МГТУ им. Н.Э. Баумана
МАГНИТОСТАТИКА
Разобранные задачи по физике
3 семестр
Редактор: Fozi
ICQ: 1860
Москва, 2002
Задача 2.1
Условие:
Проводник с током, равномерно распределённым по его поперечному сечению и имеющему плотность j, имеет форму трубки, внешний и внутренний радиусы которой равны R0 и R соответственно. Магнитная проницаемость меняется по закону m=f(r). Построить графически распределения модулей векторов индукции магнитного поля B и напряжённости магнитного поля H, а также модуля вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях трубки и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r).
Функция m=f(r) для чётных вариантов имеет вид: m=(R0n+rn)/R0n.
Функция m=f(r) для нечётных вариантов имеет вид: m=(R0n+rn)/Rn.
Таблица 2.1. Значения параметров R0/R и n в зависимости от номера варианта.
Вариант | R0/R | n |
2/1 | ||
2/1 | ||
3/1 | ||
3/1 |
Решение:
Напряженность поля вычислим по теореме о циркуляции вдоль контура l, совпадающего с окружностью радиуса r:
Эта формула будет справедлива для всех вариантов Задачи 2.1 за счёт независимости напряжённости от величины магнитной проницаемости среды.
Вариант 1
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
Плотность тока намагничивания:
Записав это выражение в виде определителя в цилиндрических координатах, учитывая осевую симметрию, можно привести его к виду:
Подставив в эту формулу выражение для намагниченности и продифференцировав, получим:
Найдём плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
Вариант 2
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал:
Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
Вариант 3
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал:
Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
Вариант 4
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал:
Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
Задача 2.2
Условие:
Проводник с током, равномерно распределённым по его поперечному сечению и имеющему плотность j, имеет форму трубки, внешний и внутренний радиусы которой равны R0 и R соответственно. Величина магнитной проницаемости проводника меняется по линейному закону от значения m1 до m2 в интервале радиусов от R до R1 и m3=const в интервале радиусов от R1 до R0 (R1=(R0+R)/2). Построить графически распределения модулей векторов индукции магнитного поля B и напряжённости магнитного поля H, а также вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях трубки и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r).
Таблица 2.2. Значения параметров m2/m1, m3/m1 и R0/R в зависимости от номера варианта.
Вариант | m2/m1 | m3/m1 | R0/R |
2/1 | 2/1 | 2/1 | |
2/1 | 1/2 | 3/1 | |
2/1 | 3/2 | 2/1 | |
½ | 3/1 | 3/1 | |
½ | 1/2 | 2/1 | |
½ | 2/1 | 3/1 |
Решение:
Пусть , где
Напряженность поля вычислим по теореме о циркуляции вдоль контура l, совпадающего с окружностью радиуса r:
Эта формула будет справедлива для любых для всех вариантов задачи 2.2 за счет независимости напряженности магнитного поля от величины магнитной проницаемости.
Запишем выражение для магнитной проницаемости проводника:
при
при
Вариант 5
По условию:
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
;
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет излом)
Вариант 6
По условию:
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет разрыв)
Вариант 7
По условию:
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет разрыв)
Вариант 8
По условию:
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет разрыв)
Вариант 9
По условию:
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет разрыв)
Вариант 10
По условию: ;
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет излом или разрыв)
Задача 2.3
Условие:
По коаксиальному кабелю, радиусы внешнего и внутреннего проводника которого равны R0 и R соответственно, протекает ток I. Пространство между проводниками заполнено магнетиком, магнитная проницаемость которого меняется по закону m=f(r). Построить графически распределения модулей векторов индукции B и напряжённости H магнитного поля, а также вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях магнетика и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r). Определить индуктивность единицы длины кабеля.
Функция m=f(r) для чётных вариантов имеет вид: m=(R0n+rn)/(R0n+Rn).
Функция m=f(r) для нечётных вариантов имеет вид: m=(Rn+rn)/Rn.
Таблица 2.3. Значения параметров R0/R и n в зависимости от номера варианта.
Вариант | R0/R | n |
2/1 | ||
2/1 | ||
3/1 | ||
3/1 |
Решение:
Напряженность поля вычислим по теореме о циркуляции вдоль контура l, совпадающего с окружностью радиуса r:
;
Эта формула будет справедлива для любых для всех вариантов задачи 2.3 за счет независимости напряженности магнитного поля от величины магнитной проницаемости.
Пусть h=1м – единица длины кабеля.
Вариант 11
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал:
Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора через продольное сечение кабеля единичной длины:
Индуктивность:
График зависимостей , где r изменяется от до :
Вариант 12
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора через продольное сечение кабеля единичной длины:
Индуктивность:
График зависимостей , где r изменяется от до
Вариант 13
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора через продольное сечение кабеля единичной длины:
Индуктивность:
График зависимостей , где r изменяется от до :
Вариант 14
По условию:
Вычислим магнитную индукцию по формуле:
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности:
, где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора через продольное сечение кабеля единичной длины
Индуктивность
График зависимостей , где r изменяется от до
Задача 2.4
Условие:
По коаксиальному кабелю, радиусы внешнего и внутреннего проводника которого равны R0 и R соответственно, протекает ток I. Пространство между проводниками заполнено магнетиком, магнитная проницаемость которого меняется по линейному закону от значения m1 до m2 в интервале радиусов от R до R1, и m3=const в интервале радиусов от R1 до R0 (R1=(R0+R)/2). Построить графически распределения модулей векторов индукции B и напряжённости H магнитного поля, а также вектора намагниченности J в зависимости от r на интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях магнетика и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r). Определить индуктивность единицы длины кабеля.
Таблица 2.4. Значения параметров m2/m1, m3/m1, R0/R в зависимости от номера варианта.
Вариант | m2/m1 | m3/m1 | R0/R |
2/1 | 2/1 | 2/1 | |
3/1 | 1/2 | 2/1 | |
2/1 | 3/1 | 2/1 | |
1/2 | 3/1 | 3/1 | |
1/3 | 1/2 | 2/1 | |
1/2 | 2/1 | 3/1 |
Решение:
Пусть , где
Напряженность поля вычислим по теореме о циркуляции вдоль контура l, совпадающего с окружностью радиуса r:
;
Эта формула будет справедлива для любых для всех вариантов задачи 2.4 за счет независимости напряженности магнитного поля от величины магнитной проницаемости.
Запишем выражение для магнитной проницаемости проводника:
при ;
при ;
Вариант 15
По условию:
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
;
Намагниченность материала проводника:
;
По теореме о циркуляции намагниченности: , где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания:
;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
;
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора через продольное сечение кабеля единичной длины:
Найдем индуктивность по формуле: ;
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет излом или разрыв)
Вариант 16
По условию: ;
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
;
Намагниченность материала проводника:
По теореме о циркуляции намагниченности: , где - ток намагниченности.
Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания: ; ;
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника:
;
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора через продольное сечение кабеля единичной длины:
Найдем индуктивность по формуле: ;
График зависимостей , где r изменяется от до
(при график ф-ций имеет разрыв)
Вариант 17
По условию: ;
Вычислим величины магнитных индукций по формуле:
;
Намагниченность материала проводника:
;
По теореме о циркуляции намагниченности: , где - ток намагниченности.
; Найдем дифференциал: Т.к.
Поверхностная плотность тока намагничивания: