Теорема: Пусть x*, y* - допустимые решения задач (Р) и (D). Необходимым и достаточным условием их оптимальности является одновременное выполнение двух групп условий:
a) yi* = 0, если ∑ aij xj* < bi (i=1, …, m)
b) xj* = 0, если ∑ aij yi* > cj (j=1, …, n).
Иными словами, k-ая переменная одной задачи = 0, если k-ое ограничение другой задачи не активное.
Доказательство (использует только первую теорему двойственности):
Необходимость условий а) и б). Если x*, y* - оптимальны, то из Первой теоремы двойственности имеем: <с,x*> = <ATy*, x*> ≡<Ax*,y *> = <b, y*>,
что дает два равенства: <ATy*-c, x*> =0 и <Ax-b,y*> = 0. Рассмотрим первое.
Так как y* - допустимое решение задачи (D), то ATy* – с ≥ 0. Так как и х* ≥ 0, то все слагаемые в скалярном произведении 
<ATy* – с, x*>=∑ (∑aij yi* - ci)xj*
равны нулю. Значит, либо xj* = 0, либо ∑aij yi* - ci = 0. 
Пункт b) доказан.
Аналогично доказывается необходимость условия a). Рассмотрим второе неравенство: <Ax* - b, y*> = 0. Первый сомножитель в этом скалярном произведении – вектор с неположительными координатами (по условию прямой задачи), y* - неотрицательный вектор, так как y* - допустимое решение двойственной задачи. Всё скалярное произведение = 0. Поэтому должны равняться нулю все входящие в него слагаемые:
[Σ aij xj* - bi] yi* = 0 (i=1,…,m), что равносильно условию a).
Достаточность условий a) и b). Пусть x*, y* - допустимые решения. Пусть выполняются условия a) и b). Используя их, получим:
∑ (∑aij yi* - ci) · xj* = 0 и ∑ (∑aij xj* - bi) · yi* = 0.
Это можно записать в виде <ATy* - c, x*> = 0 и <Ax* - b, y*> = 0
или <ATy*,x*> =< c, x*>, <Ax*,y*> = <b, y*>. Объединяя два последних равенства, имеем:
<c, x*> = <Ax*, y> ≡ <ATy*, x> = <b, y*>, то есть <c, x*> = <b, y*> следовательно, x*, y* - оптимальные решения (по 1-й теореме двойственности).
Замечание. Итак, для оптимальности допустимых решений x* и y* необходимо и достаточно выполнения условий т.н. «дополняющей нежесткости»:
для любого k=1,…,n произведение xk* на левую часть соответствующего k-го неравенства lk(y) ≥ 0 двойственной задачи равно нулю и для любого k=1,…,m произведение yk* на левую часть соответствующего k-го неравенства mk(x)≤ 0 прямой задачи равно нулю.
Вторая теорема дает возможность проверить оптимальность решения прямой задачи, не зная заранее решения двойственной (пример будет дан ниже).
Пример: Проверить оптимальность решения x* = (8, 0) в задаче ЛП
-2x1 + x2 ≤ 2
x1 + 2x2 ≤ 8
x1, x2 ≥ 0
3x1 + 2x2 → max.
Решение: Предположим, что x* = (8, 0) – оптимальное решение. Тогда по первой теореме двойственности должно существовать некоторое оптимальное решение y* двойственной задачи
-2y1 + y2 ≥ 3
y1 + 2y2 ≥ 2
y1, y2 ≥ 0
2y1 + 8y2 → min,
причем по 2-й теореме двойственности x* и y* должны удовлетворять условиям дополняющей нежесткости (УДН).
Подставив x* в ограничения исходной задачи, видим, что неактивным ограничением в точке (8,0) является первое (-16<2). Поэтому по УДН y*1 =0. Поскольку x*1 =8>0, первое ограничение двойственной задачи должно выполняться как строгое равенство. Поэтому нетривиальные ограничения двойственной задачи принимают вид: y2* = 3, 2y2* ≥ 2, откуда получаем вид оптимального решения двойственной задачи: y* = (0,3).
Итак, допустимое решение прямой задачи x* = (8, 0) вкупе с допустимым решением y* = (0,3) двойственной задачи удовлетворяют УДН. Значит, x* = (8, 0) – оптимальное решение.
Проверим (для контроля) условие оптимальности Z(x*)=F(y*):
3*8+2*0=2*0+3*8= 24.