ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫГАУССА — КРЮГЕРА
Общие сведения
Конечная практическая цель триангуляционных и полигонометрических работ — определение положения геодезических пунктов на поверхности принятого референц-эллипсоида. Положение этих пунктов можно определить в различных системах координат. Необходимо вычислять координаты пунктов в такой системе, которая была бы проста и обеспечивала бы наиболее удобное и легкое использование координат в разнообразных практических целях. Такой системой является система плоских прямоугольных координат. В этой системе вычисляют координаты пунктов съемочного обоснования, для которых координаты триангуляционных пунктов являются исходными, производят различного рода расчеты при проектировании и строительстве разнообразных инженерных сооружений и перенос проектов в натуру. Использование топографических планов существенно облегчается, если на них нанесена сетка координатных линий в прямоугольной плоской системе координат. Прямоугольные координаты геодезических пунктов необходимы при использовании геодезических данных для оборонных целей.
Система геодезических координат имеет ряд достоинств; она наиболее удобна для решения научных задач высшей геодезии и в этой системе координат обычно обрабатывают триангуляцию 1 класса, однако она неудобна для широкого использования в указанных практических целях. Действительно, взаимное положение пунктов в этой системе определяется в угловых единицах (градусах, минутах и секундах широты и долготы), причем линейное значение этих единиц различно в зависимости от широты места; направления меридианов. от которых отсчитываются азимуты, не параллельны между собой; вычисления при помощи геодезических координат, даже при малых расстояниях, сложны, трудоемки и требуют известной подготовки вычислителя.
Таким образом, для практического использования наиболее удобна система плоских прямоугольных координат.
Известно, что поверхность эллипсоида не может быть развернута на плоскость без искажений, поэтому и не может быть предложена система плоских прямоугольных координат, в которой без искажений было бы выражено взаимное положение точек земной поверхности. Поставленная задача сводится к изображению поверхности эллипсоида на плоскости по некоторому определенному закону. Математически такой закон (или проекция) в общем виде может быть выражен уравнениями
(1)
,
В этих уравнениях х и у — плоские прямоугольные координаты изображаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических координат той же точки па поверхности эллипсоида. Если выбрать под тем или иным условием закон изображения точек эллипсоида на плоскости, то можно, пользуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний и углов на поверхности эллипсоида к соответствующим расстояниям и углам на плоскости.
Законов изображения поверхности эллипсоида на плоскости может быть бесчисленное множество; очевидно, каждый закон изображения определяется видом функции f1 и f2 в уравнениях (1).
При выборе закона изображения эллипсоида на плоскости, т. е. функций f1 и f2, приходится иметь в виду, что желательно обеспечить единой системой плоских прямоугольных координат всю территорию государства, так как этим самым будет создана основа для единообразного вычисления результатов последующих геодезических работ и получения топографических планов в единой системе.
Конкретные требования, которые следует поставить при выборе функций f1 и f2:минимальное искажение изображаемых на плоскости элементов поверхности эллипсоида; легкость и простота учета искажений, хотя бы за счет некоторого, конечно сравнительно небольшого, увеличения самого размера этих искажений. Простота и легкость применения проекции и учета искажений — весьма важный показатель достоинства проекции, особенно когда необходимо переходить от числовых значений геодезических координат пунктов к числовым значениям координат на плоскости. Поправки за искажения или за перенос элементов триангуляции с эллипсоида на плоскость и обратно должны вычисляться с ошибками, в 5—10 раз меньшими ошибок непосредственных измерений.
Если координаты опорных геодезических пунктов даны в проекции, то топографические планы не требуют какой-либо укладкч на плоскость путем соответствующего их редуцирования. Графические материалы съемок получаются в принятой проекции и лишь числовые данные съемок в виде длин сторон и углов теодолитных и тахеометрических ходов, измеряемых непосредственно на местности, должны быть исправлены за переход к проекции. Но в этом случае целесообразно учитывать только искажения длин с тем, чтобы в пределах определенной зоны масштаб изображений можно было считать постоянным. Это обусловливает выбор равноугольной или конформной проекции, для которой угловые искажения при переходе с эллипсоида на плоскость отсутствуют, а масштаб линейных искажений одинаков по всем направлениям. Этим облегчается учет искажений и редуцирование геодезических данных с эллипсоида на плоскость.
Но системы прямоугольных плоских координат с единым началом, позволяющей отобразить точки всей поверхности эллипсоида на плоскости, практически быть не может, так как искажения становятся слишком большими. Поэтому неизбежно разделение земной поверхности на части или зоны, которые изображаются на плоскости одна независимо от другой, каждая со своим началом координат. Если примем определенные условия в отношении величины и характера искажений, то возникнут определенные требования к размерам и конфигурации этих зон. При выборе проекции следует стремиться к минимальному числу зон на территории данного государства. Кроме того, проекция Должна обеспечивать легкость перехода из зоны в зону и возможное единообразие при вычислениях в разных зонах.
Указанным выше требованиям из числа существующих проекций наилучшим образом удовлетворяет конформная проекция Гаусса — Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825—1830 гг.; в 1912 г. Крюгер разработал детали применения и дал рабочие формулы для вычислений в этой проекции, поэтому ее называют проекцией Гаусса — Крюгера.
Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости
При использовании проекции Гаусса — Крюгера земной эллипсоид разделяется на зоны меридианами. Каждая зона представляет собой сфероидический двуугольник, построенный от одного полюса до другого и ограниченный ме-
ридианами, для всей изображаемой территории имеющими постоянную разность долгот. Средний меридиан в каждой зоне называется осевым меридианом, и его долгота обозначается через L0. В СССР протяженность зон по долготе установлена в 6°, а в районах, где предстоят топографические съемки в крупном масштабе, — в 3°.
Граничные меридианы каждой шестиградусной зоны приняты совпадающими с меридианами, ограничивающими западную и восточную рамки карты масштаба 1: 1 000 000. Следовательно, осевые меридианы каждой зоны совпадают со средними меридианами листов карты этого масштаба. Долготы осевых меридианов вычисляют по формуле 6n — 3, где п — номер зоны.
В системе трехградусных зон осевые меридианы расположены через 3° по долготе и совпадают поочередно с граничными и средними меридианами карты масштаба 1: 1 000 000.
В каждой зоне изображение осевого меридиана принимается за ось абсцисс, а изображение экватора — за ось ординат. Эти кривые на поверхности эллипсоида изображаются на плоскости прямыми линиями. Следовательно, в каждой зоне имеется свое начало координат — пересечение осевого меридиана с экватором.
В проекции Гаусса — Крюгера осевой меридиан изображается без искажения.
На рис. 1, а показана зона с номером п\ кривые РЕР' и РЕ1Р1 — граничные меридианы; пунктирная кривая РР' — осевой меридиан, долгота которого Ь0 в системе шестиградусных зон 'определяется по формуле L 0 = 6n— 3. Положение точки А, расположенной в этой зоне, определяется широтой В и долготой L, отсчитываемой от осевого меридиана.
рис. 1 рис.2
На рис. 1, б показано изображение данной зоны на плоскости в проекции, кривые рерг и ре1р1 — изображения граничных меридианов; прямая ррг — изображение осевого меридиана, принимаемая за ось абсцисс, и прямая еег — изображение экватора, принимаемая за ось ординат.
Если а — изображение точки А на плоскости, то ее положение определяется показанными на рис. 72 прямоугольными плоскими координатами х и у.
Проекция Гаусса — Крюгера конформна.. Напомним основные условия и свойства конформного изображения: бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему на плоскости; угловые искажения отсутствуют; масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат данной точки и не зависит от направления.
В проекции Гаусса — Крюгера поверхность шести- или трехградусной воны изображается с заметными искажениями, но достоинство проекции — сравнительная простота и высокая точность учета искажений в пределах шестиградусной зоны, чем и обусловлен выбор этой проекции в геодезии.
Пусть на эллипсоиде (рис. 2) дана некоторая триангуляция, состоящая из треугольников АВС, ВСD, СDЕ; РО — осевой меридиан зоны, в которой расположена данная триангуляция. Пусть долгота этого осевого меридиана Lо, АР — меридиан, проходящий через точку А; А Т — касательная к эллипсоиду и параллельная плоскости осевого меридиана.
Угол между направлением меридиана АР и касательной А Т называется геодезическим сближением меридианов и обозначается буквой γ'.Угол между направлением меридиана АР и геодезической линией АС есть азимут стороны АС; обозначим его через А 'АС.У гол между направлением касательной АТ и направлением А С есть геодезический дирекционный угол; обозначим его через Т'АС. Очевидно, для эллипсоида получится равенство
ААС=Т'АС+у. (2.1)
Пусть на плоскости (рис. 3) в проекции Гаусса — Крюгера изображение тех же элементов будет: точка а — изображение точки А; линия ор — изображение осевого меридиана ОР; кривая ап —изображение меридиана, проходящего
рис.3 рис.4
через точку А; кривая аt — изображение касательной А Т; точки б и с — соответственно изображения точек В и С; кривые ab, ас, сb... — изображения геодезических линий АВ, АС, СВ и т. д.
Так как проекция конформна, то углы между изображениями линий эллипсоида на плоскости не исказятся и будут соответственно равны Проведем через точку а линию, параллельную изображению осевого меридиана, т. е. оси абсцисс; обозначим ее через аЪг. Угол между кривой, изображающей меридиан точки а, т. е. ап, и этой прямой, параллельной оси абсцисс, называется сближением меридианов на плоскости и обозначается буквой V-
Вследствие конформности проекции углы треугольников триангуляции также перенесутся с эллипсоида на плоскость без искажений, но эти углы, перенесенные на плоскость, относятся к треугольникам, соединенным кривыми аЬ, ас, сЪ и т. д., что практически неудобно. Для последующих вычислений соединим точки а, Ь, с с прямыми линиями — хордами. Тогда триангуляция на плоскости представится сетью плоских прямоугольных треугольников; решение треугольников и другие вычисления можно производить по формулам прямолинейной тригонометрии. Но для этого необходимо осуществить переход от углов между изображениями на плоскости геодезических линий, являющимися кривыми, к углам, образованным прямыми линиями, соединяющими точки а, Ъ, с. Иначе говоря, для каждой стороны триангуляции, точнее для каждого направления, должна быть определена поправка, представляющая собой малый угол между кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой. Если кривая а/сЬ (рис. 4) — изображение стороны АВ на плоскости, а аЬ — хорда, соединяющая точки а и Ь, то угол между направлением кривой аЬЪ (т. е. касательной к ней в точке а) и прямой аЪ будет искомой поправкой, называемой поправкой за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и обозначаемой буквой б. Эти поправки и вводятся в измеренные направления для образования на плоскости треугольников с прямолинейными сторонами.
Вследствие малой кривизны линии а/сb эти редукции малы и их вычисление, как увидим далее, не представляет особого труда; при работах малой точности ими можно пренебрегать. Угол между прямой а*х, параллельной оси абсцисс, и хордой аb называется дирекционным углом на плоскости и обозначается через Т.
Пусть на эллипсоиде исходной стороной триангуляции будет АВ. Длину геодезической линии, соединяющей точки А и 5, обозначим 5„. Очевидно, при переходе на плоскость расстояние между точками а и Ъ не будет равно «0 вследствие искажений проекции. Для перехода от расстояния АВ = з0 к расстоянию на плоскости между точками а и 6 необходимо ввести поправку, называемую редукцией расстояний.
Числовые величины поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и редукции расстояний по мере удаления от осевого меридиана возрастают. Следовательно, для вычисления указанных поправок необходимо знать координаты вершин треугольников, причем вследствие малости поправок эти координаты достаточно знать приближенно.
Изложенные сведения позволяют установить следующий порядок действий для перехода с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, если исходными данными являются длина 50, азимут А выходной стороны триангуляции и геодезические координаты В и I/ одного из начальных ее пунктов.
1. Переход от геодезических координат — широты В и долготы Ь начального пункта — к прямоугольным координатам х и у этого же пункта в проекции Гаусса — Крюгера и вычисление для этого же пункта сближения меридианов на плоскости, позволяющего получить приближенное значение дирекционного угла исходной стороны по формуле
(2.2)
2. Приближенное вычисление сторон треугольников и предварительных координат их вершин с использованием вычисленных координат исходного пункта х и у и приближенного значения дирекционного угла, полученного по формуле (2.2).
3. Вычисление редукции длины исходной стороны за переход с эллипсоида на плоскость и поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости для каждого измеренного направления в триангуляции.
Вводя в длину исходной стороны и в измеренные направления эти поправки, получаем длину и дирекционный угол исходной стороны и направления, редуцированные на плоскость. После выполнения этих вычислений сеть становится подготовленной к уравниванию и окончательному вычислению координат пунктов на плоскости.
4. Уравнивание триангуляции на плоскости; по уравненным углам окончательное вычисление сторон треугольников и окончательных прямоугольных координат всех пунктов триангуляции.
Систему прямоугольных координат Гаусса — Крюгера ввели в СССР в 1930 г. В связи с увеличением объема топографо-геодезических работ возникла необходимость иметь координаты опорной геодезической сети в прямоугольной системе, причем единообразно выбранной. Плоские прямоугольные координаты применялись и до указанного времени; в землеустройстве — координаты Зольднера при частных началах координат в различных районах; в крупных маркшейдерских геодезических сетях — свои системы координат при самостоятельно выбранных началах (например, системы координат Баумана в триангуляции Донбасса). Естественно, такой разнобой в применении системы плоских прямоугольных координат затруднял использование материалов топографо-геодезических рабств общих целях, создавал неудобства при смыкании съемок на граничных линиях районов, имеющих свои системы координат, вызывал необходимость различного рода перевычислений.
В связи с этим третье геодезическое совещание при Госплане СССР в 1928 г. вынесло решение о необходимости введения системы координат Гаусса — Крюгера, установило шестиградусную ширину зон по долготе, определило положение осевых меридианов каждой зоны (как это указано выше) и наметило мероприятия для введения новой системы координат.
В 1930 г. были изданы составленные под руководством Ф. Н. Красовского «Руководство, формулы и таблицы по применению прямоугольных координат Гаусса — Крюгера», что и способствовало введению этой системы координат в практику геодезических работ. После этого координаты Гаусса — Крюгера получили в СССР всеобщее распространение, и в настоящее время во всех каталогах геодезических пунктов обязательно помещают плоские прямоугольные координаты в этой системе.
Искажение длин на краю шестиградусной зоны может достигать величины
порядка , ПОЭТОМУ ПРИ топографических съемках мелкого и среднего
масштабов — 1: 100 000, 1: 50 000 — эти искажения во взаимном положении точек при съемках не ощущаются. Учитывать эти искажения необходимо при постановке топографических работ указанных масштабов лишь при развитии съемочного обоснования в виде малых триангуляции, теодолитных ходов и т. п. Измеренные длины линий исправляют путем введения поправок, выбираемых из специальных таблиц.
При крупномасштабных съемках, если они к тому же производятся не графическим, а числовым методом, в пределах небольших участков изменение масштаба становится заметным и его нельзя считать постоянным даже при небольших расстояниях (20—50 км) от осевого меридиана. При проектировании по карте или перенесении проектов в натуру графическая точность масштаба карты и установленные допуски требуют учета размеров искажения. Значительно больший объем непосредственных измерений, требующих учета искажений с большой точностью, не позволяет применять шестиградусную зону для съемок крупного масштаба без того, чтобы не осложнить производство съемок и использование их результатов. Поэтому наиболее просто и практически удобно в такого рода работах не применять шестиградусные зоны. Для примера приведем описание применения этой системы координат в городских геодезических работах.
Известно, что городские съемки, ведущиеся, как правило, числовыми методами, включают создание топографических 'планов масштабов от 1: 5000 до 1: 2000 и крупнее. При этом целесообразно применять систему координат в следующем общем плане.
В качестве исходного принимают пункт городской триангуляции 1 класса, расположенный, по возможности, посередине города и являющийся в то же время пунктом государственной триангуляции или имеющий с последней наиболее надежную и короткую связь. Меридиан, проходящий через этот пункт, принимается за осевой. Этим достигается то, что все пункты городской опорной геодезической сети располагаются в непосредственной близости от осевого меридиана, поэтому искажения проекции, а следовательно, и поправки малы; это позволяет пренебрегать ими, а в особо точных работах учитывать не по полным формулам. Следовательно, опорная сеть при таком выборе осевого меридиана будет редуцирована на плоскость с минимальными искажениями, в большинстве случаев пренебрегаемыми. Для обеспечения близости в значениях координат между этой местной системой координат и общегосударственной шестиградусной системой, для окончательного вычисления координат пунктов следует брать те координаты начального пункта, которые заданы из государственной триангуляции. С этой же целью следует ориентировать городскую триангуляцию по дирекционному углу одного из направлений с местного исходного пункта, но отнесенному к осевому меридиану общегосударственной шестиградусной зоны. Различия в значениях координат, вычисленных в общегосударственной и местной системах, будут независимо от порядка их вычислений, так как базисы городских триангуляции приходится редуцировать на среднюю уровенную поверхность города. Но при таком выборе и порядке вычисления координат, который описан, неизбежные различия между значениями координат, вычисленными в общегосударственной и местной системах, будут минимальными, а материалы топографических съемок масштаба 1: 5000 легко могут быть использованы для государственного картографирования.
Этот пример показывает, как можно применить проекцию Гаусса — Крюгера на отдельном участке территории, на котором производят точные съемки крупного масштаба и который используется под строительство разнообразных инженерных сооружений.
Целесообразно применять шестиградусные зоны для вычисления координат государственных триангуляции, если сплошные топографические съемки государственного значения ставятся в масштабе 1: 100 000 и 1: 50 000. В настоящее время приступили к сплошным аэрофототопографическим съемкам в масштабах 1: 25 000,1: 10 000 и 1: 5000. Для съемок в этих масштабах искажения при применении шестиградусных зон получаются значительными. Для районов этих съемок целесообразно применять трехградусные зоны.