Рассмотрим решение задачи по определению линии пересечения сферы фронтально проецирующей плоскостью α (рис.114)
а) модель 
б) эпюр
Рисунок 114. Пересечение сферы фронтально проецирующей плоскостьюОкружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П1 и П3 в виде эллипса, а на плоскость П2 в прямую линию ограниченную очерком сферы.Охарактеризуем выбранные для построения точки: 1, 8 - две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения.
2, 3 - фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П3. 4, 5 - две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.
6, 7 - фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П1. Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 12…82. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β - горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 22, 32 проведем след плоскости β12, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность m11, а точки 21 и 31 лежат на этой окружности по линии связи (в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11…81 соединим плавной кривой линией с учетом видимости.
. 20.Преобразование многогранных поверхностей. Развертка многогранных поверхностей.
Развертка. Вообще разверткой «многогранника» — много-
гранной поверхности — называется совокупность многоугольников, для которой указано, как их нужно
склеивать — прикладывать друг к другу по сторонам.
Конечно, склеиваемые стороны должны быть равны и
нужно указывать, какой конец одной стороны должен
совпадать с каким концом другой стороны.
При составлении — склеивании многогранной поверхности многоугольники развертки могут «переламываться».Не исключается, что многоугольник склеивается сам с собой, как в известной крестообразной развертке куба. Для того чтобы из данной развертки можно было бы склеить многогранник, она должна удовлетворять дополнительным условиям. Заметим, что изучение разверток составляет важный вопрос геометрии не только в теории многогранников, но и в той области геометрии, которая называется топологией.
красивые многогранники:
1. Кубооктаэдр. Он получится, если у куба «срезать» все его восемь вершин
2. Ромбокубооктаэдр. Он получится, если на правильную восьмиугольную призму с квадратными боковыми гранями поставить две «крышки», склеенные изпяти квадратов и четырех правильных треугольников. Кубооктаэдр и ромбокубооктаэдр — два из тринадцати архимедовых полуправильных многогранников.
3. Звездчатый октаэдр Кеплера. Его можно получить как объединение двух правильных тетраэдров
4. Большой додекаэдр. Его поверхность состоит из двадцати боковых поверхностей правильных
треугольных пирамид с боковыми гранями, имеющими углы 36°, 36° и 108°
Многогранные Поверхности: Многогранной называется поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей.
Кривой поверхностью называется совокупность последовательных положений линии (образующей), движущейся в пространстве по некоторому закону.
Закон движения образующей определяется неподвижными направляющими элементами и положением образующей относительно этих элементов в любой момент движения. Таким образом, определителем кривой поверхности является:
1. Образующая (прямая или кривая линия);
2. Направляющие элементы (точки, прямые, кривые линии, плоскости);
3. Условия, определяющие положение образующей относительно направляющих элементов.
Например, коническая поверхность образуется движением прямой линии l, которая в каждый момент движения пересекает кривую линию m и проходит через неподвижную точку S. Здесь l – образующая, m и S – направляющие. Условная запись определителя поверхности: q (l,m, S; l ∩ m; l ' S).
Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его вершин и рёбер.
Построение проекций кривой поверхности сводится к построению проекций параметров определителя (рис. 10, б) или очерков проекций
Построение точки на поверхности многогранника: в плоскости грани провести прямую и на этой прямой задать точку.
Построение точки, принадлежащей кривой поверхности: на заданной поверхности провести какую-либо по возможности простейшую линию (образующую, параллель…) и на ней задать точку. На рис. 10, в точка А принадлежит направляющей m, точка К принадлежит образующей SА.
24. Преобразование поверхностей. Построение условных разверток кривых поверхностей.
Р а з в е р т ы в а н и е к р и в ы х п о в е р х н о с т е й
Развертки у кривых поверхностей могут быть точными и приближенными. Точные развертки бы-
вают у прямых круговых конусов и цилиндров. Пример условно развертываемых кривых поверхностей
– шар.
1,Построить развертку поверхности прямого кругового цилиндра.
Для развертывания прямого цилиндра применим способ нормального сечения. Способ нормального
сечения заключается в том, что в цилиндр вписывают n-угольную призму. Число n зависит от размера
чертежа. Однако оно не должно быть меньше двенадцати. Обычно n принимают равным двенадцати.
Затем проводим плоскость, перпендикулярную к образующим, вычерчиваем развернутое в прямую ли-
нию нормальное сечение и производим развертку n-угольной призмы. Концы ребер соединяют линией.
2,Построить развертку прямого кругового конуса.
Боковая поверхность конуса развертывается в круговой сектор. Угол сектора определяется по формуле ϕ = R / L ⋅ 360°, где R – радиус окружности основания конуса; L – длина образующей конуса. По-
строение развертки боковой поверхности конуса можно выполнить и графически без подсчета величины
угла сектора. Разделим основание конуса на n равных частей.
На дуге, проведенной из произвольной точки S0 радиусом, равным длине образующей конуса, откладывает 12 отрезков, равных длине хорды. Соединяя эти точки с точкой S0, получаем развертку боко-
вой поверхности конуса. Причерчивая внизу основания конуса, получаем полную развертку конуса.
3, Построить приближенную развертку поверхности шара.
Существует несколько методов построения приближенной развертки. Рассмотрим два из них.
1-й с п о с о б. Развертка по цилиндрам.
Сущность этого метода заключается в замене шаровой поверхности описанными вокруг нее частями цилиндрических поверхностей и в построении разверток этих частей.Делим шаровую поверхность на некоторое число одинаковых сферических секций при помощи
плоскостей, проходящих через ось шара.
2-й с п о с о б. Развертка по конусам и цилиндру.
Через точки деления проведем горизонтальные плоскости, которые рассекут поверхность на 5 ша-
ровых поясов и 2 шаровых сегмента. Далее заменяем поверхность шара одной цилиндрической и ше-
стью коническими поверхностями и произведем их развертку. Развертку конических поверхностей про-
изводим по правилам развертывания усеченных прямых круговых конусов. Первый способ
Развертку каждой секции производим следующим образом (рис. 3.26). Проводим вертикальную пря-
мую и откладываем на ней отрезки вверх и вниз 1'2' =1"2", 2'3' = 2"3", 3'4' = 3"4", 4'5' = 4"5". Через по-
лученные точки
Развертка поверхности сферы
1, 2, 3, 4, 5 проводят горизонтальные отрезки равные AB = ab, CD = cd и т.д. Соединив концы отрезков