать

 

Сопоставив это выражение с выражением для линейной зависимости y = ax+ b, получим, что

, m=x. Тогда , .

Измерив несколько пар значений r для разных m, можно построить экспериментальную прямую и определить а.

Пусть было проведено n измерений величин x и y, связанных линейной зависимостью (1.I), и получен ряд экспериментальных точек:

(x₁, y₁), (x₂, y₂,),..., (x_n, y_n) (1.2)

Результаты измерений, как известно, неизбежно содержат погрешности, поэтому экспериментальные точки не лягут вдоль одной прямой (рис.1.2). В связи с этим возникает задача: как наиболее правильно провести прямую линию по экспериментальным точкам, т.е. как наиболее точно определить параметры линейной зависимости a и b. Эта задача может быть решена методом наименьших квадратов, суть которого сводится к тому, чтобы достичь минимальной суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от проведенной прямой. Подробно метод наименьших квадратов рассмотрен в / 4 /. Мы остановимся лишь на конечных результатах. Эти результаты получены в предположении, что погрешность измерения величины x много меньше погрешности величины y (∆x«∆y), т.к. данный случай часто реализуется на практике.

Для нахождения параметров a и b следует предварительно вычислить следующие суммы:

; ; ; (1.3)

После этого величины a и b определяют по формулам:

, . (1.4)

Среднеквадратичные отклонения величин a и b рассчитываются следующим образом / 4 /:

, , (1.5)

где

(1.6)

Методом наименьших квадратов могут быть обработаны и более сложные зависимости. Для этого они приводятся к линейному виду (линеаризуются).

 

Ход работы:

1.Включить лампу осветителя и наблюдать кольца Ньютона.

2.Определить положение колец (l₁ - слева и l₂ - справа) по горизонтальной шкале, данные занести в таблицу 1. Для этого измерять по шкале расстояние от нуля до темного кольца (см. рисунок). Измерения начинать с четкого кольца (номер N менее 10) слева направо для каждого кольца (измеряем ). Сняв последнее измерение (центральное кольцо), продолжаем измерения, при этом данные в таблицу заносим, начиная с конца таблицы (измеряем ).

3. Перевести деления шкалы в миллиметры, умножив значения делений шкалы на 0,014 мм/(дел. шкалы). Данные занести в таблицу 1.

4.Находим диаметры колец по формуле и соответствующие радиусы r = 0,5 d.

5.Пользуясь полученными данными, подсчитать величины , а также . Результаты занести в таблицу 1.

6. Заполнить таблицу 2, согласно формулам (1.3)- (1.4)

7.Построить график зависимости у(х) = ax + b.

8.Зная определить R – радиус кривизны линзы.

9.Рассчитать среднеквадратичные отклонения и величин a и b соответственно по формулам (1.5), (1.6).

10. Определить погрешность радиуса кривизны линзы ∆R.

Таблица 1.

Номер кольца m = x	N	N-1	…
x2 = m2
l 1, дел. шкалы
l 2, дел. шкалы
rm(мм)
(мм)2
(мм)2

 

 

Таблица 2.

				a	b

 

 

Контрольные вопросы:

1.Что называется интерференцией волн, и при каких условиях наблюдается это явление?

2.Каковы условия возникновения максимумов и минимумов колебаний?

3.Что называется полосы равного наклона и равной толщины? Почему кольца Ньютона – это линии равной толщины?

4.Объясните механизм возникновения колец Ньютона. Выведите формулу радиусов светлых и темных колец Ньютона.

5.Практические применения интерференции.

 

Литература:

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: «Наука», 1987.

2.Лозовский В.Н. Курс физики. Т.1. Санкт-Петербург, 2001.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: «Высшая школа», 1999.

4. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок (пер. с англ.). – М.: Мир, 1985,- 272 с.