Установление формы связи и
Коэффициентов уравнения регрессии
 = b0+ b1x1 + b2x2 +... + bk xk,
| (1) |
k k _
S D yi2 =S( i -  )2 à min,
i=1 i=1
| (2) |
где S D yi2 - сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений
i=1 от линии регрессии 
;
I - средняя величина, определенная по результатам наблюдений;
- средняя величина (математическое ожидание) измеряемой величины, определенная по кривой регрессии для точки xi (рис.6).
Рис.1. Схема к иллюстрации метода наименьших квадратов
Требование минимального разброса наблюдений yi относительно линии регрессии имеет вид:
n _
f(b0,b1,b2,...,bk)=S( -  - b1x1 - b2x2-...-bk xk) 2 à min.
i=1
| (3) |
В случае парного регрессионного анализа неизвестные значения коэффициентов регрессии вычисляют по формулам
| S yi S xi 2 - S xi S xi yi b0 = ---------------------- n S xi 2 - (S xi) 2 | ü ÷ ÷ | ||
| n S xi yi - S xi S yi b1 = ------------------- n S xi 2 - (S xi)2 | ý ÷ þ | (4) |
S yi b1 S xi
b0 = ----- - -------- = - b1  ,
n n
| (5) |
где - среднее значение результатов наблюдений параметра оптимизации
1
n
 = ---S i ,
n i=1
| (6) | |
1n
 = ---S i .
n i=1
| (7) |
Статистический анализ уравнения регрессии
Определяют дисперсию регрессии
| 1 n
Sp2 = -----S( i - ) 2,
n- l i=1
| (8) |
где 
p2 - дисперсия регрессии;
l - количество определяемых коэффициентов регрессии bi;
y - среднее значение исследуемого параметра (рис.6).
Определяют оценку остаточной дисперсии
1 n
 02 = ---------S( i - )2,
n- g-1 i=1
| (9) |
где g - количество независимых переменных в правой части уравнения регрессии; при парном регрессионном анализе g =1.
Вычисляют дисперсию, характеризующую рассеивание результатов эксперимента относительно общего среднего значения
1 n
y 2 = ----- S( i –  ) 2,
n- 1 i=1
| (10) |
Или
| S y 2 = S p 2 + S 0 2. | (11) |
Оценка точности коэффициентов регрессии
В случае парного регрессионного анализа оценку дисперсий коэффициентов регрессии выполняют с использованием зависимостей
| __ S (b 0) = S 0 / Ö n; | (12) | |
| __ S (b 1) = S 0 / S x Ö n; | (13) | |
| (14) | |
| 1 n
= ---- S xi.
n i=1
| (15) |
Доверительные интервалы вычисляют по формулам:
s 0 s 0
b 0 - ta/ 2, n- 2 --- ---- - <  0 < b 0 + ta/ 2, n- 2 --- ---- - ;
Ö n Ö n
| (16) | |||
| для среднеквадратического отклонения | ||||
| s 0 ^ s 0 b 1 - ta/ 2, n- 2 ------ ---- - < b 1 < b 1 + ta/ 2, n- 2 ------- ---- - , s xÖ n s xÖ n | (17) | |||
где t-a/ 2, n- 2 - значение t-критерия Стьюдента, взятое при уровне значимости a / 2 и числе степеней свободы f = n -2.
Проверка адекватности уравнения регрессии экспериментальным данным
выполняется с использованием F -критерия (критерия Фишера)
| Fcт < Fa,fp,fo, | (18) |
где Fcт – статистическое значение F -критерия
| Fcт = S 1 2 / S 2 2. | (19 |
S 1 2 и S 2 2 – соответственно наибольшее и наименьшее значения из двух дисперсий, вычисленных по (8) и (9)
Fa,fp,fo - критическое значение F -критерия, определенное при уровне значимости a и числе степеней свободы f 0= n- g -1 и f p= n- l.
Значения Fa,fp,fo - критерия табулированы
Корреляционный анализ результатов
Экспериментальных исследований
Выборочное значение коэффициента при корреляции (по статистическим данным) определяют по формуле
| (20) |
Коэффициент корреляции может принимать значение в интервале
| - 1 < rxy < 1. | (21) |
Статистическая оценка значимости коэффициентов модели
Для выяснения вопроса о статистической значимости коэффициента модели Вi при заданном уровне значимости α=0,05 вычисляют величину доверительного интервала разброса коэффициента, и если окажется, что половина доверительного интервала превышает значение коэффициента, то данный коэффициент считается незначимым и его исключают из модели. В противном случае коэффициент считается значимым, т.е.
–к-т незначим
- к-т значим
Пример:
Предположим, что ранее было определено уравнение регрессии в виде
= 65,11-3,5Х1-5,166Х2-1,175Х1 2-0,17Х22 -5,5Х1Х2
Уравнение было построено с использованием матрицы планирования, представленной в табл.1.
Для статистической оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии составляется таблица (табл.2), в которой сравниваются абсолютные значения коэффициентов с величинами доверительных интервалов разброса коэффициентов.
Дисперсия всего эксперимента, как усредненное значение дисперсий по всем строкам, составляет
По таблице Стьюдента для α=0,05 и числа степеней свободы k2= N!-1=18-1=17,находим
t 
(см. таблицу к-тов Стьюдента)
N – число точек матрицы (число строк);
N!- общее число опытов;
Ч – число параллельных опытов.
Таблица 2
Составленная табл.2 показывает, что коэффициенты В11 и В22 статистически незначимы и, следовательно, из математической модели их надо исключить.
С учетом этого математическая модель принимает вид
= 65,11-3,5Х1-5,166Х2-5,5Х1Х2
Таблица16
