Пусть объект описывается уравнением 
(5.1) и критерий опртимальности имеет вид 
(5.2)
Тебуется найти управление с обратной связью, при котором при произвольном начальном условии x(t0)=x0 критерий оптимальности принимает минимальное значение. Слагаемое
(5.3)
является интегральной квадратической ошибкой и характеризует какачество управления на всем интервале [to,tf]. Последнее слагаемое
(5.4)
есть взвешенная «энергия» управления, и оно ограничивает управление. Требуемое ограничение на управление, которое в явной форме не учтено в постановке задачи, может быть обеспеченосоответствующим выбором матричной функции R(t).
Оптимальное управление имеет вид
(5.5)
где симметрическая матрица К определяется из уравнения Риккати:
(5.6)
Произведя расчеты получим коэффициенты оптимального регулятора при управлении u0
|
|
|
|
И при управлении u1
|
|
|
|
Результаты моделирования замкнутой системы.
Объект с замкнутой обратной связью имеет следующую матрицу состояния:
(6.1)
Действительная часть характеристических корней отрицательна, объект устойчив.
(6.2)
Весовая функция высоты 
рисунок 6.1 а) и угла дифферента 
рисунок 5.1 б) для управляющего воздействия 
:
Рисунок 6.1 Весовая функция а) высоты б) угла дифферента.
Результаты моделирования при воздействии неучтенных возмущений.
Введем регулярное возмущение соответствующее 3х бальному волнению Нv рисунок 7.1, которое является максимально большим волнением для нормальной эксплуатации судна. При 3х бальном волнении перегрузка ny не превышает 0,8g, а высота подъема крыльев dH 0,9м рисунок 7.2.
Рисунок 7.1 Поведение фазовых координат при 3х бальной волне (Hv).
Рисунок 7.2 Подъем крыльев и перегрузка при волнении.
Спектр волнения будет иметь вид рисунок 7.3 а) кажущийся б) истинный:
Рисунок 7.3 спектр волнения а) кажущийся б) истинный.
Дифференциальные уравнения замкнутой системы при воздействии волны имеют вид
x1=A1zam*x+B*z+Bw*hw.(7.1)
Здесь hw будет возмущением в виде случайной волны.
Спектральная плотность угла дифферента на выходе имеет вид рисунок 7.4:
Рисунок 7.5 Спектральная плотность угла дифферента
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение будут составлять:
(7.2)(7.3)
Так как случайные колебания волны суммируются и сглаживаются инерционной
массой корабля, то параметры движения объекта можно приближенно описать
гaуссовым случайным процессом. Для гауссовых (нормальных) процессов диапазон +-3СКО охватывает около 99% наблюдений за случайной величиной.
Гарантировано угол будет лежать в диапазоне колебаний +-16 град от номинального значения(P<0.998).
Спектральная плотность высоты на выходе имеет вид рисунок 7.4:
Рисунок 7.5 Спектральная плотность высоты
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение будут составлять:
(7.4)(7.5)
Высота центра тяжести над уровнем моря будет гарантированно лежать в диапозоне 0,3+-0,06 метра от номинального значения.
Выводы
Решение поставленной задачи удалось выполнить. Программа расчета приложена к записке на электронном носителе.
Система исследована до введения обратной связи, затем после введения, рассчитанного нами регулятора. Полученные переходные процессы с оптимальным линейным регулятором носят длительный колебательный характер - для улучшения динамики замкнутой системы необходимо дополнительное исследование по подбору весовых коэффициентов в целевом интегральном квадратичном критерии. Исследована реакция системы с обратной связью на волновые возмущения, определена максимальная эксплуатационная бальность волнения на глубокой воде, составляющая 3 балла.