давления, вызывающего дополнительный изгиб трубопровода (первый вариант постановки задач и)
Наиболее простой схемой нагружения трубопровода с продуктом является случай, когда однопролетный бескомпенсаторный надземный переход моделируется полым стержнем круглого сечения, концы которого принимаются защемленными. Эта схема нагружения позволяет выявить влияние на изгиб трубопровода внутреннего рабочего давления и температурных напряжений. В рассматриваемом случае трубопровод составлен из прямолинейных труб без углов поворота. В этой упрощенной постановке не учитывается влияние на НДС надземной части перехода деформаций прилегающих слева и справа подземных участков.
Схема нагружения перехода представлена на рисунке 2.3, где приведены основные обозначения и направление осей координат. Начало координат находится в середине пролета в точке О. По горизонтальной оси плоскости чертежа откладывается продольная осевая координата 
, а по вертикальной оси – прогиб оси трубы 
. Ось OZ направлена перпендикулярно к плоскости чертежа, а ось OY – по вертикали вниз. 
осевой изгибающий момент.
Данная схема нагружения перехода является симметричной относительно середины его прогиба.
НДС надземной части перехода описывается следующим уравнением продольно-поперечного изгиба трубопровода
где 
прогиб трубопровода;
вертикальная составляющая нагрузки, равная весу трубы с продуктом;
продольная осевая координата.
а- конструкции перехода; б- расчетная схема;
1- трубопровод; 2- овраг
Рисунок 2.3 – Однопролетный балочный переход без компенсации
продольной деформации
На концах рассчитываемого участка (на границах раздела надземной и подземной части) трубопровод принимается защемленным грунтом. Из этого следует, что прогиб и угол поворота продольной оси трубопровода 
в этих сечениях 
равны нулю
При решении этой задачи в более строгой постановке (с учетом совместных деформаций надземной части с прилегающими подземными частями) далее будут показаны границы применимости условия (2.17).
Дифференциальное уравнение (2.16) совпадает с уравнением продольно-поперечного изгиба стержня на опорах, деформирующегося под действием вертикальной нагрузки и продольного осевого усилия 
, приложенного на одном из концов стержня, например, на правом. На левом конце стержня его продольное перемещение равно нулю (рисунок 2.4).
Рисунок 2.4 – Расчетная схема
В отличие от стержня, на концах перехода на трубопровод действует не продольное усилие , а продольное осевое усилие 
, определяемое по формуле (2.1). При этом трубопровод испытывает дополнительный изгиб не только от действия осевого усилия , возникающего на защемленных концах, но и от воздействия внутреннего рабочего давления, результирующая которого по оси ОХ равна 
. Основным недостатком в постановке данной задачи предыдущих исследований является пренебрежение воздействием внутреннего рабочего давления, вызывающим дополнительный изгиб трубопровода.
2.1.3 Решение задачи по первому варианту постановки
Дифференциальное уравнение (2.16) для случая с равномерно распределенной по длине вертикальной нагрузкой имеет следующее общее решение
, (2.18)
где 
постоянные интегрирования;
. (2.19)
Поскольку принято условие симметричного нагружения перехода, то в общем интеграле (2.18), принимая 
=0, 
0, можно сохранить только четные функции, т.е. этот интеграл можно принять в следующем виде
(2.20)
Далее найдем угол поворота 
, изгибающий момент 
и поперечную силу 
, (2.21)
, (2.22)
. (2.23)
Подставляя (2.19), (2.21) в граничные условия (2.17), получим следующую систему двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 
и 
(2.24)
Система (2.24) имеет единственное решение
(2.25)
если 
, 
и 
.
Заменяя 
и 
по (2.25) в (2.19) – (2.23), имеем следующие характеристики НДС трубопровода
, (2.26)
, (2.27)
, (2.28)
. (2.29)
Найдем значения прогиба 
и изгибающего момента 
в середине пролета перехода при 
, (2.30)
, (2.31)
а также величину изгибающего момента 
и поперечной силы 
на концах пролета при 
, (2.32)
. (2.33)