Угол между прямой и плоскостью




Содержание

1. Введение

2. Нахождение углов через скалярное произведение

❖ Угол между векторами

❖ Угол между вектором и прямой

❖ Угол между прямой и плоскостью

❖ Угол между плоскостями

3. Задачи с разбором

4. Задачи для самостоятельного решение

 

Введение

Основные понятия

Для решения задач на нахождение углов введём основные понятия.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые, с выбранными на них направлениями, называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат соответственно.

Пример:

На рисунке изображены шесть точек с координатами:

А (9; 5; 10) С (9; 0; 0) Е (0; 3; 0)   В (4; -3; 6) D (4; 0; 5) F (0; 0; -3)

Далее рассмотрим векторы. Любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде , где , единичные векторы, а коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

 

Коэффициенты х, у и z в разложении вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

Дан вектор . Длина вектора (| |) находится как корень из суммы квадратов его координат:

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов. Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

 

Нахождение углов через скалярное произведение

Угол между векторами

Произведение векторов и можно найти, сложив соответствующие произведения координат этих векторов:

По определению скалярное произведение векторов выражается формулой

, где -угол между векторами.

Отсюда угол между векторами равен:


Пример:

Найти угол между векторами и

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

= 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

Найдем угол между векторами:

Ответ:

Угол между прямыми

Для вычисления угла между двумя прямыми также используется скалярное произведение. Введём понятие направляющего вектора прямой. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой l, если он лежит либо на прямой l, либо на прямой, параллельной l.

Пусть и направляющие векторы прямых a и b. Обозначим буквой искомый угол между этими прямыми. Для решения задачи достаточно найти , так как значение позволяет найти угол α.

Введём обозначение: Ѳ угол между данными векторами, тогда (если ), либо α=180°- (если Ѳ >90°).

Поэтому либо , либо . В любом случае , а так как α ≤90°, то , и, следовательно, . Используя формулу нахождения угла между векторами, получаем:

Пример:

Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:

и

По формуле угла между прямыми находим

;

 

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью

Уравнение плоскости имеет вид:

В этом уравнении плоскости коэффициенты a, b и c - координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

Вектор направляющий вектор прямой l. Синус угла β между прямой l и плоскостью α равен косинусу угла γ между нормалью

() к плоскости и направляющим вектором прямой (, поскольку

β + γ=90°, то или то есть

То есть синус угла β между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты и плоскостью, заданной уравнением

вычисляется по формуле:

 

 

Угол между плоскостями

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости и вектора нормали плоскости , можно использовать следующую формулу:

Пусть наши плоскости и заданы уравнениями:

Косинус угла α между плоскостями находится по такой формуле:

В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшегодвугранного угла. То есть, косинусом угла между плоскостями является косинус угла между нормалями этих плоскостей.

Пример:

Найти угол между плоскостями и

Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

 

Ответ:

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: