Ответы на лабораторную работу №3
Определение нормы вектора в общем случае.
Пусть имеется n - мерное пространство вещественных чисел 
. Если для любого вектора 
существует число 
такое, что:
1) 
, причем 
;
2) 
, где aÎ R;
3) 
, ‑ неравенство треугольника;
то 
называется нормой вектора X.
Определение m - нормы вектора.
max -норма, или m - норма:
Определение m - нормы матрицы.
max -норма, или m - норма:
Определение l - нормы вектора.
l -норма:
Определение l - нормы матрицы.
. l -норма:
Определение e - нормы вектора.
Евклидова норма:
Определение e - нормы матрицы.
Евклидова норма:
Вычисление норм векторов и матриц в MATLAB.
1. max -норма, или m - норма:
nm = norm(A, inf);
2. l -норма:
nl = norm(A,1);
3. Евклидова норма:
ne = norm(A) = norm(A, 2).
Условие сходимости метода простых итераций.
Для системы
 |
метод итераций сходится, если выполнены неравенства
, 
Условие окончания итерационного процесса для метода простых итераций.
Критерий окончания итерационного процесса: 
.
Здесь e - заданная точность вычислений. В качестве решения берется величина Xn.
11. Первый способ приведения уравнения AX=B к виду, пригодному для решения методом простых итераций.
Предполагая, что 
разрешим первое уравнение системы AX = B
где
;; 
.относительно 
, второе – относительно 
,, n ‑-ое уравнение – относительно 
. В результате получим
где 
; 
при 
.
Система 
. (9) Здесь 
; 
.в матричной форме имеет вид (9).
12. Второй способ приведения уравнения AX=B к виду, пригодному для решения методом простых итераций.
Во втором способе любую невырожденную систему уравнений AX = B всегда можно заменить эквивалентной системой так, что условие сходимости будет выполняться.
Для этого умножим уравнение AX = B на матрицу D = А –1 – D, где D – матрица с малыми по модулю элементами. Последовательно получим:
; 
; 
.
Обозначим
; 
.В результате получим систему вида 
.
Очевидно, что если элементы матрицы D выбрать достаточно малыми по модулю, то можно обеспечить выполнение условия 
.
Т.е. для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия
или 
.
Правое деление матриц.
| X = A \ B | - правое деление, для систем AX = B; |
Левое деление матриц.
| X = B/A | - левое деление, для систем XA = B. Очевидно, что в этом случае X и B есть не векторы столбцы, а векторы строки. |
Как обратить матрицу.
Обращение матриц – одна из наиболее распространенных задач.
Эту процедуру выполняет функция inv (A), которая вычисляет элементы обратной матрицы для исходной квадратной матрицы A. Выдается предупреждающее сообщение, если матрица х близка к вырожденной.
Также обратную матрицу можно вычислить с помощью оператора A^-1, что означает A -1.
Решение системы линейных алгебраических уравнений матричными средствами MATLAB.
Использованием обратной матрицы.
Из AX = B следует, что X = A -1 B. Данное выражение непосредственно вычисляется в MATLAB
Решение системы уравнений методом Гаусса.
Метод исключения Гаусса является одним из наиболее простых и эффективных методов. Алгоритм метода Гаусса основан на приведении матрицы А к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невыраженными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.
Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n £ 100 - 200) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем.
Операторы цикла MATLAB.
В MATLAB существует 3 типа операторов цикла. С оператором: (двоеточие) мы познакомились лаб. раб. 2. Следующий оператор for … end используется для организации цикла с фиксированным числом повторений. Он имеет вид:
| for var = Выражение Операторы end; |
Здесь var – счетчик цикла – любая переменная, обычно это i, j, k, l, m и т. д.
Выражение записывается в виде s: d: e, где s – начальное значение счетчика цикла var, d – шаг изменения и е – конечное значение var. Возможна и запись в виде s: e,тогда d = 1.
Список операторов завершается ключевым словом end.
Оператор continue передает управление в следующую итерацию цикла, пропуская операции, которые записаны за ним.
Оператор break используется для досрочного прерывания цикла.
Возможны вложенные циклы
for i = 1: 3
for j = 1: 3
a (i, j) = i * j;
end;
end;
В результате выполнения этого цикла формируется матрица а
Циклы типа while … end выполняются до тех пор, пока выполняется заданное условие. Оператор записывается в виде:
| while Логическое условие Операторы end; |