Основание | Система счисления | Алфавит |
p = 10 | Десятичная | 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 |
р = 2 | Двоичная | 0, 1 |
р = 3 | Троичная | 0, 1,2 |
р = 8 | Восьмеричная | 0, 1, 2, 3,4,5,6, 7 |
р = 16 | Шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F |
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно записывается как нижний индекс этого числа. В системе счисления с основанием р (р-я система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа р; р единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в р-й системе счисления требуется р различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1,..., р – 1. Запись числа р в р-й системе счисления имеет вид 10. Потому надо помнить, что эта десятка имеет различное количественное значение в различных системах счисления (табл. 3.2).
Таблица 3.2.
Системы счисления
Десятичная система счисления | Двоичная система счисления | Шестиадцатеричная система счисления |
А | ||
В | ||
С | ||
D | ||
Е | ||
F |
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием р в систему с основанием q:
1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Пример 3.1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления:
Получаем: 17310 = 2558.
Пример 3.2. Перевести десятичное число 173ю в шестнадцатеричную систему счисления:
Получаем: 17310 = 25516.
Пример 3.3. Перевести десятичное число 17310 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:
Получаем: 1110 = 10112.
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную
Двоичная система счисления – система, в которой числа представлены двумя видами цифр (0 и 1). Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную нужно выполнить ряд действий:
1. Поделить это число на 2 до получения в остатке 0 или 1.
2. Продолжить деление полученного целого до остатка, и так до 1.
3. Записать полученные остатки справа налево.
Пример 3.4. Перевести десятичное число 6510 в двоичную систему счисления:
– 65 / 2 = 32 (остаток 1);
– 32 / 2= 16 (остаток 0);
– 16 / 2 = 8 (остаток 0);
– 8 / 2 = 4 (остаток 0);
– 4 / 2 = 2 (остаток 0);
– 2 / 2 = 1 (остаток 0);
– 6510 = 1000012.
Для обратного перевода нужно:
1. Умножить каждую цифру числа на 2 в соответствующей ей степени.
2. Степени проставлять справа налево, начиная с 0.
Пример 3.5. Перевести двоичное число 1000012 в десятичную систему счисления:
1000012 =1 х 26 + 0 х 25 + 0 х 24 + 0 х 23 + 0 х 22 + 0 х 21 + 1 х 20 = 1 х 26 + 1 х 20 = 64 + 1 = 6510.
Для перевода отрицательного числа нужно:
1. Записать числа в нормальной форме (6510 = 10000012).
2. Инвертировать разряды числа в двоичной системе счисления (10000012 ® 01111102).
3. Дописать впереди числа единицу (01111102 ® 101111102).
4. Прибавить к младшему разряду единицу (101111102 ® 101111112).