Кафедра общей и технической физики
Отчет по лабораторной работе № 7
По дисциплине: Физика
________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
____ Тема:Исследование электропроводности и теплопроводимости металлов _
Автор: студент гр. ТПР-10 _________________ / Юдин Е,К, /
(подпись) (Ф.И.О.)
Оценка: ____________
Дата: _________________
Проверил
Руководитель работы: _ ассистент ______________ /Левин К.Л./
должность подпись Ф.И.О.
Санкт-Петербург
Цель работы – экспериментальное определение удельного сопротивления металлов.
Общие теоретические сведения
В металле атомы расположены близко друг от друга, потенциальные барьеры между соседними атомами снижены, электроны получают возможность туннелировать через эти барьеры, т.е. перемещаться от атома к атому, теряя свою принадлежность тому или иному атому. Поэтому металл можно представить как коллектив электронов и коллектив атомных остовов.
Такое перемещение электронов сложно описать, однако, учитывая, что в идеальной кристаллической решетке электроны практически не испытывают рассеяния при движении, можно сделать упрощение - считать электроны газом свободных частиц, имеющими эффективную массу m*. Электроны имеют спин 1/2 и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Поэтому каждое разрешенное энергетическое состояние может быть занято только двумя электронами в соответствии с принципом Паули. Следствием этого является распределение частиц по энергиям, которое в случае металлов приводит к отсутствию запрещенной зоны или к неполному заполнению разрешенной зоны. Уровень Ферми располагается внутри зоны. При Т=0 К все уровни ниже уровня Ферми заняты, а уровни выше уровня Ферми свободны. При T>0 K кристалл получает энергию порядка kT, за счет этого возбуждения некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми EF, начинают заполнять состояния с более высокой энергией. Концентрация <nэл>свободных электронов в металле слабо зависит от температуры, так как положение уровня Ферми практически не зависит от температуры. Она равна:
Электронный газ в металлах является вырожденным, т.е. подчиняется статистике Ферми-Дирака, вплоть до температур ~104 К. Вследствие этого в процессах переноса могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая их часть, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Соответственно и скорости движения электронов мало отличаются от скорости, соответствующей энергии Ферми vF.
Атомные остовы, образующие правильную кристаллическую решетку, совершают колебательные движения вблизи положений равновесия. В трехмерной кристаллической решетке возможны многие виды колебаний с различными частотами. Согласованные движения большого коллектива атомов также как и в случае электронов удобно описывать, вводя квазичастицы. Каждому колебанию сопоставляют квазичастицу – фонон. Возникновение колебаний эквивалентно «рождению» фонона, а прекращение колебаний – «уничтожению» фонона. Колебания решетки распространяются со скоростью звука, поэтому vфон = vзв. Существует максимальная частота колебаний кристаллической решетки ωD, которая носит название частоты Дебая. Ей можно сопоставить температуру Дебая Θ: 
, где k – постоянная Больцмана. Для меди ΘCu = 335 К, а для алюминия ΘAl = 419 К.
Фононы имеют целый спин и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, поэтому средняя концентрация фононов с энергией ħω при температуре Т равна
.
При kТ>>ħω знаменатель упрощается 
и средняя концентрация фононов пропорциональна температуре: ~<n> ~ T. При Т>Θ практически все фононы рождаются с максимальной энергией ħωD.
Электропроводность
В отсутствии внешнего электрического поля электроны участвуют в тепловом хаотическом движении со средней тепловой скоростью <u>, при этом все направления равноправны. Так как в металлах разрешенная зона заполнена не полностью, то даже слабое электрическое поле способно вызвать переход электронов на вышележащие свободные уровни. Переходы в нижележащие уровни невозможны, так как эти состояния заняты. Это приводит к тому, что электроны приобретают преимущественное направление скорости против внешнего электрического поля. Однако ускоряться могут не все электроны, а лишь небольшая часть электронов, имеющих энергии близкие к энергии Ферми (EF ± kT). Поэтому можно считать, что все свободные электроны в металле имеют скорость, соответствующую энергии Ферми vэл = vF. Под действием приложенного электрического поля напряженностью E электрон с эффективной массой m* и зарядом e за время между соударениями τ приобретает средний импульс p и среднюю дрейфовую скорость vдр:
Отсюда vдр = eEτ/m*. Время свободного пробега τ можно определить через длину свободного пробега ℓэл электрона τ=ℓэл/vF.
Плотность электрического тока при концентрации электронов n равна
Коэффициент пропорциональности σ между j и E представляет собой удельную электропроводность. Удельное сопротивление металла есть обратная величина
.
Как видно оно зависит от импульса Ферми pF, концентрации электронов n и длины их свободного пробега ℓэл. При изменении температуры энергия Ферми в металлах изменяется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь. Соответственно остаются неизменными vF и pF. Концентрация свободных электронов n также изменяется очень незначительно. Поэтому электропроводность определяется в основном средней длиной свободного пробега.
Квантовые представления приводят к следующему выражению для удельной электропроводности металла
(1)
где r – удельное сопротивление, e - элементарный заряд, n – концентрация электронов, ℓэл – средняя длина свободного пробега электрона, h – постоянная Планка.
Если считать, что каждый атом в металле поставляет один свободный электрон, то концентрация свободных электронов равна концентрации атомов и может быть рассчитана по формуле
, (2)
где d – плотность металла; А – атомная масса; N0– число Авогадро.
В электропроводности под длиной свободного пробега понимается длина, на которой электрон полностью теряет свою скорость направленного движения, обусловленную приложенным электрическим полем. Это означает, что импульс электрона (приблизительно равный pF) должен измениться до нуля, т.е. изменение практически равно самому импульсу. Поэтому основное влияние на длину свободного пробега будут оказывать взаимодействия с препятствиями, способными обеспечить такое изменение импульса электрона.
1. Рассеяние
При T>Θ, учитывая зависимости ℓэл и n от температуры в этом диапазоне температур, для удельного сопротивления металла, обусловленного рассеянием на фононах, получим линейную зависимость ρф от температуры:
.
Импульс фононов при этом достаточно велик, чтобы обеспечить изменение импульса электрона от pF до нуля: ∆pэл ≈ pэл ≈ pф = kΘ/vзв.
При T<Θ эта зависимость нарушается. При понижении температуры рождается все меньше фононов, их энергии становятся все меньше. Импульс фонона мал и его недостаточно для остановки электрона, т.к. изменение импульса электрона не может превышать импульс фонона. Нужны многократные столкновения с фононами, прежде чем импульс электрона сможет заметно измениться. Кроме того, уменьшаются амплитуды колебаний атомов, а соответственно и эффективное сечение рассеяния. Теоретический расчет показывает в этой области степенную зависимость удельного сопротивления от температуры: ρф ~ T5. Экспериментальные значения показателя степени лежат в пределах от 4 до 6. Температурный интервал, в котором наблюдается такая зависимость, обычно очень небольшой.
Сопротивление, обусловленное рассеянием на дефектах, ρост не зависит от температуры и называется остаточным сопротивлением.
2. Электропроводность в широком диапазоне температур
Для металлов справедливо правило Матиссена: полное сопротивление металлов суть сумма сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки (фононах), и остаточного сопротивления, обусловленного рассеянием на статических дефектах структуры ρ = ρф + ρост. Исключение из этого правила составляют сверхпроводящие металлы, в которых остаточное сопротивление равно нулю и полное сопротивление исчезает ниже некоторой критической температуры.
Рис. 1. Зависимость удельного сопротивления металла от температуры.
В зависимости удельного сопротивления металла от температуры в широком диапазоне температур (рис. 1) можно выделить несколько характерных участков:
I – наблюдается сверхпроводимость у чистых металлов и остаточное сопротивление у металлов с дефектами;
II – переходная область с сильной степенной зависимостью ρ ~ Tm, где показатель степени убывает от m=5 до m=1 при T=Θ;
III – линейный участок, у большинства металлов простирается до температур, порядка ⅔Θ, т.е от комнатных до близких к точке плавления;
IV – вблизи точки плавления начинается отклонение от линейной зависимости, вызванное ангармоничностью колебаний кристаллической решетки.
В области линейной зависимости удельного сопротивления от температуры справедливо выражение ρ = ρ0[1+α(T-T0)], где Т0 – начальная температура, ρ0 – удельное сопротивление при Т0, α – температурный коэффициент удельного сопротивления, показывающий насколько изменяется удельное сопротивление при изменении температуры на один Кельвин.
Схема установки
Рис. 2.