Практическое занятие №2
Атрибутивные свойства информации «дискретность» и «непрерывность». Квадратичная интерполяция функций
В программе MS Excel.
Постановка задачи
На практике часто приходится иметь дело с функциями, заданными таблично, когда для значений аргумента x 1, x 2, …, xn известны значения функции y 1 =f (x 1), y 2 =f (x 2), …, yn=f (xn). Определить значение функции f в какой-либо точке х, отличной от заданных х 1, х2,..., хп.
Основные сведения и методика выполнения работы
Для того, чтобы определить значение функции f в какой-либо точке х, отличной от заданных х 1, х2,..., хп, поступают следующим образом: строят функцию F, которая в заданных точках x 1, x 2, …, xn совпадает с заданными значениями y 1, у 2,..., уп, т. е. F (xi) =yi, i = l, 2,..., n, а при остальных х приближенно представляет функцию f. При этом функция F называется интерполирующей, а точки x 1, х 2 ,..., хп называются узлами интерполяции.
Чаще всего функцию F задают в виде многочлена, называемого интерполяционным многочленом Лагранжа Ln (x) и имеющего вид:
, (1.1)
где n = 2, 3, количество узлов интерполяции, i, j – номера узлов интерполяции, xi, xj – значения узлов интерполяции, yi – значения функции в узлах интерполяции, xk – точка, в которой вычисляется значение функции.
При квадратичной интерполяции (n = 3) будем иметь:
.
Значения аргумента х 1, х 2, х 3 и функции y 1 = f (x 1), y 2 = f (x 2), y 3 =f (x 3)получают при решении конкретной задачи. В данной работе с учебной целью эти значения будем получать из таблицы yk = f (xk)по исходным данным табл. 1.1. Для этого рассчитывается функция f (x) при изменении аргумента х от a до b с шагом h =(b‑a) / 10.
Из полученных 11-и точек /строк (хk,yk), k = 1, 2, …, 11 выбираются три, указанные в колонках 5, 6, 7 табл. 1.1, например, для варианта задания N = 1 после расчета функции f (x) с шагом h = (3 – 2) / 10 = 0.1 следует выбрать xi, yi (i = 1, 2, 3) из строк хki,yki (ki = 1, 3, 11), то есть х 1 = х 1, y 1 = y 1, x 2 = x 3, y 2 = y 3, x 3 = x 11, y 3 = y 11.
Рассчитать значения интерполирующей функции L 3(xk), а также разности значений L 3(xk) – f (xk) и построить графики этих функций, а также функции f (xk).
На печать вывести: постановку задачи, исходные данные, таблицу результатов и графики функций.
Таблица 1.1. Исходные данные согласно варианту задания N
| N | f (x) | Интервал | № строки для выбора хi, yi | |||
| a | b | k 1 | k 2 | k 3 | ||
| 3sin x 0.5 + 0.35 x - 3.8 | ||||||
| x – 1 / (3 + sin(3.6 x)) | 0,85 | |||||
| arccos x - (1 - 0.3 x 3)0.5 | 0,1 | |||||
| (1 - 0.4 x 2)1/2 - arcsin x | ||||||
| 1 - x + sin x - ln(1 + x) | 1,5 | |||||
| 0.4 + arctg x 0.5 – x | ||||||
| 5 x - 8ln x – 8 | ||||||
| 5 x 3 + 10 x 2 + 5 x - 1 | -2 | |||||
| ex – (ex)2 / 2 | ||||||
| 0.25 x 3 + x – 1 | ||||||
| 0.1 x 2 - x ×ln x | ||||||
| 3 x - 4ln x – 5 | ||||||
| x 3 + 2 x – 4 | ||||||
| x – sin x – 0.25 | 0,5 | |||||
| 3sin x 0.5 + 0.35 x - 3.8 | ||||||
| x - 1 / (3 + sin(3.6 x)) | 0,85 | |||||
| arccos x - (1 - 0.3 x 3)0.5 | 0,1 | |||||
| (1 - 0.4 x 2)1/2 - arcsin x | ||||||
| 1 - x + sin x - ln(1 + x) | 1,5 | |||||
| 0.4 + arctg x 0.5 - x | ||||||
| 5 x - 8ln x – 8 | ||||||
| 5 x 3 + 10 x 2 + 5 x - 1 | -2 | |||||
| ex – (ex)2 / 2 | ||||||
| 0.25 x 3 + x – 1 | ||||||
| 0.1 x 2 - x ×ln x | ||||||
| 3 x - 4ln x – 5 | ||||||
| x 3 + 2 x – 4 | ||||||
| x – sin x – 0.25 | 0,5 | |||||
| x 3 + 2 x – 4 | ||||||
| 3 x - 4ln x – 5 |
Рекомендации по выполнению работы
Отчет по задаче состоит из заглавия работы (Студент группы … Иванов И. Вариант … Задача «Квадратичная интерполяция функции), постановки задачи и исходных данных (табл. 1.1). Выводится таблица результатов расчета и графики. Для этого:
1. Распределите на бумаге ячейки рабочего листа – табл. 1.2, где полужирным шрифтом отмечены текстовые ячейки; в столбцах А, В и в диапазоне F4:H7 находятся числовые ячейки, а в диапазоне С9:Н19 – формулы.
2. Запустите программу Excel (Пуск > Программы > MS Excel).
3. Создайте новую рабочую книгу (кнопка Создать на стандартной панели инструментов).
3. Дважды щелкните на ярлычке текущего рабочего листа и дайте этому рабочему листу имя Квинт.
4. Дайте команду Файл > Сохранить как и сохраните рабочую книгу под именем Квинт1,. Квинт2, …, где 1, 2, … - № Вашего варианта задания.
5. Выделите и объедините диапазон А1:Н1 (кнопка Объединить) потом диапазоны А2:Н2 и А3:Н3.
6. В строки 1 – 8 введите тексты согласно табл. 1.2.
Таблица 1.2. Распределение ячеек рабочего листа.
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| Задача «Квадратичная интерполяция функций» Иванов И. Группа ИС-14. Вариант … | ||||||||
| f (x) = … Номера строк для узлов k = …, …, … | ||||||||
| L 3(xk) = … | ||||||||
| k узла-1 à | х 1 2 3 à | х 1 | х 2 | х 3 | ||||
| k узла-2 à | x 2 1 1 à | х 2 | х 1 | х 1 | ||||
| k узла-3 à | x 3 3 2 à | х 3 | х 3 | х 2 | ||||
| y 1 2 3 à | у 1 | у 2 | у 3 | |||||
| k | x | f (x) | L (x) | L (x) -f (x) | 1 сл. | 2 сл. | 3 сл. | |
| a | f (a) | =f9+g9+h9 | =d9-c9 | |||||
| a + h | f (a + h) | … | … | |||||
| … | … | … | … | … | … | |||
| b | f (b) | … | … |
7. В диапазон А9:А19 введите №№ точек расчета функции f (x) 1, 2, …, 11.
8. В диапазон В9:В19 введите хk. Для этогов ячейку В9 введите значение а, а в ячейку В10 введите а + h. h = (b – a) / 10. Выделите В9 и В10, затем протяните маркер заполнения вниз до 19 строки.
9. В диапазон С9:С19 введите fk, для чего в ячейку С9 введите формулу расчета f (x) и протяните маркер заполнения вниз до 19 строки.
10. Выделите в строке, где k = k 1,ячейки столбцов B и C. Выделите рамкой эти ячейки (кнопка Границы). То же проделайте для строк, где k = k 2 и k = k 3.
11. Скопируйте хi, yi из выделенных рамкой ячеек в диапазон F4:H7. Для копирования хi: выделите ячейку хi, нажмите клавишу Ctrl, поместите курсор мыши на линию контура этой ячейки (он превратится в наклонную стрелку с плюсиком +), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, переместите содержимое ячейки в нужное место. Отпустите кнопку мыши, потом клавишу Ctrl.
Так как yi являются числами, полученными по формуле (п.9, диапазон С9:С19), то их значения копируются по-другому: выделите ячейку yi, поместите курсор мыши на линию контура этой ячейки (он превратится в наклонную стрелку), нажмите правую кнопку мыши и, не отпуская ее, переместите содержимое ячейки в нужное место. Отпустите кнопку мыши. В появившемся контекстном меню щелкните Копировать только значения.
12. В ячейку F9 введите формулу расчета 1-го слагаемого L 3(xk), данные для которого находятся в ячейке В9 и в заготовленном диапазоне ячеек F4:F7.
Скопируйте эту формулу для 2-го и 3-го слагаемого (перетащите маркер заполнения вправо на две ячейки).
13. В ячейку D9 введите формулу =СУММ(F9:H9), а в ячейку Е9 - формулу =D9-C9.
14.Выделите диапазон D9:H9. Перетащите маркер заполнения на 10 строк вниз. Таблица готова. Для вывода графиков выполните следующие действия.
15. Выделите диапазон B9:Е19. Щелкните на кнопке Мастер диаграмм. В окне Мастера (шаг 1 из 4) выберите тип График и вид левый нижний из шести. Щелкните на кнопке Далее.
16. Шаг 2 из 4. Щелкните на вкладке Ряд. Удалите Ряд 1. Для Ряд 2 введите имя f(x), щелкните Ряд 3, введите имя L(x), щелкните Ряд 4, введите имя L(x)-f(x). Щелкните в окне Подписи оси х. Выделите диапазон В9:В19. Щелкните на кнопке Далее. Перейдем на 3-й шаг из 4.
17. На вкладке Заголовки в окне Название диаграммы введите ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. Щелкните на вкладке Легенда. Добавить легенду щелкните внизу. Щелкните на кнопке Далее. Перейдем на 4-й шаг из 4.
18. Поместить диаграмму на листе щелкните кнопку-переключатель имеющемся:. Щелкните на кнопке Готово.
19. Перетащите диаграмму ниже таблицы. Сделайте 2 щелчка в области построения диаграммы. В окне Формат области построения указать Заливка обычная. Навести указатель мыши на линию графика и сделать 2 щелчка. В окне Формат ряда данных на вкладке Вид можно изменить тип линии, ее цвет и толщину.
20. Таблицу и графики сохраните в файле Word.
Содержание отчета
1. Таблица результатов расчета.
2. Графики f (x), L (x), L (x) -f (x), построенные в одной системе координат.
Вопросы для обсуждения
1. Дискретность информации.
2. Непрерывность информации.
3. Аппроксимация, интерполяция и экстраполяция.
4. Интерполирующая функция и узлы интерполяции.
5. Интерполяционный многочлен Лагранжа.