СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1. Метод конечных разностей 5
2. Линейные задачи теплопроводности 6
3. Нелинейные задачи теплопроводности 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 39
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ40
ВВЕДЕНИЕ
Изучение процессов теплообмена всегда играло видную роль в развитии техники и естествознания. В конце позапрошлого и в начале прошлого веков исследования в этой области стимулировались главным образом потребностями возникшей в то время теплоэнергетики. В годы после второй мировой войны развитие авиации, атомной энергетики, ракетно-космической техники выдвинуло новые постановки задач теплообмена и вместе с тем – новые, более жесткие требования к полноте и надежности прогностических возможностей теории.
За последние десятилетия сфера интенсивного исследования и применения явлений теплообмена чрезвычайно расширилась. Она включает как ведущие направления техники (химическая технология, металлургия, строительное дело, нефтеразработка, машиностроение, агротехника и т.д.), так и основные естественные науки (биология, геология, физика атмосферы и океана и другие). Теоретическое исследование процессов теплообмена в настоящее время в значительной степени базируется на их численном моделировании с использованием ЭВМ. Это стало возможным благодаря значительному прогрессу в развитии вычислительных методов решения задач для уравнений в частных производных и увеличению мощности современных вычислительных машин.
Нужно особо отметить еще следующие обстоятельства. Численное моделирование процессов теплообмена в настоящее время приобретает все более значительную роль в связи с тем, что для современной науки и техники необходим достоверный прогноз таких процессов, экспериментальное изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно и дорого, а в некоторых случаях просто невозможно. Численное моделирование процессов теплопереноса все успешнее входит в практику работы различных научно-исследовательских, проектно-конструкторских и производственных учреждений.
Как известно, существуют три механизма передачи тепла: теплопроводность, конвекция и излучение. В настоящем пособии мы сконцентрируем внимание на основном механизме переноса тепла – теплопроводности.
Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерном распределении температур. В этом случае теплота передается за счет непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами.
Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества, его состава, чистоты, температуры, давления и других характеристик. Так, в большинстве случаев теплопроводность вещества в жидком состоянии примерно в 10 раз больше, чем теплопроводность в газообразном состоянии. Для твердого тела она значительно выше, чем для жидкости около точки плавления (за исключением жидких висмута, олова, теллура).
На практике часто случается, что теплопроводность внутри тела и вблизи его границ различна. Это различие обусловлено как изменением условий протекания процессов теплопереноса, так и изменением структуры вещества (в результате термообработки, наклепа, старения, износа и т.д.).
Существенное влияние на теплопроводность могут оказывать внешние факторы, например облучение, изменение давления, магнитное поле.
В полупрозрачных средах теплопроводность сопровождается радиационным теплопереносом. Наблюдаемая эффективная теплопроводность таких сред есть сумма собственно теплопроводности и радиационного теплопереноса. Вклад радиационной составляющей комбинированного теплопереноса увеличивается с повышением температуры и становится существенным при температурах, составляющих несколько сотен градусов Цельсия.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ (МКР)
При решении дифференциального уравнения в частных производных наиболее часто используется метод конечных разностей (МКР). Идея МКР решения краевых задач весьма проста и видна уже из самого названия: вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При построении дискретных аппроксимаций краевых дифференциальных задач нужно стремиться увязать две, возможно, противоречивые цели: хорошее качество аппроксимации и эффективное устойчивое решение получающихся при этом алгебраических систем.
При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные дифференциального уравнения конечными разностями получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыканию используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с помощью ЭВМ.