Сущность и метод дисперсионного анализа




В исследованиях часто приходится иметь дело не с двумя, а с большим числом выборок. Обычно эти выборки относятся к различным совокупностям. Например, это могут быть группы растений, получивших разные удобрения или уход, когда в опыте ставится цель статистически оценить эффект мероприятия.

В большинстве приложений дисперсионного анализа изучаемые варианты опыта (например, данные дозы удобрения) влияют на средние. Группы становятся выборками из различных совокупностей. Считается, что эти совокупности имеют различные средние μ, но общую дисперсию, не зависимую от вариантов опыта.

 

Билет 8

1. Средние величины Всякая средняя величина обладает тремя основными свойствами: срединным положением, абстрактностью (отвлечение от реально существующего разнообразия) и единством суммарного действия.

Средняя величина признака определяется различными способами в зависимости от объектов наблюдения, изучаемых признаков и целей исследования. Поэтому имеется не одна, а несколько средних: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая, мода, медиана. Средняя величина какого-нибудь признака определяется для того, чтобы получить характеристику этого признака для всей изучаемой группы в целом.

По своему численному значению все средние величины занимают промежуточное положение между минимальным и максимальным значениями признака Например, если имеется пять значений признака: 1; 4; 5; 5; 5 со средней величиной =4, то при использовании этой средней предполагается, что разнородная группа заменена на однородную с одинаковыми значениями: 4; 4; 4; 4; 4. Вычисление средних величин необходимо вести таким образом, чтобы суммарное действие выравненных значений признака было бы равно суммарному действию первоначальных неусредненных значений.

2. Ошибка репрезентативности корреляционного отношения Еще не разработано точной формулы ошибки репрезентативности корреляционного отношения. В настоящее время можно использовать примерное значение ошибки не самого корреляционного отношения, а его квадрата η2: , где – ошибка квадрата корреляционного отношения; g – число классов первого признака (в верхней крайней строке корреляционной решетки); N — объем корреляционной решетки.

При использовании этой ошибки для определения критерия достоверности и доверительных границ квадрата корреляционного отношения вместо критерия Стьюдента следует брать преобразованный критерий Фишера (F), применяющийся в дисперсионном анализе как критерий достоверности показателей силы влияния. F – критерий достоверности квадрата корреляционного отношения, основанный на применении примерной формулы ошибки этого показателя.

Билет 9

1. Средняя арифметическая. Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами: , т. е. сумма центральных отклонений равна нулю.

Это свойство средней арифметической используется для проверки правильности ее расчета.; , т.е. сумма условных отклонений (отклонений вариантов от любого значения, не равного средней) не есть нуль. Если же эту сумму распределить равномерно по всем вариантам, то полученная величина покажет, как сильно средняя арифметическая отличается от принятой в данном случае условной средней M. Это означает, что средняя арифметическая меньше данной условной средней на единицу, и, чтобы получить значение средней арифметической, надо по приведенной формуле к условной средней прибавить полученную поправку.

сумма квадратов центральных отклонений меньше суммы квадратов отклонений от любой другой величины.

Если к каждому значению признака прибавить постоянную величину a (или ее вычесть), то средняя арифметическая из измененных вариантов будет равна средней арифметической из первоначальных вариантов, увеличенных (или уменьшенных) на величину a.

2. Свойства корреляционного отношения Корреляционное отношение измеряет степень корреляции при любой ее форме. В отличие от коэффициента корреляции, который дает одинаковую меру связи признаков (первого со вторым и второго с первым), корреляционное отношение второго признака по первому обычно не бывает равно корреляционному отношению первого признака по второму:

Например, Связь урожая с количеством осадков или с температурой имеет характер односторонней зависимости: урожай связан с температурой воздуха, но температура воздуха не зависит от урожая.

Билет10

Применения средней арифметической. Пример. Три параллельных определения содержания гемоглобина в крови у одного и того же животного в одно и то же время, проведенные тремя разными лаборантами, дали такие результаты: 75; 80; 70. Наиболее вероятное содержание будет равно средней арифметической из параллельных проб:

В некоторых случаях при вычислении средней арифметической общая сумма значений признака делится не на число вариантов, а на другие величины. Среднюю из относительных величин можно рассчитывать двумя способами: как среднее отношение и как отношение средних (отношение сумм).

Средний ранг (непараметрическая средняя) определяется для таких признаков, для которых еще не найдены способы количественного измерения. По степени проявления таких признаков объекты могут быть ранжированы, т. е. расположены в порядке усиления (или ослабления) выраженности признака. Порядковый номер объекта в таком ряду называется его рангом.

2. Корреляционное отношение Корреляционное отношение измеряет степень криволинейных и прямолинейных связей. Криволинейная связь между признаками — это такая связь, при которой равномерным изменениям первого признака соответствуют неравномерные изменения второго, причем эта неравномерность имеет определенный закономерный характер.

При графическом изображении криволинейных связей, когда по оси абсцисс откладывают значения первого признака, а по оси ординат — значения второго признака и полученные точки соединяют, получают изогнутые линии.

Коэффициент корреляции не может характеризовать степень криволинейной связи. Используется величина корреляционное отношение (отношение сумм центральных отклонений 2-го признака по первому), она не может быть больше единицы и меньше нуля: этот показатель не может быть отрицательным.

Билет11

1. Взвешенная средняя арифметическая Обычно, чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают все значения признака и полученную сумму делят на число вариантов. Иногда значения признака должны входить в сумму с неодинаковой поправкой. Эта поправка, выраженная определенным множителем, называется математическим весом значения. Средняя, рассчитанная для значений признака с неодинаковыми весами, называется взвешенной средней. Взвешенная средняя арифметическая рассчитывается по следующей формуле: , где Xi — значение признака, варианта;

p — математический вес усредняемого значения.

Чтобы рассчитать взвешенную среднюю арифметическую, необходимо каждое значение признака помножить на его вес, все эти произведения сложить и полученную сумму разделить на сумму весов.

2. Уравнение прямолинейной регрессии Коэффициент прямолинейной регрессии показывает, на сколько от своей средней отклоняется второй признак, если первый признак от своей средней отклонился на единицу измерения. Это можно выразить следующей формулой:

(X22)=R2/1 (X1- μ 1) Обозначая X1 через х, X2 через у, R 1/2 через b и произведя необходимые преобразования этого выражения, можно получить рабочую формулу прямолинейной регрессии: y=a+bx По этой формуле, зная значение х (аргумент), можно определить значение у (функция) без непосредственного его измерения: нужно аргумент х помножить на коэффициент регрессии и к полученному произведению прибавить (или отнять) свободный член а.

На основе уравнения прямолинейной регрессии можно заранее рассчитать значение функции для каждого значения аргумента.

 

Билет 12

Средняя геометрическая Чтобы получить среднюю геометрическую для группы с n данными, нужно все варианты перемножить и из полученного произведения извлечь корень n -й степени:

,

где G – средняя геометрическая, n – число значений, Π Xn – произведение вариантов.

Если число значений больше двух, то извлечение корня n -й степени затруднительно, поэтому обычно значение средней геометрической находят путем логарифмирования величин, входящих в основную формулу:

.Для проверки правильности вычисления средней геометрической можно использовать принцип единства суммарного действия. Произведение всех пяти значений равно произведению пяти выравненных значений, равных средней геометрической:

Применяется средняя геометрическая во всех случаях, когда необходимо узнать или планировать средние приросты за определенный период. При расчетах среднего попериодного прироста возможны два способа применения средней геометрической.

2. Коэффициент прямолинейной регрессии. Прямолинейная корреляция отличается тем, что при этой форме связи каждому из одинаковых изменений первого признака соответствует вполне определенное и тоже одинаковое в среднем изменение другого признака, связанного с первым или зависящего от первого. Та величина, на которую в среднем изменяется второй признак, при изменении первого на единицу измерения, называется коэффициентом регрессии. Рассчитывается он по формуле:

, где R1/2 — коэффициент регрессии второго признака по первому; s2 — среднее квадратическое отклонение второго признака, который изменяется в связи с изменением первого; s1 — среднее квадратическое отклонение первого признака, в связи с изменением которого изменяется второй признак; r12 — коэффициент корреляции между первым и вторым признаками.

Ошибка коэффициента регрессии равна ошибке коэффициента корреляции, умноженной на отношение сигм: .

Билет 13

Средняя квадратическая вычисляется по формуле: , Она равна корню квадратному из суммы квадратов данных, деленной на их число.

Употребляется средняя квадратическая при расчете средних радиусов окружностей.

Пример. Измерения диаметров колоний, полученных от посева микробов определенного вида, дали следующие результаты (в мм): 15; 20; 10; 25; 30.

Для сравнения этого посева с другими требуется определить средний диаметр колоний. Применив формулу средней квадратической, имеем

.

Средняя арифметическая диаметров:

дает неправильную характеристику группы. Это можно проверить по правилу единства суммарного действия.

2. Достоверность разности двух коэффициентов корреляции Достоверность разности коэффициентов корреляции определяется так же, как и достоверность разности средних, по обычной формуле

, где td —критерий достоверности разности коэффициентов корреляции;

d=r1-r2 —разность коэффициентов корреляции;

—ошибка разности, равная корню квадратному из суммы квадратов ошибок обоих сравниваемых коэффициентов корреляции; ;

tst — стандартные значения критерия Стьюдента;

n — число степеней свободы для разности коэффициентов корреляции, равное сумме чисел степеней свободы обоих коэффициентов: n = n1–2 + n2–2=n1+ n2–4.

Билет 14.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая рассчитывается по формуле

,где Xi — значение признака, варианта;

n — число значений

Применяется средняя гармоническая при усреднении меняющихся скоростей.

2.Доверительные границы коэффициента корреляции Доверительные границы генерального значения коэффициента корреляции находятся общим способом по формуле: , где и — генеральное и выборочное значения коэффициента корреляции;  = t*sr — возможная погрешность при определении генерального параметра; tst — критерий Стьюдента при числе степеней свободы =n—2; sr — ошибка коэффициента корреляции.

Билет 15.

1. Мода такая варианта или класс распределения вариант, который в исследуемой группе встречается наиболее часто. В качестве первого приближения можно принять за моду средину модального класса.

Более точное значение моды можно получить по формуле,

где М 0 — мода;

W α — начало модального класса;

k — величина классового промежутка;

f 1 — частота класса, предшествующего модальному;

f 2 — частота модального класса;

f 3 — частота класса, следующего за модальным.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: