Подготовительный этап (6 мин)
· Приветствие
· Проверка понимания материала, изученного на предыдущем уроке
· Подведение к новой теме, её формулировка
· Мотивация учебной деятельности
Ориентировочный этап (2 мин)
· Постановка целей и задач урока
· Выявление способов действий по достижению цели
Исполнительный этап(29-30 мин)
· Формирование новых понятий и способов действий
· Применение знаний и умений в знакомой ситуации
Гимнастика для глаз(1 мин)
Контрольно-оценочный этап(5- 6 мин)
· Подведение итогов занятия
· Рефлексия
· Постановка комментированного домашнего задания
Оформление доски (информация появляется по ходу урока)
| Классная работа дата Арифметическая прогрессия |
| Д ̸ з. п.3.2 № 3.14-3.18(2,4). |
Ход урока
| № этапа урока | Название этапа урока | Действия учителя | Действия учащихся |
| Подготовительный | Приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку: наличие учебных принадлежностей, их внешний вид (тетради с домашней работой собраны учителем до начала урока); указывает направление деятельности; проверяет понимание учащимися материала, изученного на предыдущем уроке, подводит к теме урока, организует мотивацию их учебной деятельности | Приветствует учителя, демонстрируют готовность к уроку; отвечают на вопросы учителя по материалу, изученному на предыдущем уроке, узнают тему текущего урока, осознают потребность в овладении новыми знаниями и умениями, настраиваются на изучение новой темы |
У. Добрый день, садитесь. Откройте тетради, запишите число, «Классная работа».
У. Сегодня на уроке мы изучим новую тему, но перед этим проверим, как вами понят материал предыдущего занятия. Какую тему мы изучали?
О: «Числовая последовательность».
У. В каком случае говорят, что задана числовая последовательность?
О. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n ставится в соответствие определенное действительное число an. Тогда говорят, что задана числовая последовательность (an).
У: Как можно сформулировать определение понятия числовой последовательности?
О: Числовая последовательность – это функция, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие определенное действительное число an.
У: Какими способами можно задать последовательность?
О: Перечислением её первых членов, формулой для вычисления n -го члена, рекуррентной формулой.
У: Приведите пример последовательности, задав её перечислением членов
О: 1,3,7,15,31,63…
У. Как называются числа a 1, a 2,…, a n…?
О. Эти числа называются членами последовательности (an).
У: Какая формула называется рекуррентной?
О. Формула, выражающая каждый член последовательности, начиная с k -го члена, через один или несколько предыдущих. При этом первые k -1 членов последовательности просто указываются.
У. Приведите примеры последовательностей, заданных рекуррентной формулой an = 2 an– 1 – 3.
О. 5, 7, 11, 19, 35…
О. 1, -1, -5, -13, -29, -61…
У: Рассмотрите последовательности, записанные на доске, назовите для каждой из них рекуррентную формулу
1) 4, 8, 12, 16, 20, …
2) 9, 6, 3, 0, -3, -6, …
3) 5, 5, 5, 5, 5, …
О: Первая последовательность задана рекуррентной формулой an = an– 1 + 4.
О: an = an– 1 ˗ 3 – рекуррентная формула для 2-й последовательности, an = an– 1 + 0 – рекуррентная формула для последней последовательности, т.к все её члены равны 5.
У: Что общего между этими последовательностями?
О: У каждой из них следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.
У: Знаете ли вы, как называются такие последовательности? Какими свойствами они обладают? Где применяются знания об их свойствах?
О: Ещё, нет, (но возможно к свойствам относится то, что каждый следующий член последовательности получается путем прибавления числа 4, если рассматривать первый случай). (Возможный ответ)
У: Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями, изучению их свойств посвящён сегодняшний урок.
| № этапа урока | Название этапа урока | Действия учителя | Действия учащихся |
| Ориентировочный этап | Сообщает тему урока, помогает учащимся сформулировать цели урока, ориентирует в способах достижения этих целей. | Записывают в тетрадь тему урока, формулируют цели урока, узнают о способах достижения этих целей |
У. Запишите тему сегодняшнего урока «Арифметическая прогрессия ».
У. Что вы должны узнать об этой прогрессии?
О: Её определение, формулы, задающие эту последовательность, её основные свойства, информацию о том, где они применяются.
У: Чему научиться?
О: Применять свойства арифметической прогрессии для решения задач.
У: Сегодня на уроке мы изучим лишь часть темы: проанализировав примеры арифметических прогрессий, вы сформулируете определение понятия арифметической прогрессии, затем, обобщая результаты своих наблюдений, выведете формулу для вычисления её n -го члена и научитесь их применять для решения несложных задач.
| № этапа урока | Название этапа урока | Действия учителя | Действия учащихся |
| Исполнительный этап | Учитель информирует учащихся о том, кто ввел термин прогрессия, о видах прогрессий, начинает составлять «опорный конспект». Помогает сформулировать определение арифметической прогрессии, вводит определение разности арифметической прогрессии. Организует эвристическую беседу, в ходе которой учащиеся выводят формулу n -го члена арифметической прогрессии. Организует работу по формированию умения применять формулу n -го члена арифметической прогрессии в знакомой ситуации. | Учащиеся участвуют в эвристической беседе, составляют вместе с учителем «опорный конспект», формулируют определение арифметической прогрессии; составляя и сравнивая выражения для первых членов арифметической прогрессии, выводят формулу её n -го члена, учатся её применять в знакомой ситуации. |
У: Вернёмся к примерам прогрессий, записанным на доске, какими свойствами обладает каждая из этих прогрессий?
1) 4, 8, 12, 16, 20, …
2) 9, 6, 3, 0, -3, -6, …
3) 5, 5, 5, 5, 5, …
О: У каждой из них следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.
У: Последовательность чисел, каждый следующая из которых находится в некоторой зависимости от предыдущей, общей для всей последовательности, называется прогрессией. Этот термин происходит от латинского слова progression – движение вперед, возрастание. Его ввёл римлянин Боэций в VI в.
Чаще всего термин «прогрессия» употребляется в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия».
Откройте свою «Тетрадь-справочник», запишите в нём тему «Прогрессии», начнём составлять в ней «опорный конспект».
У: Геометрические прогрессии мы будем рассматривать позже, а сейчас, попробуйте сформулировать определение арифметической прогрессии. (Материал о геометрической прогрессии отнимет время, и Вы не успеете изложить основной материал)
О: Арифметической прогрессиейназывается числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
У: А как же первый член? Для него есть предыдущий?
О: Нет.
У: Уточните определение
О: Арифметической прогрессиейназывается числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
У: Прочитайте определение арифметической прогрессии в учебнике.
О: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии.
У: Перечислите существенные признаки арифметической прогрессии:
О: 1) это числовая последовательность; 2) каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом.
У: Разность арифметической прогрессии и обозначается d. Назовите рекуррентную формулу для арифметической прогрессии
О: an+1 = an + d
У. Запишем полученные выводы в «опорный конспект».
| ОПРЕДЕЛЕНИЕ | |
| 1) числовая последовательность 2) каждый член, начиная со второго, равен | |
| предыдущему члену, сложенному с постоянным для этой последовательности числом. | |
| РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА | |
| an+1 = an + d d – разность арифметической прогрессии |
(запись опорного конспекта производится на левом крыле доски)
У: Вернёмся к примерам, записанным на доске. Назовите разность каждой из прогрессий.
1) 4, 8, 12, 16, 20, …
2) 9, 6, 3, 0, -3, -6, …
3) 5, 5, 5, 5, 5, …
О: 4; -3; 0
У: Что можно сказать о характере изменения членов каждой из прогрессий?
О: Каждый следующий член первой прогрессии больше предыдущего, каждый следующий член второй прогрессии меньше предыдущего, члены третьей прогрессии равны.
У: Какой вывод можно сделать?
О: Если в арифметической прогрессии разность положительная, то каждый следующий член первой прогрессии больше предыдущего, если разность отрицательна, то каждый следующий член второй прогрессии меньше предыдущего, если разность равна нулю, то члены третьей прогрессии равны.
У. Прогрессию, у которой разность d >0, называют возрастающей; прогрессию, у которой d <0 – убывающей, а если d =0, то прогрессию называются стационарной. Отразим это в опорном конспекте
| РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА | |||
| an+1 = an + d d – разность арифметической прогрессии | |||
| d >0 – возрастающая прогрессия | d <0 – убывающая прогрессия | d =0 – стационарная прогрессия | |
У: Приведите пример возрастающей прогрессии.
О. 7, 14, 21, 28…
У. Чему равен её 5-й член?
О. a5 = a4+d = 28 + 7 = 35.
У. Верно, 6-й и 7-й член?
О. a6 = 42, a7 = 49.
У. Верно. Найдите 55-й член этой прогрессии.
О. Это возможно, но только займет очень много времени.
У. Как сократить время вычислений?
О: Найти формулу для выражения 55-го члена через первый и разность арифметической прогрессии.
У: Как это сделать?
О: Записать несколько членов прогрессии и подметить закономерность.
(Учитель вызывает одного учащегося к доске)
У. Давайте произведём эти действия для общего случая. Запишите, пользуясь определением арифметической прогрессии формулу для вычисления её 2-го члена.
О. Второй член можно найти по формуле: a 2= a 1+ d.
У. Теперь выразите третий член через первый член и разность а.п.
О. a 3= a 2+ d = a 1+ d + d = a 1+2 d.
У. Теперь a 4 .
О: а 4 = а 3 + d = (а 1 + 2 d) + d = а 1 + 3 d;
а 5 = а 4 + d = (а 1 + 3 d) + d = а 1 + 4 d;
а 6 = а 5 + d = (а 1 + 4 d) + d = а 1 + 5 d.
У. Обобщите полученные результаты для an.
О. an = a 1+(n -1) d
У. Верно. Это и есть формула для вычисления n -ого члена арифметической прогрессии. Запишем её в «опорный конспект».
| РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА | ||||
| an+1 = an + d d – разность арифметической прогрессии | ||||
| d >0 – возрастающая прогрессия | d <0 – убывающая прогрессия | d =0 – стационарная прогрессия | ||
| ФОРМУЛА n -ГО ЧЛЕНА | ||||
| an = a 1+ d (n -1) | ||||
У: Так чему же равен 55-й член предложенной вами арифметической прогрессии?
(Учащиеся на местах выполняют вычисления)
О. a 55= a 1+54× d = 7+ 54×7= 385.
У. Правильно. Таким образом, зная формулу для вычисления n -ого члена арифметической прогрессии можно найти любой член а.п.
Гимнастика для глаз
1) Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть глаза и посмотреть вдаль (считать до 5). Повторить 4–5 раз.
2) Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторить 4–5 раз.
3) В среднем темпе проделать 3–4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1–6. Повторить 1–2 раза.
У: Как вы думаете, где на практике можно применить знание формулы для вычисления n -го члена а.п.??
О.???
У. Решите такую задачу: На лесной делянке брёвна сложены таким образом, как показано на рисунке. В основании лежит 35 брёвен. Сколько брёвен лежит в 18-м ряду?
(Учитель оформляет решение на доске, используя ответы учащихся, показывая тем самым образец решения)
О: А.п., a 1=35, d = –1, a 18–?
an = a 1+ d (n -1), a 18 = a 1+17 d = 35 – 17 = 18 брёвен.
У: Верно. А как можно используя формулу n -го члена а.п. найти, в каком ряду окажется 23 бревна?
О: Поставить в формулу an = a 1+ d (n -1) значения an, a 1 и d и вычислить значение n.
У: Выполните вычисления
(Один из учащихся записывает решение на доске, придерживаясь образца)
О: А.п., an =23, a 1=35, d = –1, n –?
an = a 1+ d (n -1); 23=35+(–1)(n -1); n =13.
У: Какую задачу можно ещё составить?
О: Допустим, что мы не знаем, сколько брёвен лежит в основании, но знаем, что в 11 ряду лежит 5 брёвен, тогда можно сформулировать такую задачу: «В 11-м ряду лежит 5 брёвен. Сколько брёвен лежит в основании?
У: Решите эту задачу.
(Один из учащихся записывает решение за доской, после проверки учителем других решений доска открывается для сверки)
О: А.п., n =11 a 11=5, d = –1, a 1 –?
an = a 1+ d (n -1), 5= a 1+(–1)×10, a 1= 15
У: А можете ли вы вычислить количество всех брёвен, сложенных так, как показано на рисунке, если в основании лежит 35 бревен?
О:???
У: Такие задачи мы научимся решать на следующем уроке. Итак, какие задачи можно решить, используя формулу n -го члена а.п.?
О: 1)Найти an по известным a 1, d и n;
2) Найти номер члена n по его известному значению an, первому члену a 1 и разности d;
3) Найти a 1 по известным, an, d и n;
У: А ещё?
О: Найти d по известным a 1, an и n.
У: Потренируемся решать такие задачи. Но сначала проверим, умеете ли вы распознавать а.п. и записывать первые члены а.п., заданной различными способами.
№ 3.14 (у) (на распознавание) Является ли арифметической прогрессией последовательность?
1) 1,4,7,10,…
О. Да, т.к. 1) это числовая последовательность; 2) каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом три. Это число является разностью данной прогрессии.
3) 9,6,3,0,…
5) 2,1,5,1,0,…
№ 3.15 (У)Назовите первые четыре члена арифметической прогрессии, если:
1) a 1 = 3, d = 1;
3) a 1 = 0, d = -3;
5) a 1 = 34, d = 0,5
№ 3.16 (У)Найдите разность арифметической прогрессии, если:
1) a 3 = 8, a 4 = 6;
3) a 7 = 3 
, a 8 = 4 
.
№ 3.17 (У)Найдите шестой член и разность арифметической прогрессии:
1) 3,7,11,15,…
2) -4,-2,0,2,…
№ 3.18 В арифметической прогрессии с разностью d найдите:
1) a 10, если a 1 = 4, d = 3;
У. Что известно?
О. Первый член арифметической прогрессии и её разность.
У. Что надо найти?
О. Десятый член арифметической прогрессии.
У. Удобно ли, как и в предыдущем номере последовательно вычислять значения a 2, a 3и т.д?
У. Какую формулу можно использовать?
О. Формулу n -го члена арифметической прогрессии.
(Первый пример решается на доске, остальные – самостоятельно в тетради)
3) a20, если a1 = 3, d = 5;
5) a16, если a1 = -1, d = -6
Добавьте номера и на другие базисные задачи
| № этапа урока | Название этапа урока | Действия учителя | Действия учащихся |
| 5 | Контрольно-оценочный этап | Учитель подводит итоги, предлагает учащимся выполнить тест, который позволит им осмыслить результаты своей деятельности, а учителю выявить уровень усвоения материала. Затем комментирует домашнее задание, выставляет учащимся отметки. | Учащиеся выполняют тест, осмысливают результаты своей деятельности, делают выводы о проделанной работе, узнают задание на дом и отметки за урок. |
У. Урок подходит к концу. Какие цели нам требовалось достигнуть?
О. Мы должны были узнать определение арифметической прогрессии, формулу для вычисления её n -го члена и научиться её применять для решения несложных задач. Кроме того, мы должны были узнать, где применяются свойства а.п.
У: Удалось ли за это время достичь цели, которые мы ставили перед собой?
О. Да.
У. Тогда вы сможете выполнить следующий тест:
| № | Вариант 1 | Вариант 2 |
| Дополните определение арифметической прогрессии: «Арифметической прогрессией называется ________________, каждый член которой, начиная со второго, равен ________, сложенному с постоянным для этой последовательности числом.» | Дополните определение арифметической прогрессии: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, ___________, равен предыдущему, ____________ с постоянным для этой последовательности числом.» | |
| Укажите формулу n -го члена арифметической прогрессии. А. an- 1= a 1+ (n-1)d Б. an = a 1+ (n+1)d В. an =a1× (n-1)+d Г. an = a1 + (n-1)d | Укажите рекуррентную формулу арифметической прогрессии.: ___ | |
| Дальше 3 задачи на распознавание и 2 базисных | ||
| Ваши задания не подходят (они сложны для первого урока) | ||
(Учащиеся проверяют по заранее заготовленным ответам работы, поменявшись тетрадями. Учитель наиболее активным учащимся по желанию выставляет отметки) (Этого достаточно для осуществления рефлексии)
У: Откройте дневники, запишите домашнее задание: п.3.2 № 3.14-3.18 (2,4). Оно состоит из номеров, аналогичных тем, которые были решены в классе. Задание на 10: Найти примеры ситуаций из жизни, в которых требуется применение свойств а.п.. Урок окончен. Если остались вопросы, жду на консультацию.
__________________
Остальное лишнее, но полезное
Задание на 9-10 баллов по желанию: на листе формата А4 составить тест по теме «Арифметическая прогрессия» и причем он должен содержать 5 заданий разной степени сложности. На обратной стороне листа с тестом ключ к проверке. (Рано!! Это пригодится перед уроком систематизации знаний Не потеряйте эту идею)
У. В арифметической прогрессии четные члены отсутствуют: 5,.., 13,..,27 Можно ли восстановить утраченные числа? (можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим) Это отличная проблемная задача для следующего урока Не потеряйте её
Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть an - искомый член последовательности. Тогда an-an-1 = an+1-an
2an= an-1+an+1
an= 
Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего. И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией. Это характеристическое свойство арифметической прогрессии запишите его в свои тетради оно понадобиться вам для решения примеров.