V. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства




 

где равносильно .

где равносильно или .

x
a
a+ε
a-ε
x
0
εx

 


Свойства:

1) 2)

3) 4) где

 

Переменная величина. Упорядоченная переменная

 

def. Переменной называется величина, которая принимает различные численные значения.

Частный случай – постоянная величина, значение которой не меняется.

Переменные величины обозначают: x, y, z, а постоянные: a, b, c.

def. Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной.

def. Окрестностью данной точки x0 называется произвольный интервал (a,b), содержащий эту точку внутри себя.

Обычно рассматривается такая окрестность точки, для которой x0 является серединой.

x
x0
x0
x0
ε
ε
окрестность точки x0;

центр окрестности;

радиус окрестности.

 

def. Переменная x является упорядоченной переменной величиной, если известна область изменения этой переменной величины и про каждое из двух любых ее значений можно сказать, какое значение предыдущее, а какое последующее.

Важный частный случай упорядоченной переменной является величина, значение которой образуют числовую последовательность.

def. Если каждому натуральному числу 1,2, 3, …, n, … поставить в соответствие некоторое действительное число, то получится числовая последовательность члены которого занумерованы натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров. Последовательность обозначают или , или .

Пример 2.1.

 

1)    

x
6x
x1
x2
x3
4
2

2)

x
2x
x3
x2
x1
1\4
x4
0

 

 

3)

 

x
-1
x2,x4,..
1\4
x1,x3,…
0

 

 


x
4\4
x1,x2,x3,…

4)  

Предел упорядоченной переменной величины

I. Определение предела

Рассмотрим упорядоченную переменную, значения которой образуют числовую последовательность

Пример3.1.

x
2 \4
x3
1 \4
2\4
x1
x2
2\4

Значения переменной приближаются к 1, сгущаются около 1 (но никогда не примет значение, равное 1).

def. Число а называется пределом переменной (пределом числовой последовательности), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N, зависящий от , что для всех значений , у которых n>N, будет выполняться неравенство

Обозначают: или при

Определение предела на языке символов:

 

II. Геометрический смысл предела (числовой последовательности)

 

x
ax
a-ε
Конечное число
a+ε
Конечное число
Бесконечное число
ε- окрестность т. а
Неравенство равносильно , где n>N.

 

окрестности точки а;

окрестности точки а.

Какое бы мы не взяли внутри окрестности точки а существует бесконечно много значений переменной , которые сгущаются около точки а.

 

III. Следствия из определения предела

  1. Единственность предела

Теорема. Если переменная имеет предел, то он единственный

 

  1. Предельный переход в неравенствах

Теорема. Пусть ,

1) Если то

2) Если то

(переход к пределу в неравенствах () не нарушает знака неравенства);

3) Если , то ()

(из строго неравенства не вытекает строго неравенства).

 

  1. Предел постоянной

Теорема. Предел постоянной есть сама постоянная.

x
1 \4
x1, x3
-1
x2,x4,
(с=const), тогда .

Замечание. Перемененная может не иметь предела: .

Ограниченная переменная

def. Переменная называется ограниченной, если все ее значения по абсолютной величине не превосходят некоторого положительного числа М, т.е. для .

Теорема. Если переменная имеет конечный предел, то она ограниченная.

Замечание. Обратная теорема не верна.

Например, - ограниченная, т.к. но предела не имеет.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: