Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:
– значок интеграла.
– подынтегральная функция, 
– значок дифференциала.
– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.
– первообразная функция.
– множество первообразных функций. В любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа 
.
Решить интеграл – это значит найти определенную функцию
, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Еще раз посмотрим на запись:
Решить неопределенный интеграл
– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Возьмем, например, табличный интеграл 
. Что произошло? 
превратился в функцию 
.
Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:
Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.
Вернемся к тому же табличному интегралу .
Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:
– исходная подынтегральная функция.
Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.
Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере 
, 
, 
, 
и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: 
Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.
Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:
– константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
– интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.
Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Удобнее переписать его на бумагу.
(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:
(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом 
– это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде
. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, 
– это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде 
совершенно не нужны. Аналогично: 
– тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде 
. Внимательно изучите таблицу!
(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: 
, 
и 
.
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции 
, она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл – частный случай этой же формулы: 
.
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.
Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.
Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:
Не стоит пугаться понятия дифференциал. Дифференциал – это почти то же самое, что и производная. Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок 
убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :
Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.
Дифференциал раскрывается следующим образом:
1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .
Например: 
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного 
, 
.
А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?
(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы 
, избавляясь от степени.
(2) Вносим 
в скобку, избавляясь от произведения.
(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).
(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .
(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь 
– она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе 
! Не нужно представлять ее в виде 
!
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: 
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?
Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения 
Пример 6: Решение:
| Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. | ||||||||||||||||||||||
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
· 
· 
· 
· 
Таблица интегралов
В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).
| ||||||||||||||||||||||
| Пример 1 | ||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
| ||||||||||||||||||||||
| Пример 2 | ||||||||||||||||||||||
Вычислить интеграл  .
| ||||||||||||||||||||||
| Пример 3 | ||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
Решение.
Используем табличный интеграл  . Тогда
| ||||||||||||||||||||||
| Пример 4 | ||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
Решение.
Воспользовавшись табличным интегралом  , находим
| ||||||||||||||||||||||
| Пример 5 | ||||||||||||||||||||||
Вычислить  .
Решение.
Поскольку  , интеграл равен
| ||||||||||||||||||||||
| Пример 6 | ||||||||||||||||||||||
Вычислить интеграл  без использования замены переменной.
Решение.
Используя формулу двойного угла sin 2 x = 2 sin x cos x и тождество sin2 x + cos2 x = 1, получаем
|
.
Решение.
Сделаем замену 
. Тогда 
. Следовательно, интеграл принимает вид
.
Решение.
Применяем подстановку 
. Тогда 
или 
. С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:
.
Решение.
Перепишем интеграл в виде
Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл
.
Решение.
Запишем интеграл как
Используя замену
получаем ответ
.
Решение.
Сделаем следующую подстановку:
Следовательно,
