Математическая статистика
Билет 1
Задачи математической статистики. Выборочный метод. Вариационные ряды. Графическое представление вариационного ряда.
Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.
Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования.
Случайную величину 
будем называть генеральной совокупностью .
Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности являются статистические данные, т.е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины 
, 
, заданной на множестве исходов 
-го опыта, не зависит от и совпадает с распределением генеральной совокупности .
Набор 
независимых в совокупности случайных величин 
, где соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число называется объёмом выборки.
Совокупность чисел 
, полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма .
В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.
Вариационный ряд
Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.
Выборка объёма из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. 
, называется вариационным рядом:
.
В том случае, когда объем наблюдений выборки небольшой, находят разные наблюдения и указывают их частоту. Полученные данные записывают в так называемую таблицу частот дискретного вариационного ряда следующего вида:
Таблица, в которой приведены все интервалы с соответствующими частотами по интервалам для заданной выборки наблюдений, называется таблицей частот интервального вариационного ряда.
Распределения частот и относительных частот по интервалам можно представить не только в виде таблиц, но и графически. Графическое изображение данных интервального вариационного ряда строят в виде гистограммы частот или полигона частот.
Гистограмма частот изображается так: над каждым интервалом строится прямоугольник, основанием которого служит данный интервал, а высотой – частота в данном интервале. Как правило, для удобства рассмотрения единицы масштаба по оси абсцисс и по оси ординат выбираются разными. Кроме того, и начала отсчета по разным осям тоже могут не совпадать. Гистограмма частот для рассматриваемого примера показана на рис.1.
Если по оси ординат откладывать не частоты в интервалах, а относительные частоты в интервалах, то подобным образом можно построить гистограмму относительных частот.
Полигон частот для интервального вариационного ряда изображается так: в середине каждого интервала строится ордината, равная частоте на этом интервале, и концы ординат соединяются. Полигон частот для рассматриваемого примера показан на рис.2.
Если же строить в середине каждого интервала ординату, равную относительной частоте на этом интервале, и соединить концы ординат, то получим полигон относительных частот.
Билет 2
Выборочные оценки числовых характеристик.
Оценка числовых характеристик и параметров распределения
(Несгруппированные результаты)
После отбрасывания всех сомнительных результатов ряд содержит n измерений x i (где i = 1, 2, 3, …, n), некоторые из которых могут иметь одинаковое значение.
Математическое ожидание представляемого этим рядом нормального распределения оценивается средним арифметическим 
для результатов:
, (4)
Оценка стандартного отклонения
(Несгруппированные результаты)
Стандартное отклонение по квадратам отклонений результатов измерений от среднего арифметического определяется по формуле:
, (7)
где x - значение i -го измерения (i = 1, 2, 3, …, n);
n - общее число измерений;
- среднее арифметическое n измерений, вычисленное в соответствии с п. 6.1.1.
Чтобы облегчить вычисление, рекомендуется следующая формула:
. (8)
Вычисление выборочных характеристик при малом объеме выборки
6.3.1 Выборочное среднее определяется в соответствии с п. 6.1.1.
6.3.2 Выборочная медиана при нечетном объеме выборки n = 2m – 1 равна среднему члену вариационного рада Х 0,5 = Хm. При четном объеме n = 2m медиана равна среднему значению двух средних значений вариационного ряда:
. (11)
6.3.3 Выборочная дисперсия
D = S2 = 
, (12)
или
D = 
[Σ x2i - 
(Σxi) 2 ]. (13)
Вычисление выборочных моментов третьего и четвертого порядков при объеме n<50 нецелесообразно в связи с их большими вероятными отклонениями от генеральных моментов. Для нормально распределенной генеральной совокупности оценки среднего, дисперсии являются эффективными, состоятельными и несмещенными.
Несмещенная оценка СКО:
S=k*s,
где k – поправочный коэффициент, зависящий от объема выборки (Приложение Б).
Билет 3