МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра общей математики и информатики
Матейко О. М., Плащинский П.В.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
МИНСК
Ó Матейко О. М., Плащинский П.В., 2005.
Аналитическая геометрия
На плоскости
Перечень вопросов по аналитической геометрии
на плоскости
1.Метод координат на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости: нахождение расстояния между двумя точками, деление отрезка в данном отношении, вычисление площади треугольника.
2.Полярные координаты.
3.Преобразования прямоугольной системы координат: параллельный перенос, поворот осей координат.
4.Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой.
5.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
6.Расстояние от точки до прямой.
7.Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса, его геометрический смысл. Фокальные радиусы.
8.Гипербола. Каноническое уравнение. Эксцентриситет гиперболы, его геометрический смысл. Фокальные радиусы.
9.Директрисы эллипса и гиперболы.
10. Парабола. Уравнение параболы. Фокальный параметр параболы.
11. Общее уравнение линии второго порядка. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Задание 1. Даны координаты вершин треугольника ABC. Найдите: 1) длину стороны AB; 2) уравнение стороны AB; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С; 4) расстояние от вершины В до стороны АС; 5) уравнение медианы AD; 6) площадь треугольника ABC.
| 1.A(8; –1), B(–8;11), C(–1; –13). | 2. A(5; –3), B(1;0), C(17; 2). |
| 3.A(3; 4), B(–1;7), C(15;9). | 4. A(2; –1), B(8;7), C(–10; 4). |
| 5.A(–7;6), B(2;–6), C(7;4). | 6. A(–5;7), B(4;–5), C(9;5). |
| 7.A(–3;5), B(6;–7), C(11;3). | 8. A(–6;10), B(3;–2), C(8;8). |
| 9.A(–8;9), B(1;–3), C(6;7). | 10.A(2;–4), B(–2;–1), C(14;1). |
| 11.A(–4;8), B(5;–4), C(10;6). | 12.A(–9;12), B(0;0), C(5;10) |
| 13.A(–1;4), B(8;–8), C(13;2). | 14.A(–2;11), B(7;–1), C(12;9). |
| 15.A(–1; –1), B(3;2), C(3; –1). | 16.A(–1; –1), B(2;3), C(2; –1). |
| 17.A(–1; –1) B(2;–5), C(–1; –5). | 18.A(–1;–1), B(–4;3), C(–1;3). |
| 19.A(–1;–1), B(–4;–5), C(–4;–1). | 20.A(1; –2), B(7;6), C(–11;3). |
| 21.A(7;4), B(–9;–8), C(–2;16). | 22.A(–6;–4), B(–10;–1), C(6;1). |
| 23.A(3;1), B(–13;–11), C(–6;13). | 24.A(12;0), B(18;8), C(0;5). |
| 25.A(–2;–6), B(–6;–3), C(10;–1). |
Задание 2. Запишите канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, ε — эксцентриситет, y = ± kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2 с — фокусное расстояние).
1. а) b = 4, F(9;0); б) a = 5, ε = 7/5; в) D: x = 6.
2. а) a = 4, F(3;0); б) b = 2 
, F(–11;0); в) F(3;0).
3. а) b = 
, ε = /25; б) 2 a = 16, k = 3/4; в) ось симметрии O x и A(4;–8).
4. а) b = 15, F(–10;0); б) a = 13, ε = 14/13; в) D: x = – 4.
5. а) b = 2, F(4 
;0); б) a = 7, ε = 
/7; в) D: y = 5.
6. а) c =2, ε = 2/ 
; б) a = 3, ε = 5/3; в) F(4;0).
7. а) a = 7, F(5;0); б) b = 3 
, F(–9;0); в) D: x = – 2.
8. а) b = 
, ε = /16; б) 2 a = 12, k = 2/3; в) ось симметрии O x и A(3;6).
9. а) ε = 
/5, A(–5;0); б) A(4 ;3), k = 3/4; в) D: y = 1.
10. а) A(3;0), B(2; 
/3); б) k = 3/4, ε = 5/4; в) D: y = – 2.
11. а) a = 26, 2 c = 10; б) 2 c = 10 , k = 2/3; в) F(2;0).
12. а) 2 c = 14, ε = 7/9; б) A(2;0), F(
;0); в) F(0;3).
13. а) a = 20, ε = 0,6; б) k = /10, ε = 5/4; в) D: x = – 3.
14. а) ε = /3, A(3;2); б) A(6;2 ), k = 2/3; в) ось симметрии O y и A(6;3).
15. а) A(;0), B( /2; 2); б) 2 c = 2 , a =3; в) D: y = – 6.
16. а) a = 2, 2c = 2; б) a = 
, ε = 3/ ; в) D: x = 5.
17. а) 2 c = 8, ε = 2/3; б) 2 c =26, ε = 2,6; в) ось симметрии O y и A(4;2).
18. а) ε = 3/ , A(–6;0); б) A(8,3 
), ε = 1,25; в) D: y = 1.
19. а) A(;0), B(1,5; 1); б) A(4,2), a = 2 ; в) D: y = – 8.
20. а) a = 9, 2c = 8 ; б) a = 2 , ε = 4/ ; в) D: x = 1.
21. а) b = 3, F(5;0); б) a = 2, ε = 5/2; в) D: x = 9.
22. а) a = 5, ε =0,8; б) b = 2 , F(–6;0); в) F(0;2).
23. а) b = , ε = 
/5; б) a = 5, k = 3/5; в) ось симметрии O x и A(–3;6).
24. а) b = 5, F(4;0); б) a = 8, ε = 5/4; в) D: x = 5.
25. а) a = 13, F(12;0); б) b = 2 , F(–11;0); в) D: x = – 5.
Задание 3. Напишите уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке А.
1. Левый фокус гиперболы 7 x 2 – 9 y 2 = 63, A(–1; –2).
2. B(2; –5), A — вершина параболы x 2 = –2(y +1).
3. Правый фокус эллипса x 2 + 4 y 2 = 12, A(2;–7).
4. Правую вершину гиперболы 40 x 2 – 81 y 2 = 3240, A(–2; 5).
5. Фокусы эллипса x 2 + 10 y 2 = 90, A — его нижняя вершина.
6. Правую вершину гиперболы 3 x 2 – 25 y 2 = 75, A(–5; –2).
7. Фокусы гиперболы 4 x 2 – 5 y 2 = 20, A(0; –6).
8. B(3; 4), A — вершина параболы 4 y 2 = x +7.
9. Левый фокус эллипса 13 x 2 + 49 y 2 = 837, A(1;8).
10. Правый фокус гиперболы 57 x 2 – 64 y 2 = 3648, A(2; 8).
11. Левый фокус гиперболы 9 x 2 – 16 y 2 = 144, A(1; 2).
12. B(1; 3), A — вершина параболы y 2 = –4(x +1).
13. Правый фокус эллипса 9 x 2 + 4 y 2 = 36, A(3;–2).
14. Правую вершину гиперболы 4 x 2 – 9 y 2 = 36, A(–2; 1).
15. Фокусы эллипса 3 x 2 + 5 y 2 = 30, A — его нижняя вершина.
16. Правую вершину гиперболы 4 x 2 – 7 y 2 = 28, A(–1; –3).
17. Фокусы гиперболы 7 x 2 – 5 y 2 = 35, A(0; –3).
18. B(–1; 3), A — вершина параболы 2 y 2 = x –5.
19. Левый фокус эллипса 11 x 2 + 7 y 2 = 77, A(1;4).
20. Правый фокус гиперболы 13 x 2 – 25 y 2 = 325, A(1; –4).
21. Левую вершину эллипса 7 x 2 + 9 y 2 = 63, A(1; –2).
22. B(–3; 4), A — вершина параболы x 2 = 2(y –1).
23. Правую вершину эллипса 3 x 2 + 5 y 2 = 15, A(2;–4).
24. Правую вершину гиперболы 4 x 2 – 8 y 2 = 32, A(–1; 3).
25. Фокусы эллипса 5 x 2 + 10 y 2 = 10, A — его нижняя вершина.
Задание 4. Привести уравнения к каноническому виду и построить линии, определяемые этими уравнениями:
1. 5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 – 32 x – 56 y + 80 = 0
2. 5 x 2 + 12 xy – 22 x – 12 y – 19 = 0
3. 48 x 2 + 64 xy + 32 x – 16 y + 5 = 0
4. 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 – 16 x – 16 y + 16 = 0
5. x 2 + 2 xy + y 2 – 8 x + 4 = 0
6. 5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 20 x + 20 y – 18 = 0
7. 8 x 2 – 4 xy + 5 y 2 + 4 x – 10 y – 31 = 0
8. x 2 – 8 xy + 7 y 2 + 6 x – 6 y = 0
9. 3 x 2 + 10 xy + 3 y 2 – 2 x – 14 y –13 = 0
10. 25 x 2 – 14 xy + 25 y 2 + 64 x –64 y –224 = 0
11. 11 x 2 – 20 xy – 4 y 2 – 20 x –8 y + 1 = 0
12. x 2 – 2 xy + y 2 – 10 x – 6 y + 25 = 0
13. 8 x 2 – 12 xy + 17 y 2 + 16 x – 12 y + 3 = 0
14. 17 x 2 – 18 xy – 7 y 2 + 34 x – 18 y + 7 = 0
15. 4 x 2 + 24 xy + 11 y 2 + 64 x + 42 y + 51 = 0
16. 8 x 2 + 4 xy + 5 y 2 + 16 x + 4 y – 28 = 0
17. 3 x 2 + 4 xy + – 12 x + 16 = 0
18. 13 x 2 + 18 xy + 37 y 2 – 26 x – 18 y + 3 = 0
19. 9 x 2 – 24 xy + 16 y 2 – 20 x + 110 y – 50 = 0
20. x 2 – 2 xy + y 2 – 12 x – 14 = 0
21. x 2 – 2 xy + y 2 + 6 x – 14 y + 29 = 0
22. 13 x 2 + 10 xy + 13 y 2 + 46 x + 62 y + 13 = 0
23. x 2 – 6 xy – 7 y 2 + 10 x – 30 y + 23 = 0
24. 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 – 4 x – 6 y + 1 = 0
25. 9 x 2 + 12 xy + 4 y 2 – 24 x – 16 y + 3 = 0
Элементы высшей алгебры
Перечень вопросов по высшей алгебре
1.Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
2.Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость.
3.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра.
4.Извлечение корней из комплексных чисел.
5.Матрицы. Операции над матрицами (сумма, произведение, умножение на число). Свойства операций.
6.Определители второго и третьего порядков. Свойства.
7.Вычисление определителей. Теорема Лапласа. Миноры и алгебраические дополнения.
8.Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы.
9.Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса.
10. Однородные системы и методы их решения.
Задание 5. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| |
24. 
| 25. 
|
Задание 6
1. Найти 2А + 3В, если
A = 
и B = 
2. Найти 3А – 7В, если
A = 
и B = 
3. Вычислить A + AT, если
A = 
4. Вычислить A + B – C, если
A = 
, B = 
и C = 
5. Вычислить 2A – BT, если
A = 
и B = 
6. Вычислить A +2 B – 3C, если
A = 
, B= 
и C = 
7. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию 2A + +X = B, если
A = 
и B = 
8. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию 2X + + A = 2B, если
A = 
и B= 
В заданиях 9 —16 найти произведение матриц
9.  
| 10.  
|
11. 
| 12.  
|
13. 
| 14.   
|
15.  
| 16.   
|
17. Найти AB – BA, если
A = 
, B = 
18. Найти AB – BA, если
A = 
, B = 
19. Найти AB – BA, если
A = 
, B = 
20. Найти AB + 3A, если
A = 
, B = 
21. Найти AB – 2B, если
A = , B = 
22. Вычислить AAT и ATA, если
A =
23. Вычислить AAT и ATA, если
A = 
24. Найти f(A), где f(x) = 3x2 – 4x, A = 
25. Найти f(A), где f(x) = x2 + 2x, A =
Задание 7. Вычислить определители третьего порядка:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| |
24. 
| 25. 
|
Задание 8. Вычислить определители четвертого порядка:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20.
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| |
24. 
| 25. 
|
Задание 9. Решить системы уравнений, используя формулы Крамера:
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
|
Задание 10. Решить системы с помощью метода Гаусса:
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
|
Аналитическая геометрия
В пространстве