| Рис.12.4 |
Этот способ применяется для построения линии пересечения циклической поверхности с поверхностью вращения, если они имеют общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня.
Алгоритм предлагаемого способа рассмотрим на примере построения линии пересечения поверхности конуса вращения и торовой поверхности (рис. 12.4).
Экстремальные точки А,В линии пересечения будут определены как точки пересечения очерковых линий рассматриваемых поверхностей, которые расположены в плоскости симметрии Ф||П2. Проекции точек А,В вначале обозначаем на П2 (А2,В2), а затем на П1(А1,В1).
Для построения случайных точек 1,1¢,2,2¢,3,3¢ проводим проекции фронтально проецирующих плоскостей S,S¢,S¢¢, как показано на рисунке. Поверхность тора будет пересекаться ими по окружностям t, t¢, t¢¢ с центрами, лежащими в месте пересечения плоскостей и осевой окружностью тора (10,20,30). Из отмеченных точек восстанавливаем перпендикуляры, которые пересекут осевую линию конуса в точках 01,02,03. Эти точки и являются центрами сферических поверхностей посредников, проведя которые через проекции окружностей тора t2,t¢2,t¢¢3 на П2, получим проекции окружностей - параллелей на конической поверхности (d2,d¢2,d¢¢2). Соответствующие проекции окружностей тора и конуса пересекутся в точках 12º1¢2, 22º2¢2, 32º3¢2. С помощью построенных параллелей конуса на П1 найдем проекции случайных точек 11,1¢1,21,2¢1,31,3¢1.
Выполнив обводку проекции линии пересечения l(l2) на П2, находим точки видимости С, D с помощью параллели конуса q, диаметр окружности которой равен диаметру образующей окружности тора. С2ÙD2=l2Çq2. С1,D1 расположены на П1 на очерковой линии тора. Эти точки будут разделять видимую и невидимую часть проекции линии пересечения l(l1) на П1.
Вопросы для самопроверки к лекции 12:
1. В чем сущность и порядок решения второй основной позиционной задачи?
2. В каких случаях можно применить способ вспомогательных секущих плоскостей?
3. Когда можно применить способ концентрических и когда способ эксцентрических сфер?
ЛЕКЦИЯ 13
РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Основные понятия и определения
Если абстрактную математическую поверхность представить в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, то некоторые из поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называется развертывающимися, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой.
Построение разверток представляет важную техническую задачу, так как множество изделий различных отраслей промышленности изготавливаются из листового материала путем изгибания. Это - обшивки самолетов и судов, всевозможные резервуары и трубопроводы, техническое оборудование сельскохозяйственного производства, изделия швейной и кожевенной промышленности и т.д.
Одним из основных этапов проектирования таких изделий является построение разверток. С целью упрощения изготовления изделий со всевозможными отверстиями, проемами, окнами и т.п. предварительно с большой точностью выполняют их развертку с тем, чтобы после гибки получить готовые изделия, удовлетворяющие всем исходным требованиям.
Представление поверхности в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки достаточно наглядно, но оно не позволяет исследовать необходимые и достаточные условия развертываемости поверхностей и свойства их разверток. Знания этих условий и свойств необходимо для разработки алгоритмов построения разверток поверхностей и решения соответствующих задач. Поэтому данную поверхность и ее развертку следует рассматривать как точечные множества, между которыми устанавливается взаимнооднозначное соответствие: каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот. На основании этого формулируются следующие свойства:
1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой, следствием чего является: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.
2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.
3. Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке.
4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке.
В дифференциальной геометрии показывается, что к развертывающимся криволинейным поверхностям относятся только поверхности нулевой кривизны. Эти поверхности составляют подмножество линейчатых поверхностей, для которых касательная плоскость, построенная в какой-либо точке поверхности, касается ее во всех точках прямолинейной образующей, проходящей через эту точку. Иными словами, у развертывающихся (линейчатых) поверхностей касательные плоскости, проведенные во всех точках одной образующей, совпадают.
Указанным признаком развертываемости на плоскость обладают лишь три группы линейчатых поверхностей: цилиндрические, конические и торсовые.
Для этих поверхностей строятся приближенные развертки, ибо они в процессе построения развертки заменяются (аппроксимируются) вписанными или описанными многогранниками. Точные развертки аппроксимирующих многогранных поверхностей принимаются за приближенные развертки развертываемых поверхностей.
Хотя все остальные поверхности теоретически не развертываются на плоскость, но инженерная практика тем не менее требует построения их разверток. Для этих поверхностей строятся так называемые условные развертки.