ФГБОУ ВПО
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
Моделирование реакторов смещения непрерывного действия для многостадийной реакции с линейной кинетикой.
Методические указания к лабораторной работе
Для студентов специальности
220400 - «Управление и информатика» (профиль подготовки- «Управление и информатика в технических системах») и
220700 - «Автоматизация и управление» (профиль подготовки-«Автоматизация технологических процессов и производств
(по отраслям))»
Составители: профессора С.Г. ТИХОМИРОВ
Е.А.ХРОМЫХ
В.С. КУДРЯШОВ
Воронеж
Цель работы: получение практических навыков разработки математической модели технологического объекта на примере моделирования реактора смешения и ее использования для исследования процессов, протекающих в реакторах указанного типа; изучение приближенных методов решения систем линейных уравнений, а также получение навыков реализации и исследование эффективности работы этих методов на ЭВМ.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕАКТОРА СМЕШЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ.
Математическое описание реактора смешения можно получить исходя из уравнений модели идеального смешения, если учесть скорость образования продуктов в реакционной зоне. Если положить, что в процессе химического превращения число молей реагентов не изменяется, то можно записать:
(1)
где V- объем реактора смешения; 
, 
- вектор концентраций продуктов на входе и выходе из реактора соответственно; t - время; 
- скорость подачи продукта в зону реакции; W- скорость образования вещества (продукта).
При наличии теплового эффекта реакции и теплообмена с внешним носителем необходимо использовать соотношение, определяющее изменение температуры в зоне реакции. Уравнение теплового баланса модели идеального смешения представляется в следующем виде:
(2)
где 
- теплоемкость реагирующей смеси; 
- температура реагентов на входе; T - температура реагентов на выходе; 
- температура теплоносителя; Q - тепловой эффект реакции; 
- коэффициент теплопередачи; F - поверхность теплообмена.
Уравнения (1) и (2) представляют собой математическое описание реактора смешения в случае нестационарных режимов. При совместном решении этих уравнений можно получить графики зависимости концентрации реагентов и температуры в реакторе в нестационарных условиях.
Стационарные условия работы реактора смешения характеризуются уравнениями (1) и (2) при 
.
; (3)
(4)
где 
- среднее время пребывания реагентов в аппарате.
Задачей, возникающей при расчете реакторов смешения, является определение концентраций веществ на выходе реактора для заданных концентраций на входе и времени пребывания. В случае линейной кинетики (для реакций первого и псевдопервого порядка) соотношения (3) представляют собой систему линейных уравнений при изотермическом режиме работы реактора (T=const). В результате решения полученной системы уравнений будут получены концентрации реагентов на выходе.
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ.
При построении математических моделей кинетики химических превращений полагаем, что в реакционном объеме исследуемого объекта отсутствуют процессы массопередачи и фазовых превращений, Следовательно, изменение концентраций реагентов и величины потока реакционной смеси являются результатом только химической реакции, а интенсивность источника массы i-го компонента может быть определена как скорость химически реакции по этому реагенту.
Скоростью химической реакции называется изменение (уменьшение или увеличение) числа молей реагентов в результате химического взаимодействия 9 единицу времени на единицу объема для гомогенных реакций или на единицу поверхности (массы) для гетерогенных процессов.
Понятие "скорость образования реагента" удобно для характеристики только простейших химических реакций типа 
. В случае многостадийной химической реакции, в которой наряду с исходными реагентами и продуктами реакции получают некоторые промежуточные вещества, для характеристики состава реакционной смеси необходимо задание концентраций более, чем одного реагента. Это требует включения в состав математического описания реактора уравнений, описывающих изменение концентраций всех реагентов. Последнее не является строго обязательным, так как соответствующие уравнения могут быть записаны только для "ключевых" реагентов, а концентрации остальных могут быть выражены через них простыми соотношениями.. В общем случае для m-стадийной реакции, в которой участвуют n реагентов, задача описания механизма сложной химической реакции определяется как задача выбора k независимых "ключевых" реагентов.
Для многостадийных реакций вместо скорости образования реагента в химической реакции вводится понятие скорости элементарной стадии химической реакции.
Скорость элементарной стадии определяется как скорость образования реагента на данной стадии, отнесенная к его стехиометрическому коэффициенту в химическом превращении на рассматриваемой стадии. Стехиометрическому коэффициенту присваивается знак "+", если реагент образуется на данной стадии и знак "-" в противоположном случае. Тогда скорость образования любого i-го компонента в результате сложной реакции определяется как:
,
где 
- рациональные числа, называемые стехиометрическими коэффициентам; 
- скорость j-той элементарной стадии.
В случае линейной кинетики химической реакции.
+1, если i-тое вещество образуется,
-1, если i-тое вещество расходуется,
0, если i-тое вещество не участвует в ходе
Согласно закону действующих масс скорость реакции пропорциональна исходной концентрации реагирующих веществ. Так, для реакции с линейной кинетикой 
будем иметь:
; 
,
где 
- коэффициент пропорциональности или константа скорости реакции, 
, 
- концентрация вещества A в зоне реакции.
1.2. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕАКТОРА СМЕШЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ СЛОЖНОЙ РЕАКЦИИ С ЛИНЕЙНОЙ КИНЕТИКОЙ.
Пусть для реакции
, (5)
протекающей в реакторе смешения непрерывного действия, скорости отдельных стадий характеризуются уравнениями:
; 
; 
. (6)
Разработать математическую модель реактора, работающего в изотермическом стационарном режиме, для расчета концентраций компонентов на его выходе.
РЕШЕНИЕ. Для однозначного задания состава реагирующей смеси необходимо выбрать К-1 ключевых компонентов (где К - число реагентов), например A,B,P. Концентрация компонента T может быть выражена через эти концентрации.
Скорости образования реагентов A, В, Р выражаются следующим образом:
; (7)
; (8)
. (9)
В общем виде модель реактора смешения непрерывного действия для изотермического стационарного режима работы была получена ранее (см. уравнение (3)).
Записав уравнение (3) для каждого из реагентов, получим систему уравнений вида:
(10)
Систему уравнений (10) можно представить в нормальном виде:
, (11)
где
Таким образом, значения 
могут быть определены решением системы линейных уравнений одним из методов, рассмотренных ниже.
2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫРЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
К приближенным методам относятся итерационные методы решения систем.
Итерационным процессом называется повторяющийся процесс вычислений искомой величины по ее значению на предыдущем шаге.
Для построения итерационных процессов в линейных системах уравнений их надо приводить к каноническому виду.
Вид 
называется нормальным видом.
Вид 
- каноническим.
Если в правую часть системы, записанной в каноническом виде, подставить какое-либо значение вектора 
, то при известных значениях матриц L и 
- можно подсчитать новое значение X и подставить его снова в правую часть системы и т.д.
Полученную последовательность векторов , 
,... называют итерационной последовательностью.
Если последовательность сходится, т.е. имеет предел, то этот предел будет решением(точным) исходной системы уравнений.
Для организации приближенного вычисления корней системы линейных уравнений необходимо выполнение следующих действий:
1) привести систему к каноническому виду;
2) определить условие сходимости последовательности 
по коэффициентам системы, приведенной к каноническому виду;
3) построить итерационный процесс;
4) определить достижение заданной степени точности решения, так как точное решение может быть получено при бесконечном итерационном процессе.
Рассмотрим систему линейных уравнений 3-го порядка:
(12)
Канонический вид системы (12):
(13)
Существует бесконечное множество способов приведения системы (12) к виду (13). Среди них всегда "найдется такой, при котором будет _выполняться условие сходимости итерационной последовательности , ,... к соответствующему пределу.
Рассмотрим возможные варианты вычислений 
и 
на конкретном примере:
(14)
Вариант 1.
Представим систему (14) в следующем виде:
или
где
Вариант 2.
Для приведения системы к каноническому виду все члены левой части первого уравнения, кроме члена, содержащего 
, перенесем в правую часть и разделим уравнение на . Для второго уравнения все члены левой части перенесем также в правую часть, кроме члена, содержащего 
и разделим уравнение на . Для третьего уравнения все члены левой части перенесем в правую часть, кроме члена, содержащего 
и разделим уравнение на . Приведенная система будет иметь вид:
(15)
где
Условием сходимости последовательности 
к пределу, является выполнение следующего требования:
для всех 
или (16)
для всех 
то есть необходимо, чтобы сумма модулей коэффициентов канонической системы уравнений по строкам или столбцам была меньше 1.
Для построения итерационной процедуры необходимо выбрать первоначальное значение 
. Рекомендуется в качестве, этих значений выбирать либо 0, либо значения свободных членов.
Формульная запись метода простых итераций имеет вид:
, 
(17)
В приближенных методах задается степень точности получения решения 
:
Условием достижения заданной степени точности является выполнение следующего неравенства:
(18)
Поскольку точное решение нам неизвестно, то воспользоваться условием (18) практически невозможно. На практике можно использовать другое условие, эквивалентное условию (18):
(19)
Таким образом, условием нахождения вектора неизвестных является выполнение условия:
для всех 
Другим вариантом итерационного процесса поиска корней системы линейных уравнений является метод Зейделя, который отличается от метода простых итераций тем, что при вычислении (i+1)-го приближения неизвестной величины 
учитываются уже полученные (i+1)-е приближения неизвестных 
. Формульная запись метода имеет следующий вид:
(20)
где j=2,3,…n; i=0,1,2,….
Метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость к решению.
Касаясь вопроса эффективности работы точных и приближенных методов, следует отметить, что на микроЭВМ, на которых обычно осуществляется решение задач АСУ ТП и память которых ограничена, использование точных методов для систем линейных уравнений выше 3-го порядка нерационально, так как их программная реализация занимает много памяти (обычно эти методы оформлены в виде стандартных программ).
Для этих машин целесообразно использование реализующих численные методы проспи» программ, которые занимают немного места и быстро решаются.
3. ЗАДАНИЕ.
Для химического реактора смешения непрерывного действия, функционирующего в изотермическом стационарном режиме, разработать математическую модель. Используя методы простых итераций и Зейделя, а также один из точных методов, рассчитать концентрации реагентов на выходе реактора и исследовать зависимость последних от времени пребывания. Осуществить сравнительный анализ эффективности работы использованных методов решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Вид химической реакции, протекающей в реакторе, константы скоростей отдельных стадий, концентрации исходных реагентов и точные методы решения систем линейных уравнений заданы в таблице. Время пребывания 
изменяется в диапазоне 1 < < 10 (с шагом 1), степень точности получения решения численными методами 
= 
.
4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Изучить методические указания.
2. Получить у преподавателя номер варианта.
3. Разработать математическую модель реактора смешения в общем виде.
4. Выбрать ключевые компоненты для выданного варианта задания таким образом, чтобы уравнения материального баланса были независимы.
5. Составить уравнения материального баланса по ключевым компонентам.
6. В соответствии с указанными численными методами, составить схемы алгоритмов и программы, реализующие данные алгоритмы расчета концентраций реагентов на выходе реактора как функций времени пребывания.
7. Выполнить тот же расчет заданным точным методом.
8. Результаты расчетов представить графически.
9. Осуществить анализ изученных результатов на предмет соответствия хода полученных кривых виду химической реакции, а также сравнения точности и скорости сходимости использованных при выполнении задания методов.
Варианты заданий.
| Номер варианта | Реакция | Константа скорости,
| Исходные концентрации компонентов, молярная доля | Точный метод |
| 
| Правило Крамера | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Правило Крамера | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Правило Крамера | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Правило Крамера | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Правило Крамера | ||
| 
| Гаусса | ||
| 
| Правило Крамера |