Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости




ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫГАУССА — КРЮГЕРА

Общие сведения

 

Конечная практическая цель триангуляционных и полигонометрических работ — определение положения геодезических пунктов на поверхности при­нятого референц-эллипсоида. Положение этих пунктов можно определить в различных системах координат. Необходимо вычислять координаты пунктов в такой системе, которая была бы проста и обеспечивала бы наиболее удобное и легкое использование координат в разнообразных практических целях. Такой системой является система плоских прямоугольных координат. В этой системе вычисляют координаты пунктов съемочного обоснования, для которых координаты триангуляционных пунктов являются исходными, производят различного рода расчеты при проектировании и строи­тельстве разнообразных инженерных сооружений и перенос проектов в натуру. Использование топографических планов существенно облегчается, если на них нанесена сетка координатных линий в прямоугольной плоской системе коор­динат. Прямоугольные координаты геодезических пунктов необходимы при использовании геодезических данных для оборонных целей.

Система геодезических координат имеет ряд достоинств; она наиболее удобна для решения научных задач высшей геодезии и в этой системе координат обычно обрабатывают триангуляцию 1 класса, однако она неудобна для широ­кого использования в указанных практических целях. Действительно, взаим­ное положение пунктов в этой системе определяется в угловых единицах (гра­дусах, минутах и секундах широты и долготы), причем линейное значение этих единиц различно в зависимости от широты места; направления меридианов. от которых отсчитываются азимуты, не параллельны между собой; вычисления при помощи геодезических координат, даже при малых расстояниях, сложны, трудоемки и требуют известной подготовки вычислителя.

Таким образом, для практического использования наиболее удобна си­стема плоских прямоугольных координат.

Известно, что поверхность эллипсоида не может быть развернута на пло­скость без искажений, поэтому и не может быть предложена система плоских прямоугольных координат, в которой без искажений было бы выражено взаим­ное положение точек земной поверхности. Поставленная задача сводится к изо­бражению поверхности эллипсоида на плоскости по некоторому определенному закону. Математически такой закон (или проекция) в общем виде может быть выражен уравнениями

(1)

,

В этих уравнениях х и у — плоские прямоугольные координаты изобра­жаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических коорди­нат той же точки па поверхности эллипсоида. Если выбрать под тем или иным условием закон изображения точек эллипсоида на плоскости, то можно, поль­зуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний и углов на поверхности эллипсоида к соответствующим расстояниям и углам на плоскости.

Законов изображения поверхности эллипсоида на плоскости может быть бесчисленное множество; очевидно, каждый закон изображения определяется видом функции f1 и f2 в уравнениях (1).

При выборе закона изображения эллипсоида на плоскости, т. е. функций f1 и f2, приходится иметь в виду, что желательно обеспечить единой системой плоских прямоугольных координат всю территорию государства, так как этим самым будет создана основа для единообразного вычисления результатов по­следующих геодезических работ и получения топографических планов в единой системе.

Конкретные требования, которые следует поставить при выборе функций f1 и f2:минимальное искажение изображаемых на плоскости элементов поверх­ности эллипсоида; легкость и простота учета искажений, хотя бы за счет неко­торого, конечно сравнительно небольшого, увеличения самого размера этих искажений. Простота и легкость применения проекции и учета искажений — весьма важный показатель достоинства проекции, особенно когда необходимо переходить от числовых значений геодезических координат пунктов к числовым значениям координат на плоскости. Поправки за искажения или за перенос элементов триангуляции с эллипсоида на пло­скость и обратно должны вычисляться с ошибками, в 5—10 раз меньшими ошибок непосредственных измерений.

 

Если координаты опорных геодезических пунктов даны в проекции, то топографические планы не требуют какой-либо укладкч на плоскость путем соответствующего их редуцирования. Графические материалы съемок полу­чаются в принятой проекции и лишь числовые данные съемок в виде длин сторон и углов теодолитных и тахеометрических ходов, измеряемых не­посредственно на местности, должны быть исправлены за переход к проекции. Но в этом случае целесообразно учитывать только искажения длин с тем, чтобы в пределах определенной зоны масштаб изображений можно было считать постоянным. Это обусловливает выбор равноугольной или конформной проекции, для которой угловые искажения при переходе с эллипсоида на плос­кость отсутствуют, а масштаб линейных искажений одинаков по всем напра­влениям. Этим облегчается учет искажений и редуцирование геодезических данных с эллипсоида на плоскость.

Но системы прямоугольных плоских координат с единым началом, позво­ляющей отобразить точки всей поверхности эллипсоида на плоскости, практи­чески быть не может, так как искажения становятся слишком большими. По­этому неизбежно разделение земной поверхности на части или зоны, которые изображаются на плоскости одна независимо от другой, каждая со своим на­чалом координат. Если примем определенные условия в отношении величины и характера искажений, то возникнут определенные требования к размерам и конфигурации этих зон. При выборе проекции следует стремиться к мини­мальному числу зон на территории данного государства. Кроме того, проекция Должна обеспечивать легкость перехода из зоны в зону и возможное едино­образие при вычислениях в разных зонах.

Указанным выше требованиям из числа существующих проекций наилуч­шим образом удовлетворяет конформная проекция Гаусса — Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825—1830 гг.; в 1912 г. Крюгер разработал детали применения и дал рабочие формулы для вычислений в этой проекции, поэтому ее называют проекцией Гаусса — Крюгера.

Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости

При использовании проекции Гаусса — Крюгера земной эллипсоид разделяется на зоны меридианами. Каждая зона представляет собой сфероидический двуугольник, построенный от одного полюса до другого и ограниченный ме-

ридианами, для всей изобража­емой территории имеющими посто­янную разность долгот. Средний меридиан в каждой зоне называется осевым меридианом, и его долгота обозначается через L0. В СССР протяженность зон по долготе установлена в 6°, а в рай­онах, где предстоят топографиче­ские съемки в крупном масшта­бе, — в 3°.

Граничные меридианы каждой шестиградусной зоны приняты со­впадающими с меридианами, ог­раничивающими западную и вос­точную рамки карты масштаба 1: 1 000 000. Следова­тельно, осевые меридианы каждой зоны совпадают со средними ме­ридианами листов карты этого масштаба. Долготы осевых мери­дианов вычисляют по формуле 6n — 3, где п — номер зоны.

В системе трехградусных зон осевые меридианы расположены через 3° по долготе и совпадают поочередно с граничными и средними меридианами карты масштаба 1: 1 000 000.

В каждой зоне изображение осевого меридиана принимается за ось абсцисс, а изображение экватора — за ось ординат. Эти кривые на поверхности эллип­соида изображаются на плоскости прямыми линиями. Следовательно, в каждой зоне имеется свое начало координат — пересечение осевого меридиана с эква­тором.

В проекции Гаусса — Крюгера осевой меридиан изображается без иска­жения.

На рис. 1, а показана зона с номером п\ кривые РЕР' и РЕ1Р1 — гранич­ные меридианы; пунктирная кривая РР' — осевой меридиан, долгота которого Ь0 в системе шестиградусных зон 'определяется по формуле L 0 = 6n— 3. Положение точки А, расположенной в этой зоне, определяется широтой В и долготой L, отсчитываемой от осевого меридиана.

 

 

рис. 1 рис.2

 

На рис. 1, б показано изображение данной зоны на плоскости в проекции, кривые рерг и ре1р1 — изображения граничных меридианов; прямая ррг — изображение осевого меридиана, принимаемая за ось абсцисс, и прямая еег — изображение экватора, принимаемая за ось ординат.

Если а — изображение точки А на плоскости, то ее положение определя­ется показанными на рис. 72 прямоугольными плоскими координатами х и у.

Проекция Гаусса — Крюгера конформна.. Напомним основные условия и свойства конформного изображения: бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему на плоскости; угло­вые искажения отсутствуют; масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат данной точки и не зависит от направления.

В проекции Гаусса — Крюгера поверхность шести- или трехградусной воны изображается с заметными искажениями, но достоинство проекции — сравнительная простота и высокая точность учета искажений в пределах шести­градусной зоны, чем и обусловлен выбор этой проекции в геодезии.

Пусть на эллипсоиде (рис. 2) дана некоторая триангуляция, состоящая из треугольников АВС, ВСD, СDЕ; РО — осевой меридиан зоны, в которой расположена данная триангуляция. Пусть долгота этого осевого меридиана Lо, АР — меридиан, проходящий через точку А; А Т — касательная к эллип­соиду и параллельная плоскости осевого меридиана.

Угол между направлением меридиана АР и касательной А Т называется геодезическим сближением меридианов и обозна­чается буквой γ'.Угол между направлением меридиана АР и геодезической линией АС есть азимут стороны АС; обозначим его через А 'АС.У гол между направлением касательной АТ и направлением А С есть геодезический дирекционный угол; обозначим его через Т'АС. Очевидно, для эллип­соида получится равенство

 

ААС=Т'АС+у. (2.1)

Пусть на плоскости (рис. 3) в проекции Гаусса — Крюгера изображение тех же элементов будет: точка а — изображение точки А; линия ор — изобра­жение осевого меридиана ОР; кривая ап —изображение меридиана, проходящего


рис.3 рис.4

через точку А; кривая аt — изображение касательной А Т; точки б и с — соот­ветственно изображения точек В и С; кривые ab, ас, сb... — изображения гео­дезических линий АВ, АС, СВ и т. д.

Так как проекция конформна, то углы между изображениями линий эллип­соида на плоскости не исказятся и будут соответственно равны Проведем через точку а линию, параллельную изображению осевого мери­диана, т. е. оси абсцисс; обозначим ее через аЪг. Угол между кривой, изобража­ющей меридиан точки а, т. е. ап, и этой прямой, параллельной оси абсцисс, называется сближением меридианов на плоскости и обозначается буквой V-

Вследствие конформности проекции углы треугольников триангуляции также перенесутся с эллипсоида на плоскость без искажений, но эти углы, перенесенные на плоскость, относятся к треугольникам, соединенным кривыми аЬ, ас, сЪ и т. д., что практически неудобно. Для последующих вычислений соединим точки а, Ь, с с прямыми линиями — хордами. Тогда триангуляция на плоскости представится сетью плоских прямоугольных треугольников; ре­шение треугольников и другие вычисления можно производить по формулам прямолинейной тригонометрии. Но для этого необходимо осуществить пере­ход от углов между изображениями на плоскости геодезических линий, явля­ющимися кривыми, к углам, образованным прямыми линиями, соединяющими точки а, Ъ, с. Иначе говоря, для каждой стороны триангуляции, точнее для каж­дого направления, должна быть определена поправка, представляющая собой малый угол между кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой. Если кривая а/сЬ (рис. 4) — изображение стороны АВ на плоскости, а аЬ — хорда, соединяющая точки а и Ь, то угол между направлением кривой аЬЪ (т. е. касательной к ней в точке а) и прямой аЪ будет искомой поправкой, называемой поправкой за кривизну изображения геоде­зической линии на плоскости и обозначаемой буквой б. Эти поправки и вводятся в измеренные направления для образования на плоскости треугольников с прямолинейными сторонами.

Вследствие малой кривизны линии а/сb эти редукции малы и их вычисление, как увидим далее, не представляет особого труда; при работах малой точности ими можно пренебрегать. Угол между прямой а*х, параллельной оси абсцисс, и хордой аb называется дирекционным углом на плоскости и обозначается через Т.

Пусть на эллипсоиде исходной стороной триангуляции будет АВ. Длину геодезической линии, соединяющей точки А и 5, обозначим 5„. Очевидно, при переходе на плоскость расстояние между точками а и Ъ не будет равно «0 вслед­ствие искажений проекции. Для перехода от расстояния АВ = з0 к расстоянию на плоскости между точками а и 6 необходимо ввести поправку, называемую редукцией расстояний.

Числовые величины поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и редукции расстояний по мере удаления от осевого мери­диана возрастают. Следовательно, для вычисления указанных поправок необ­ходимо знать координаты вершин треугольников, причем вследствие малости поправок эти координаты достаточно знать приближенно.

Изложенные сведения позволяют установить следующий порядок действий для перехода с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, если исходными данными являются длина 50, азимут А выходной стороны триангу­ляции и геодезические координаты В и I/ одного из начальных ее пунктов.

1. Переход от геодезических координат — широты В и долготы Ь началь­ного пункта — к прямоугольным координатам х и у этого же пункта в проекции Гаусса — Крюгера и вычисление для этого же пункта сближения меридианов на плоскости, позволяющего получить приближенное значение дирекционного угла исходной стороны по формуле

(2.2)

2. Приближенное вычисление сторон треугольников и предварительных координат их вершин с использованием вычисленных координат исходного пункта х и у и приближенного значения дирекционного угла, полученного по формуле (2.2).

3. Вычисление редукции длины исходной стороны за переход с эллипсоида на плоскость и поправок за кривизну изображения геодезической линии на пло­скости для каждого измеренного направления в триангуляции.

Вводя в длину исходной стороны и в измеренные направления эти поправки, получаем длину и дирекционный угол исходной стороны и направления, редуци­рованные на плоскость. После выполнения этих вычислений сеть становится подготовленной к уравниванию и окончательному вычислению координат пунктов на плоскости.

4. Уравнивание триангуляции на плоскости; по уравненным углам окон­чательное вычисление сторон треугольников и окончательных прямоугольных координат всех пунктов триангуляции.

Систему прямоугольных координат Гаусса — Крюгера ввели в СССР в 1930 г. В связи с увеличением объема топографо-геодезических работ воз­никла необходимость иметь координаты опорной геодезической сети в прямо­угольной системе, причем единообразно выбранной. Плоские прямоугольные координаты применялись и до указанного времени; в землеустройстве — ко­ординаты Зольднера при частных началах координат в различных районах; в крупных маркшейдерских геодезических сетях — свои системы координат при самостоятельно выбранных началах (например, системы координат Бау­мана в триангуляции Донбасса). Естественно, такой разнобой в применении системы плоских прямоугольных координат затруднял использование материа­лов топографо-геодезических рабств общих целях, создавал неудобства при смы­кании съемок на граничных линиях районов, имеющих свои системы координат, вызывал необходимость различного рода перевычислений.

В связи с этим третье геодезическое совещание при Госплане СССР в 1928 г. вынесло решение о необходимости введения системы координат Гаусса — Крю­гера, установило шестиградусную ширину зон по долготе, определило поло­жение осевых меридианов каждой зоны (как это указано выше) и наметило мероприятия для введения новой системы координат.

В 1930 г. были изданы составленные под руководством Ф. Н. Красовского «Руководство, формулы и таблицы по применению прямоугольных координат Гаусса — Крюгера», что и способствовало введению этой системы координат в практику геодезических работ. После этого координаты Гаусса — Крюгера получили в СССР всеобщее распространение, и в настоящее время во всех каталогах геодезических пунктов обязательно помещают плоские прямоуголь­ные координаты в этой системе.

Искажение длин на краю шестиградусной зоны может достигать величины

порядка , ПОЭТОМУ ПРИ топографических съемках мелкого и среднего

масштабов — 1: 100 000, 1: 50 000 — эти искажения во взаимном положении точек при съемках не ощущаются. Учитывать эти искажения необходимо при постановке топографических работ указанных масштабов лишь при раз­витии съемочного обоснования в виде малых триангуляции, теодолитных ходов и т. п. Измеренные длины линий исправляют путем введения поправок, выбира­емых из специальных таблиц.

При крупномасштабных съемках, если они к тому же производятся не гра­фическим, а числовым методом, в пределах небольших участков изменение масштаба становится заметным и его нельзя считать постоянным даже при не­больших расстояниях (20—50 км) от осевого меридиана. При проектировании по карте или перенесении проектов в натуру графическая точность масштаба карты и установленные допуски требуют учета размеров искажения. Значи­тельно больший объем непосредственных измерений, требующих учета искаже­ний с большой точностью, не позволяет применять шестиградусную зону для съемок крупного масштаба без того, чтобы не осложнить производство съемок и использование их результатов. Поэтому наиболее просто и практически удобно в такого рода работах не применять шестиградусные зоны. Для примера приведем описание применения этой системы координат в городских геодезиче­ских работах.

Известно, что городские съемки, ведущиеся, как правило, числовыми методами, включают создание топографических 'планов масштабов от 1: 5000 до 1: 2000 и крупнее. При этом целесообразно применять систему координат в следующем общем плане.

В качестве исходного принимают пункт городской триангуляции 1 класса, расположенный, по возможности, посередине города и являющийся в то же время пунктом государственной триангуляции или имеющий с последней наиболее надежную и короткую связь. Меридиан, проходящий через этот пункт, принимается за осевой. Этим достигается то, что все пункты городской опорной геодезической сети располагаются в непосредственной близости от осевого меридиана, поэтому искажения проекции, а следовательно, и поправки малы; это позволяет пренебрегать ими, а в особо точных работах учитывать не по полным формулам. Следовательно, опорная сеть при таком выборе осевого меридиана будет редуцирована на плоскость с минимальными искажениями, в большинстве случаев пренебрегаемыми. Для обеспечения близости в значениях координат между этой местной системой координат и общегосударственной шестиградусной системой, для окончательного вычисления координат пунктов следует брать те координаты начального пункта, которые заданы из государ­ственной триангуляции. С этой же целью следует ориентировать городскую триангуляцию по дирекционному углу одного из направлений с местного исход­ного пункта, но отнесенному к осевому меридиану общегосударственной шести­градусной зоны. Различия в значениях координат, вычисленных в общегосу­дарственной и местной системах, будут независимо от порядка их вычислений, так как базисы городских триангуляции приходится редуцировать на среднюю уровенную поверхность города. Но при таком выборе и порядке вычисления координат, который описан, неизбежные различия между значениями коор­динат, вычисленными в общегосударственной и местной системах, будут мини­мальными, а материалы топографических съемок масштаба 1: 5000 легко могут быть использованы для государственного картографирования.

Этот пример показывает, как можно применить проекцию Гаусса — Крюгера на отдельном участке территории, на котором производят точные съемки крупного масштаба и который используется под строительство разно­образных инженерных сооружений.

Целесообразно применять шестиградусные зоны для вычисления координат государственных триангуляции, если сплошные топографические съемки государственного значения ставятся в масштабе 1: 100 000 и 1: 50 000. В настоя­щее время приступили к сплошным аэрофототопографическим съемкам в мас­штабах 1: 25 000,1: 10 000 и 1: 5000. Для съемок в этих масштабах искажения при применении шестиградусных зон получаются значительными. Для районов этих съемок целесообразно применять трехградусные зоны.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: