КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине “Математические задачи электроэнергетики”
для студентов заочной формы обучения по специальности “Электрические станции”
РАЗДЕЛ 1. Матричная алгебра и теория графов в электроэнергетике
Расчет и анализ функционирования и развития сложных систем энергетики удобнее вести с применением алгебры матриц и теории графов. Для этого схемы замещения электрической системы (в частности электрической сети) представляется в виде графа, а математические выражения, описывающие режим работы и развитие системы, записываются в матричной форме.
Предполагается, что студенты, уже знакомились с матричной алгеброй в курсе «Математика». Необходимо вспомнить основные положения матричной алгебры из [2, с.225 – 237 и 3, с.273 – 279].
Полезно познакомиться с элементами теории графов применительно к электрическим системам, рассмотреть матричное представление схем электрических цепей, изучить примеры формирования матричных уравнений, состояние электрической системы для установившихся режимов нормальной работы [1, с. 31 – 69, и 3, с.280 – 294].
Матричная алгебра
1. Дайте определение матрицы.
2. Какую матрицу называют прямоугольной, квадратной, вектор-строкой, вектор-столбцом, симметричной, неособенной, диагональной, единичной, нулевой, транспонированной?
3. Какие алгебраические операции имеют место в матричной алгебре и как они выполняются?
4. Что такое определитель матрицы, миноры и алгебраические дополнения?
5. Расскажите способ вычисления определителя матрицы разложением по элементам строки или столбца.
6. Дайте определение обратной матрицы.
7. Расскажите алгоритм вычисления обратной матрицы классическим способом.
Теория графов в электроэнергетике
8. Дайте понятие о графе электрической сети. Независимые узлы и контуры.
9. Расскажите правила формирования первой и второй матриц инциденции графа сети.
10. Напишите законы Ома и Кирхгофа в матричной форме.
11. Напишите уравнение состояния электрической сети в матричной форме для методов узловых напряжений и контурных токов.
12. Расскажите правила формирования матриц узловых проводимостей и контурных сопротивлений.
13. Матричный расчет токов в ветвях линейной электрической цепи методом узловых напряжений и контурных токов.
РАЗДЕЛ 2. СИСТЕМЫУРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫИХ РЕШЕНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ
Методы решения систем линейных уравнений
Решение многих задач электроэнергетики сводится к формированию систем уравнений и нахождению их корней. Методы решения систем линейных уравнений(СЛУ) разделяются на точные и итерационные.
Точные методы представляют собой конечные алгоритмы для вычисления корней уравнений. Это методы обратной матрицы, определителей, Гаусса и др. Итерационные методы позволяют получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. К их числу относятся методы простой итерации, Зейделя и др. Эффективность применения итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения к корням и быстроты сходимости процесса.
Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки по сравнению с другими методами. Значение методов позволяет выбирать лучший из них для решения СЛУ в конкретной задаче электроэнергетики.
Особое внимание следует обратить на метод Гаусса, получивший наибольшее распространение для решения СЛУ. Необходимо рассмотреть его недостатки и способы их устранения.
1. Сущность точных и итерационных методов решения СЛУ.
2. Метод обратной матрицы.
3. Метод определителей.
4. Метод Гаусса.
5. Вычисление определителя методом Гаусса.
6. Метод Гаусса без обратного хода.
7. Вычисление определителя методом Гаусса.
8. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
9. Метод простой итерации.
10. Метод Зейделя.
11. Основное условие сходимости итерационного процесса решения СЛУ.
12. Преимущества и недостатки итерационных методов решения СЛУ.
Методы решения систем нелинейных уравнений
Установившиеся режимы электрических систем описываются с большой степенью точности нелинейными уравнениями. Системы нелинейных уравнений (СНУ) решаются только итерационными методами. При изменении напряжений узлов в небольших диапазонах система уравнений установившегося режима носит название слабо нелинейной и для нахождения её корней могут быть применены метод Зейделя и метод простой итерации. В случае, когда нелинейность уравнений высока, применяется более эффективный метод Ньютона, который получил наибольшее применение в электроэнергетике. Необходимо хорошо понять сущность этого метода, основанного на последовательном решении линеаризованных систем уравнений. Предлагается рассмотреть геометрическую интерпретацию метода Ньютона на примере решения одного нелинейного уравнения, изучить алгоритм решения СНУ этим методом.
1. Понятие о нелинейных уравнениях, описывающих режимы электрических систем.
2. Методы простой итерации и Зейделя для решения нелинейных уравнений.
3. Сущность линеаризации нелинейных уравнений.
4. Метод Ньютона как метод касательных для решения нелинейного уравнения.
5. Алгоритм метода Ньютона для решения СНУ.
ЗАДАЧИ
В условии задач указывается литература, которую рекомендуется использовать для изучения методов их решения.
Задача 1. Вычислить определитель квадратной матрицы третьего порядка (табл.1) двумя способами: классическим и разложением по элементам строки или столбца [2].
Задача 2. Обратить классическим способом квадратную матрицу третьего порядка (табл.1) [2].
Задача 3. Для графа сети (табл.2) составить матрицы, входящие в уравнения законов Ома и Кирхгофа [1,3].
Задача 4. Для графа сети (табл.2) составить матрицы, входящие в выражения:
(1)
(2)
для определения токов в ветвях методом узловых напряжений [1,3].
Задача 6. Решить СЛУ третьего порядка (табл.4) методом обратной матрицы [2].
Задача 7. Решить СЛУ третьего порядка (табл.4) методом Гаусса. Вычисления выполнять в матричной форме [2].
Задача 8. Решить СЛУ второго порядка (табл.5) методом простой итерации [2]. Принять начальные приближения 
, 
и точность вычисления корней 
.
Задача 9. Решить СЛУ второго порядка (табл.5) методом Зейделя [2]. Принять начальные приближения , и точность вычисления корней . Сравнить число итераций по методу простой итерации и методу Зейделя.
Задача 10. Решить СНУ второго порядка (табл.6) методом Ньютона. [2]. Принять , и .
Список литературы
1 Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики/Под ред. В.А. Веникова. Т.1 – М.: Высшая школа, 1981. – 334
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.
3. Блок В.М. Электрические сети и системы: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа 1986. – 430 с.
4. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях: Учебное пособие для ВУЗов/ Под ред. В.А. Веникова. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 504 с.
5. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация установившихся режимов электрических сетей и систем. – М.: Энергоатомиздат, 1988.