Исследовать интеграл на сходимость.




КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ;

б) ;

в) ;

 

г)

 

6.3.10. Задана функция у=f (х)и два значения аргумента x 1и х 2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;-5),(-5;+∞).

Исследуем поведение функции в точках х1=-5, х2=-3. Найдём односторонние пределы.

При х=-3 функция имеет одинаковые односторонние пределы и , значит, в этой точке функция непрерывна. При х=-5 функция имеет с одной стороны бесконечный предел, значит, в этой точках функция разрывна.

Сделаем схематический чертеж:

7.1.30. Найти производные данных функций.

a) ;

б) при ;

в) .

Прологарифмируем обе части равенства:

Теперь продифференцируем обе части равенства:

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

 

7.3.30. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f (x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [ a; b ].

а) б) [–2; 2].

1. Очевидно D (y) = (-¥;+¥).

2. . Функция является чётной.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью Оу: x = 0, то у=-3;

с осью Ох: y = 0, то .

4. Определим критические точки. Для этого найдем производную y'.

Тогда y' = 0 имеет решение х =0 –абсцисса точки экстремума. Определим знак первой производной на интервалах.

y'(x)

 

– +

Значит, на промежутке (0,+¥) функция возрастает, на промежутке (-¥,0) функция убывает.

5. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y'' функции:

, тогда y'' = 0 имеет решение при - это абсциссы точек перегиба.

Определим знак второй производной на области определения.

y''(x)

– + –

Таким образом, при x Î(-¥, ), (, +¥) график функции выпуклый, при хÎ(, ) –вогнутый.

 

6. Функция определена и непрерывна на всей области определения. Выясним, имеет ли график функции наклонную асимптоту у=кх+в.

У=1 – горизонтальная асимптота.

По результатам исследования строим график функции:

б) Функция непрерывна на отрезке [-2;2]. Найдём производную

В данном случае критической является точка при х=0, причём точка принадлежит отрезку [-2;2]. Вычислим значение на концах отрезка:

Таким образом, наименьшее значение данной функции равно -0,333 и получаем его при х=0 в критической точке, наибольшее равное 0,077 получаем при х=-2 и х=2 на правой и левой границах.

 

 


 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Неопределенный и определенный интегралы.

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.

Криволинейные и поверхностные интегралы.

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)

Проверим результат дифференцированием:

 

б) ;

Проверим результат дифференцированием:

 

в) ;

Проверим результат дифференцированием:

 

г)

Проверим результат дифференцированием:

 

Исследовать интеграл на сходимость.

.

Значит, интеграл расходится.

9.1.40. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков. Обосновать равенство .

.

Равенство верно.

 

9.2.10. Дана функция и точка . С помощью полного дифференциала вычислить приближенно значение функции в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке и оценить относительную погрешность вычислений.

; .

Будем рассматривать z(М) как частное значение функции при x = 0,96 = x1, у =2,05 = у1. За x0 принимаем число 1, за у0 –число 2.

Тогда z (x 0,y0) = ;

Переведём dx в радианы:

dx = x 1x 0 =0,96-1=-0,04,

dy = y 1 –y0 =2,05-2=0,05

Тогда получим:

» z (x 0,y0) + (x 0,y0) dx+ (x 0,y0) dy =-3+(-2)(-0.04)-3*0.05=-3,07

Оценим погрешность: %

 

10.1.10. Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дуги кривой L.

, где L – верхняя половина эллипса x = 3sin 2 t, y = 4cos 2 t. Интегрировать против часовой стрелки.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: