Построение графиков функций




Определение 1. Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Рассмотрим график какой-нибудь функции y=f(x), . В интервалах (а; х1) и 2; b) данная функция возрастает, а в интервале 1; х2) – убывает.

Можно сформулировать необходимый признак возрастания (убывания) функции.

Теорема. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Геометрически утверждение теоремы означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы α с положительным направлением оси Ох или, быть может, в отдельных точках, вроде точки М, касательная параллельна оси Ох, значит, f /(x) = =tg α ≥ 0. Аналогично, можно сделать выводы про касательные к графику убывающей функции.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Обратное заключение этой теоремы также справедливо.

Таким образом, возрастание или убывание функции на интервале вполне определяется знаком производной этой функции. В интервале знакопостоянства производной функция является монотонной.

Определение 2. Точка х = а называется точкой максимума (минимума) функции y=f(x), если имеет место неравенство f(а) > f(x) (соответственно, f(а) < f(x)) для любого х из некоторой окрестности точки х = а.

Если х = а – точка максимума (минимума) функции y=f(x), то говорят, что f(x) имеет максимум (минимум) в точке х = а.

Максимум и минимум функции объединяют названием экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).

Не следует считать, что максимум функции является наибольшим значением во всей области определения этой функции; он является наибольшим лишь по сравнению со значениями функции, взятыми в некоторой окрестности точки максимума.

На данном интервале функция может иметь несколько макси­мумов и несколько минимумов, причем некоторые из максимумов могут быть меньше некоторых минимумов.

Из рис. видно, что значение f(x1), представляющее собой максимум функции f(x), не является наибольшим значением этой функции на интервале (а; b) и, более того, f(x1) меньше, чем значение f(x2), являющееся минимумом данной функции.

Аналогично, минимум функции не обязательно является наименьшим значением данной функции.

Определим, при каких условиях функция имеет максимум или минимум.

Теорема. (необходимый признак экстремума).

Если х=а является точкой экстремума функции y=f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f '(a) = 0.

Геометрически необходимый признак экстремума означает, что если х = а — точка экстремума функции у = f(x), то касатель­ная (в том случае, когда она существует) к графику этой функ­ции в точке (а; f (а)) параллельна оси Ох (рис).

Легко убедиться в том, что необходимое условие экстремума функции не является достаточным, т. е. из того факта, что f '(а) = О, вовсе не следует, что функция f (x) имеет экстремум при х = а.

Например, для функции, изображенной на рис., касательная МТ параллельна оси Ох, т.е. f '(а) = О, однако экстремума в этой точке функция не имеет.

Таким образом, обращение первой производной в нуль является необходимым, но не достаточным условием экстремума.

Теорема. (достаточный признак экстремума).

Если производная f /(x) при переходе через а меняет знак, то а является точкой экстремума функции у = f(x).

Смысл этой теоремы наглядно иллюстрирует рис.

Точка а - критическая, так как f'(а) = О. Слева от этой точки, т.е. при х<а, имеем f'(x)>0; касательная к кривой образует с осью Ох острый угол и функция возрастает.

Справа от этой точки, т.е. при х>а, имеем f '(х) <0; касательная к кривой образует с осью Ох тупой угол и функция убывает. При х = а функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. имеет максимум.

Для функции, изображенной на предыдущем рис., при переходе через критическую точку х=а производная не меняет знак и в этой точке нет экстремума.

Схема исследования функции на монотонность и экстремум:

1) найти область определения данной функции;

2) найти производную у' = f'(x);

3) найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует;

4) исследовать знак производной слева и справа от каждой кри­тической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции и интервалах монотонности;

5) найти экстремальные значения функции.

Пример 10.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции . Решение: 1) Находим область определения функции: D(y) . 2) Находим производную функции у = х2 – 4х + 3. 3) Приравниваем производную к нулю: х2 – 4х + 3 = 0. Корни этого уравнения х1 = 1, х2 = 3 – критические точки. 4)
х (-∞; 1)   (1; 3)   (3; ∞)
у/ +   -   +
у возрастает 7/3 Убывает   возрастает
    max   min  

Схематический чертеж данной функции выглядит так:

 

 

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. В этом случае, как известно, она принимает как наибольшее, так и наименьшее значения на этом отрезке. Во многих прикладных вопро­сах бывает важно найти те точки отрезка [а;b], которым отвечают наибольшее и наименьшее значения функции.

При решении этой задачи возможны два случая:

1) либо наибольшее (наименьшее) значение функции достигается внутри отрезка и тогда эти значения окажутся в числа экстремумов функции;

2) либо наибольшее (наименьшее) значение достигается на концах отрезка [а;b].

Итак, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непре­рывной на отрезке [а;b] функции y=f(x), нужно:

1) Найти все критические точки, принадлежащие проме­жутку [а;b], и вычислить значения функции в этих точках.

2) Вычислить значения функции на концах отрезка [а;b], т. е. найти f(а) и f(b).

3) Сравнить полученные результаты; наибольшее из найден­ных значений является наибольшим значением функции на отрезке [а;b]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

 

 

Пример 11.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х5 – 5х4 +5х3 +3 на отрезке [-1; 2]. Решение: 1) Находим область определения функции: D(y) . 2) Находим производную функции у = 5х4 – 20х3 + 15х2. 3) Находим критические точки функции: 4 – 20х3 + 15х2 = 0. 22 – 4х + 3) = 0, х1 = 0, х2= 1, х3 = 3. Критическая точка х3 = 3 не принадлежит заданному отрезку. 4) Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: у (0) = 3, у (1) = 4, у (-1) = - 8, у (2) = - 5. 5) Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение функции у (1) = 4, наименьшее - у (-1) = - 8.

 

График функции y=f(x) называется выпуклым в интервале (a;b), если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной.

 

 

График функции y=f(x) называется вогнутым в интервале (a;b), если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость и наоборот, называются точками перегиба.

Критическими точками 2 рода (точками перегиба) называются точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Если y′′ < 0 в интервале (a;b), то график функции является выпуклым в этом интервале, если y′′ > 0 в интервале (a;b), то график функции является вогнутым в этом интервале.

Пример 12.Определить интервалы выпуклости, а также точки перегиба функции . Решение: 1) Область определения х-2 ≠ 0 (х≠2). 2) Найдем вторую производную данной функции: и .   3) Найдем критические точки 2-го рода: y′′ не существует при х = 2 и y′′ =0 при х = 0. 4) Составим таблицу:
x (-∞;0)   (0;2)   (2;∞)
y′′ -   + не сущ. +
y выпуклый   вогнутый не сущ. вогнутый

Ответ: график функции вогнутый на интервале (0;2) U (2;∞). Точка х = 0 – точка перегиба.

 

 

При построении графиков функций с помощью производных; полезно придерживаться такого плана:

1) Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются;

2) Выясняют, не является ли функция четной или нечетной, проверяют ее на периодичность;

3) Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно;

4) Находят критические точки функции;

5) Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции;

6) Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба;

7) Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек: их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выражение для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов исследования первой производной; если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, и т.п.

Пример 13.Исследовать функцию и построить ее график у = х3 - 12х + 4. Решение: 1) Область определения: D(y) . Функция непрерывна во всей области определения. 2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ - f(x). 3) Если х = 0, то у = 4, т.е. график функции пересекает ось ординат в точке (0; 4). 4) Имеем у/ = 3х2 – 12; у/ = 0 при х1 = -2, х2 = 2 - критические точки функции. 5) Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
х (- ∞; -2) -2 (-2; 2)   (2; ∞)
у/ +   -   +
у возрастает   убывает - 12 возрастает
    max   min  

6) Находим у// = (3х2 – 12) / = 6х, отсюда у // = 0 при х = 0. Это есть критическая точка 2-го рода. Определим знаки второй производной слева и справа от нуля:

х (- ∞; 0)   (0; ∞)
у'' -   +
y выпукла   вогнута
    точка перегиба  

 

7) Строим график:

 

 


Практическая работа

  1. Вычислите производные указанных функций:   А) у = ; Б) у = (х-5) 4 (х+3) 5; В) у = . 2. Найдите производные высших порядков: А) у = х5 - 3х4 + х3 – 5х2 – 1 у″ =? Б) у = 2х3 -3х2 +1 у″′ =? В) у = х3 + 3х2 + 4 у V =? 3. Используя правило Лопиталя, вычислите указанные пределы: А) ; Б) ; В) . 4. Вычислите дифференциалы функций: А) ; Б) ; В) у = х (х+1).  

 


Контрольная работа по теме: "Исследование функций с помощью производных".

Вариант задания соответствует последней цифре в номере зачетной книжки (студенческого билета).

 

1. Найти область определения функции:

 

1. 1 1.2 1.3 1.4 y = ln (x2 -4)
1.5 1.6 1.7 1.8
1.9 y = arcsin (x-2) 1.10    

 

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремум функции:

 

2. 1 2.2 2.3 2.4
2.5 2.6 2.7 2.8 y = x – 2arctg x
2.9 2.10 y = x2 e - x    

 

3. Определить интервалы выпуклости, вогнутости, а также точки перегиба графика функции:

 

3. 1 3.2 3.3 3.4
3.5 3.6 3.7 3.8
3.9 y = (x – 2) e2x 3.10    

 

 

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

 

4. 1 4.2 4.3 4.4
4.5 4.6 4.7 4.8
4.9 4.10    

 

5. Исследовать функцию и построить ее график:

 

5. 1 5.2 5.3 5.4
5.5 5.6 5.7 5.8
5.9 5.10    

 

 


Вопросы к зачету:

1. Как найти мгновенную скорость тела?

2. Как вычислить угловой коэффициент касательной?

3. Дайте определение производной.

4. Как найти производную сложной функции?

5. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

6. В чем заключается механический смысл производной?

7. Что называется производной 5-го порядка?

8. Что называется дифференциалом функции?

9. Повторите определения возрастающей и убывающей функций. В чем заключается признак возрастания и убывания функции?

10. В чем заключаются необходимый и достаточный признаки существования
экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной.

11. В чем различие между нахождением максимума и минимума функция и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений?

12. Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?

13. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.


Литература:

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2004

2. Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика: Учебное пособие. – М.: ИКТЦ "Маркетинг", 2002.

 

 

 

 

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: