Пусть требуется определить изменение во времени напряжения на емкости схемы, показанной на рис.3. Величины элементов приведены на схеме. Начальное напряжение на емкости и начальный ток через индуктивность равны нулю.
Составим уравнение электрической цепи, представленной на рис.3. Для этого можно использовать, например, методы Кирхгофа, узловых потенциалов, контурных токов. Воспользуемся методом контурных токов
,
.
Для упрощения преобразования уравнений введем операторы дифференцирования и интегрирования.
; 
.
Над операторами можно совершать все алгебраические операции. Запишем полученные уравнения в операторном виде
(1)
(2)
Найдем I22. Для этого из уравнения (1) выразим I1 через I2 
и подставим его в уравнение (2). В результате получим
.
Отсюда найдем
. (3)
Напряжение на емкости равно 
. Поэтому, разделив выражение (3) на pC получим напряжение на емкости
.
Запишем это уравнение в виде операторного уравнения
,
где р – оператор дифференцирования. Заменяя р на 
запишем уравнение в обычном виде
. (4)
Подставим в уравнение значения элементов
.
Так как входное напряжение U постоянное равное 10 В, то правая часть уравнения будет равна 0.
Решение уравнения состоит из двух частей собственной или переходной составляющей и вынужденной или установившейся составляющей. Собственную составляющую решения найдем из решения однородного уравнения (4). Характеристическое уравнение имеет вид
,
а его корни равны 
.
Свободная составляющая напряжения на емкости будет равна
,
где А1 и А2 постоянные интегрирования, которые находятся из общего решения уравнения (4).
Вынужденная составляющая решения определяется для бесконечного времени. Индуктивность в этом случае можно рассматривать как замкнутую цепь. Точки a и с можно считать соединенными, а емкость закороченной через сопротивление R2. Следовательно, напряжение на емкости будет равно нулю. Поэтому общее решение уравнения (4) будет иметь вид
. (5)
В решение уравнения входят две постоянные интегрирования А1 и А2 . Для их нахождения необходимо еще одно уравнение. Для этого найдем ток, протекающий через емкость. Учитывая, что ток через емкость определяется из выражения 
, найдем свободную составляющую тока
Вынужденная составляющая решения тока очевидно равна 0, так как равна нулю вынужденная составляющая напряжения на емкости. Итак ток через емкость будет равен
. (6)
Постоянные интегрирования найдем из уравнений (5) и (6), записав их для нулевого момента времени. Начальное значение напряжения на емкости по условию равно нулю. А начальное значение тока через емкость необходимо еще определить. Для нулевого момента времени с учетом, что начальные значения тока индуктивности и напряжения емкости равны нулю, можно считать цепь с емкостью замкнутой, а цепь с индуктивностью разомкнутой. Тогда, в нулевой момент времени ток течет только через сопротивления R1 и R2.
.
Для нулевого момента времени уравнения (5) и (6) имеют вид
.
Решая систему уравнений, получим
и 
.
Подставляя найденные значения в формулу (5) с учетом формулы Эйлера запишем напряжение на емкости
.
Содержание отчета
В отчете привести:
- схему;
- подробный вывод и решение уравнений электрической цепи;
- график определенного тока или напряжения.